Контрольные / Линал Артемьем КР / kr1_linal_final
.pdf
Итоговая контрольная работа по линейной алгебре Вариант 1
1 В трехмерном вещественном линейном пространстве введены базисы 1, 2, 3 («старый») и1, 2, 3 («новый»). Найти координаты , элементов , , если заданы их координаты , :
2 |
= 8 1 |
+ 3−, |
|
|
= |
−2 |
, |
= |
−4 . |
|||
|
1 |
= 4 1 + 7 2 |
3 3 |
, |
|
5 |
|
|
|
1 |
||
|
− |
|
3 2 + 3; |
|
|
−0 |
|
|
|
6 |
||
3 |
= 1 |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Найти разложение элемента ( ) = 3 + + 1 пространства 3 по базису
1, + , |
( + )2, |
( + )3. |
3Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа:
( 1, 2, 3) = 9 21 − 18 1 2 − 18 1 3 + 18 22 + 14 23
4 Найти матрицу линейного оператора, переводящего столбцы матрицы в столбцы матри цы . Вычислить ядро и образ этого оператора.
= |
0 |
−3 |
−2 |
, |
= |
−2 |
−0 |
−2 . |
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
0 |
−2 |
1 |
|
|
0 |
−2 |
−2 |
|
5Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
= |
|
7 |
−3 |
−3 |
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
−3 |
−2 |
−2 |
||
6 Линейный оператор A задан своей матрицей относительно некоторого ортонормированно го базиса. Построить ортонормированный базис из собственных векторов оператора и записать матрицу оператора в этом базисе:
= |
4 |
6 |
8 |
|
|
0 |
4 |
4 |
|
4 |
8 |
6 |
7 Построить ортонормированный базис в евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2, применив процесс ортогонализации к системе многочленов 1, , 2. Скалярное произведение
определено формулой
2
( , ) = ( ) ( )
−2
8 Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью поворота осей координат системы и последующего параллельного переноса. Укажите угол поворота и координаты нового начала координат (точки ′) в системе ′ ′, полученной в результате поворота осей системы . Укажите тип кривой:
6 + 8 2 − 12 − 26 + 11 = 0.
Итоговая контрольная работа по линейной алгебре Вариант 2
1Найти разложение элемента ( ) = 4 − + 2 пространства 4 по базису
1, + 3, ( + 3)2, ( + 3)3, ( + 3)4.
2 В трехмерном вещественном линейном пространстве введены базисы 1, 2, 3 («старый») и
1, 2, 3 («новый»). Найти координаты , элементов , , если заданы их координаты , :
2 |
= 11 1 + 2 |
|
3 3 |
, |
= |
−5 |
, |
= |
−1 . |
||
|
1 |
= 5 1 + 2 + 2 3 |
, |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
− |
− |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
= 3 1 + 3; |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа:
( 1, 2, 3) = 21 − 6 1 2 − 6 1 3 + 48 2 3 − 20 23
4 Найти матрицу линейного оператора, переводящего столбцы матрицы в столбцы матри цы . Вычислить ядро и образ этого оператора.
= |
|
8 |
−3 |
−2 |
, |
= |
−2 |
−2 |
−4 . |
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
2 |
1 |
3 |
|
−3 |
−2 |
−1 |
|
|
−3 |
−2 |
−5 |
|
5Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
|
|
−7 |
−4 |
4 |
|
= |
|
0 |
−1 |
1 |
|
|
−9 |
−6 |
6 |
6 Линейный оператор A задан своей матрицей относительно некоторого ортонормированно го базиса. Построить ортонормированный базис из собственных векторов оператора и записать матрицу оператора в этом базисе:
= |
3 |
8 |
8 |
|
8 |
15 |
16 |
||
8 |
16 |
15 |
7 Построить ортонормированный базис в евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2, применив процесс ортогонализации к системе многочленов 1, , 2. Скалярное произведение
определено формулой
3
( , ) = ( ) ( )
0
8 Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью поворота осей координат системы и последующего параллельного переноса. Укажите угол поворота и координаты нового начала координат (точки ′) в системе ′ ′, полученной в результате поворота осей системы . Укажите тип кривой:
7 2 + 16 − 23 2 − 14 − 16 + 216 = 0.