Добавил:

89135606891 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Алехин электротехника

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2024

Размер:

9.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3711 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

5.21. Активная, реактивная и полная мощность

Активная мощность потребляется пассивным двухполюсником, всегда положительна и вычисляется по формулам:

P		Um Im	cos			Um	Im		cos
	2								cos
					2		2
					2		2
	UI cos			IZI cos				I 2Z cos I 2R		U 2
											.	(5.83)
											.	(5.83)
										R
Особо надо запомнить формулу для активной мощности, выражен-
ной через действующие значения напряжения и тока:
									P UI cos .			(5.84)

Активная мощность измеряется в ваттах [Вт].

Полная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока:

S UI	I 2Z	U 2	.	(5.85)
S UI	I 2Z	Z	.	(5.85)
		Z
Полная мощность измеряется в вольт-амперах [ВА].
Активная мощность связана с полной мощностью такой важной
формулой:
P	S cos .			(5.86)

Важной характеристикой качества потребителя электрической энер-

гии является коэффициент мощности:

cos	P	.	(5.87)

	S

Коэффициент мощности стремятся сделать близким к единице. Тогда полезную активную мощность потребитель получит при меньших значениях входного тока и, следовательно, при меньших потерях в проводах сети.

Реактивная мощность обусловлена реактивной составляющей входного сопротивления двухполюсника и вычисляется по формулам:

Q S sin	UI sin	IZI sin I 2 X I 2 ( X	L	X	C	)	(5.88).
			L		C
Измеряется реактивная мощность в вольт-амперах реактивных [Вар].
Если комплексная нагрузка имеет индуктивный характер (							0 ), то
реактивная мощность Q 0.
Если комплексная нагрузка имеет емкостной характер (							0 ), то
Q 0.

Реактивная мощность не потребляется в цепи, а характеризует обмен мощности между источниками и накопительными элементами L и C.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

Т р е у г о л ь н и к м о щ н о с т и Соотношения между активной, реактивной и полной мощностью

можно изобразить в виде треугольника мощности (рис.5.36)
	+j		Катеты треугольника мощности равны:
			P S cos и Q		S sin .
	S
	S	Q	Гипотенуза равна: S	P2	Q2	(5.89)
	φ	Q	Треугольник мощности подобен тре-
			Треугольник мощности подобен тре-
			угольнику сопротивлений.
			угольнику сопротивлений.

P +1

Рис.5.36

5.22. Расчёт мощности в комплексной форме

Пусть на входе пассивного двухполюсника заданы мгновенные зна-

чения напряжения u( t )

Um sin t и тока i( t )

Im sin( t

Запишем комплексные действующие значения:

U m

и I

I m

(5.90)

Ie j и вы-

Возьмем комплексно-сопряженное значение тока I*

числим комплексную мощность по формуле:

S U I*

I Z I*

I 2 Z

I 2 ( R

jX )

I 2R

jI 2 X P

jQ (5.91)

Сравнивая результат с (5.83) и (5.88), мы видим, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть равна реактивной мощности цепи.

Реактивная мощность равна нулю, если в цепи отсутствуют реактивные элементы L и C , или эквивалентное реактивное сопротивление этих элементов становится равным нулю ( X 0).

Реактивная мощность Q характеризует накопление и возвращение энергии в цепи, содержащей элементы L и C .

5.23.Баланс мощностей

Вцепи гармонического тока выполняется баланс комплексных мощностей источников энергии и потребителей энергии:

Sист	Sпотр .	(5.92)
n	k

Следовательно, должен выполняться баланс для действительных и мнимых частей равенства (5.92).

Значит выполняются:

баланс активных мощностей:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

92
P	P	и	(5.93)
ист	потр
n	k

баланс реактивных мощностей:

Qист	Qпотр .	(5.94)
n	k

В пассивном двухполюснике реактивную мощность рассчитывают как сумму реактивных мощностей всех ветвей:

Q	Ik2 ( X Lk XCk ),	(5.95)
	k

где Ik -- действующее значение тока k - ой ветви,

X Lk - индуктивное сопротивление k - ой ветви,

XCk - емкостное сопротивление k - ой ветви.

Пример 5.13.

В цепи рис.5.37 заданы параметры элементов в омах и действующее

значение источника напряжения E	10	В . Рассчитать токи и проверить
		В . Рассчитать токи и проверить
	2
	2
баланс мощностей.

	I1	XL	=10 a
		XL	=10 a
E =			Zab
E =
10	2	R=10			XC =10
10	2	R=10
		I2			I3
	Z	Рис.5.36		b
		Рис.5.36

Р е ш е н и е Находим параллельное соединение резистора и емкости:

Zab	10(	j10 )						j10

	10	j10						j45o
							2e


10	e j45o		10	1		(1 j ) 5 j5Ом
	e j45o					(1 j ) 5 j5Ом
2		2			2

Находим входное сопротивление двухполюсника:

Z jX L Zab

Далее находим:

входной ток I1

напряжение Uab

ток второй ветви

j10 5 j5Ом 5 j5 52e j45o Ом .

1e j45

А ;

j45o

2 5 2e

1e j45o 5

e j45o

e j90o В ;

I Z

1 ab

j90o

А;

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

				93
ток третьей ветви: I3	U		ab	1	А.

		j10
				2
				2

Проверяем баланс мощности.

Комплексная мощность источника напряжения:

S	ЕI *	10		1e j45o	5 j5 ВА.
	ЕI *			1e j45o	5 j5 ВА.

ист	1		2
			2

Активная мощность потребителя выделяется в резисторе второй вет-

ви:

P	I 2R	1	10 5 Вт.

потр	2	2

Реактивная мощность в двухполюснике:

Q	I 2 X		I 2 X		1 10	1	10 5 Вар.
		L		C
потр	1		2			2

Получили комплексную мощность потребителя

Sпотр P jQ 5 j5 Sист .

Баланс мощностей выполняется.

5.24. Согласование источников энергии с нагрузкой в цепи гармонического тока

На рис.5.37а активный двухполюсник А передает энергию в нагрузку – пассивный двухполюсник П. Требуется определить, при каких условиях в нагрузке выделяется наибольшая активная мощность.

	i(t)			I Zэ a
	a			I Zэ a
	a
А	u(t)	П	Eэ	Zн
А				Zн
	b			b
	a)	Рис.5.37		b)
		Рис.5.37

Заменим активный двухполюсник эквивалентным генератором с напряжением EЭ и внутренним сопротивлением Z э , а пассивный двухполюсник заменим его входным сопротивлением, которое служит нагрузкой генератора Z н (рис.5.37б).

Определим, при каких значениях Z н в ней выделяется наибольшая мощность.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

Пусть Z э Rэ jX э , Z н Rн jXн .

Найдем комплексное действующее значение тока:

I		EЭ	EЭ
	Z э	Z н	Rэ jX э Rн jX н

и «просто» действующее значение тока:

Eэ

Активная мощность в нагрузке:

P I

E2 R

. (5.96)

I Rэ a

Rэ Rн

Х э

Х н

Мощность будет больше, если уменьшить

Eэ

знаменатель. Для этого выполним первое условие

Rн

согласования:

Хэ

Хн

Хэ .

(5.97)

При этом в цепи рис.5.37б наступает после-

Рис.5.38

довательный

резонанс

напряжений,

реактивные

сопротивления генератора и нагрузки компенсируют друг друга и в цепи остаются только активные сопротивления (рис.5.38).

Мощность в цепи рис.5.38 мы уже изучали. Также как на постоянном токе, в нагрузке Rн будет выделяться максимальная мощность, если

выполнено второе условие согласования:
Rэ	Rн .	(5.98)
Объединим условия (5.97) и (5.98) и получим условие выделения
наибольшей мощности в цепи гармонического тока:
Rн jXн	Rэ jXэ и	(5.99)
Z н	ZЭ*	(5.100)
П р а в и л о с о г л а с о в а н и я .	Комплексное	сопротивление

нагрузки равно комплексно-сопряженному внутреннему сопротивлению источника.

5.25. Повышение коэффициента мощности

В цепи рис.5.39 нагрузка комплексная Z н Rн jXн . Требуется скомпенсировать реактивную составляющую нагрузки и повысить коэф-

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

				95
		фициент		мощности			cosφ.		Для	этого параллельно
		нагрузке подключают реактивный элемент Xк. Прово-
Xн		димость нагрузки:
Xк	Yн			Yн	gн		jbн			1
Rн	Yн			Yн	gн		jbн		Rн	jX н
Rн									Rн	jX н
Yк					Rн			j	X н
Yэ Рис.5.39				R	2		X 2	j	R 2	X 2 .
Yэ Рис.5.39				н			н		н	н
		Проводимость дополнительного реактивного элемен-
та должна равняться			jbн :
	Yк		1	j		X н			jbн .
	Yк		jXк	j		2	X н2		jbн .
			jXк	Rн		2	X н2

Тогда эквивалентная входная проводимость становится активной и cosφ=1:

Y э Yк Yн gн jbн jbн gн Gэ .

5.26. Примеры расчета цепей гармонического тока

Указание: В примерах, где заданы значения индуктивностей, емкостей и параметры сигнала, рекомендуем выполнить моделирование и исследование схемы в программе TINA-TI.

П рим ер 5 . 1 4

В	цепи		рис.5.40		задано:		e( t )	30 2 sin 103t			90o В,
L 40 мГн,С			100 мкФ,R			30Ом .	Найти	показания		амперметра и
							построить векторную диаграмму
i(t)	Im	L	jXL	R			тока и напряжений.
e(t)	A							Р е ш е н и е
e(t)				UmR		C	1. Находим			комплексную
			UmL			C
			UmL
Em				UmC		-jXC	амплитуду источника				напряже-
Em				UmC			ния и комплексные сопротивле-
							ния и комплексные сопротивле-
							ния:
	Рис.5.40						Em	30 2e	j90o	j30 2 В ;
							Em	30 2e		j30 2 В ;
jX L	j L	j103 40 10 3				j40Ом ;
jXC	j	1	j	103		1	j10Ом ,
		C		103	100 10 6

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

jX L

jXC

j40 j10 30 j30Ом.

Находим комплексную амплитуду тока:

e j90o

j30 2

1 e j45o

2 A.

j30

j45o

Находим мгновенное значение тока:

i( t ) 1sin 103t

45o

Амплитуда тока Im

1A. Амперметр показывает действующее

значение тока: I

0,707 A.

Рассчитываем комплексные амплитуды напряжений на элементах

цепи:

RIm 30e j45o В, U

j40 1 e j45o

40e j135o В,

mС

j10 1 e j45o

10e j45o В .

Строим векторную диаграмму (рис.5.41):

1 А

UmL

10 В

+90o

UmR

UmL

UmC

+45o

-90 o

UmC

Рис.5.41

П рим ер 5 . 1 5

цепи

рис.5.42

задано:

i(t)

e( t )

10 sin 103t

60o

В ,

Zвх

1 мГн,С

500 мкФ

1Ом,R2

2Ом .

e(t)

Найти ток на входе цепи.

Р е ш е н и е

zab

Рис.5.42

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

1. Находим комплексную амплитуду напряжения и комплексные сопротивления:

E	10e j60o В ,
m
jX L	j103		1 10 3	j1Ом ,
jXC	j	1	j	1		j2Ом ,
jXC	j	C	j		6	j2Ом ,
		C	1000 500 10		6

R1 1Ом,R2

2Ом.

2. Находим эквивалентное сопротивление Zвх и ток:

Zвх jX L

jXC

j1 1

jXC

1 j1

1 j1 j 1 2 Ом

2 j2

10e j60o

5e j60o

А.

Zвх

Мгновенное значение тока:

i( t )

5 sin 103t 60o

Амперметр покажет действующее значение:

3,54 А .

П рим ер 5 . 1 6

Im1

=2Ом

В символической схеме замещения

цепи рис.5.43 заданы параметры:

12e j45o В,

jXL

Im2

Im3 Um

-jXC

jX L

j4Ом,

jXC

j4ОМ ,

2Ом,

4Ом,R3

4Ом .

Найти

токи

в ветвях и построить

векторную топографическую диаграмму.

Рис.5.43

Ре ш е н и е

1.Находим комплексные сопротивления :

Z1=2 Ом, Z2=4+j4 Ом, Z3=4-j4Ом.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

Zab	Z1Z2		4 j4 4 j4		16 16		4Ом .
	Z1	Z2	4 j4	4 j4		8

Zвх

Zab

2 4 6Ом.

2. Находим токи в ветвях:

12e j45o

j45o

Zвх

По правилу деления токов:

m1 4 j4

2e j45o 4 j4

4 j4

1 j1 e j45o

e j45o e j45o

2A.

m1 4

j90o

3. Находим комплексные напряжения в точках схемы:

e j45o

8e j45o В,

0, U

m2Z2

2 4 j4

m2R2

2 4 4 2 В,

4 e j90o

j4 2 В,

8e j45o

4e j45o

12e j45o В.

mca

4. Строим топографическую диаграмму (рис.5.44).

1А	+ j		U mc
		Umca
2В	U mae	Uma
	U mae	Uma
	Ume
	Im1	Umad
	Im3	Umad
	0 Umb Im2	Umd	+1
	Рис.5
		. 44

П рим ер 5 . 1 7

В цепи рис.5.45 e(t)=8sin100t В, J(t)=4cos100t A, R1=R2=4Ом, L=40 мГн.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

Определить при каком значении Zн в нем выделяется наибольшая активная мощность. Рассчитать в этом режиме токи в цепи, проверить баланс мощностей.

	L	c
e( )	i2(t)	R1	(	t)
e( )		R1	(
t			J
	a
i1(t)	Uab	Z H
	R2 b

Рис.5.45

Ре ш е н и е

1.Преобразуем источник тока к функции синуса.

J ( t ) 4cos100t 4 sin(100t 90o ) A.

2. Вычислим комплексные амплитуды источника напряжения и источника тока: E 8 В , J 4e j90o A.

3. Вычислим комплексное сопротивление индуктивности:

						jX	L	j100 40 10 3	j4Ом .
							L
			4. Исключим сопротивление нагрузки. Получим одноконтурную
цепь,				в которой		действует ток с			комплексной амплитудой
	I	m1	J	m	4e j90o A.	Найдем напряжение холостого хода:
		m1		m

mabxx

m1 R2

E jXL

Im1

j4 4

j16 В

5. Найдем входное сопротивление эквивалентного генератора:

Zвхab R1 R2 jX L 8 j4 Ом .

Для согласования с генератором требуется: Z

8 j4Ом .

вхab

6. В схеме эквивалентного генератора (рис.5.46):

Zвхab

mabxx

j16

1,5

j А

Im2

Zн

Zвхab

Emэ=Umabхх

Zн

По схеме рис.5.45 находим

Im1

Im2

1,5 j3 А .

7. Выполним расчет баланса мощности.

Рис.5.46

Комплексная

мощность

источников

энергии:

mbc

ист

8 (1,5 j3 )

m2 ( R1

ZН ) Jm

j12

( j

1,5 ) (12 j4 ) (

j4 )

j16 ВА.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3711 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
28.02.20242.81 Mб0Laboratornaya_rabota.docx
#
28.02.2024487.27 Кб0Mironenko_RGZ_1_TOE.docx
#
28.02.20243.19 Mб0Otvety_TOE.docx
#
28.02.2024137 Кб0VAFa_05_09.xlsx
#
28.02.20241.42 Mб1zadaniya-neti (1).pdf
#
28.02.20249.47 Mб1Алехин электротехника.pdf
#
28.02.20241.42 Mб0зад. 5.2 (1 часть).pdf
#
28.02.202414.57 Кб0Защита.docx
#
28.02.2024700.67 Кб0магнитные цепи.pdf
#
28.02.2024946.75 Кб0несинусоидальные цепи.docx
#
28.02.20243.68 Mб2практикум СФУ.pdf