в17 (2)
.docxНазва |
Р1 |
Р2 |
Р3 |
Р4 |
Обсяг ресурсу |
1 ресурс |
2 |
2 |
3,5 |
4 |
434 |
2 ресурс |
5 |
3 |
4 |
2 |
537 |
3 ресурс |
1,5 |
3 |
2,5 |
0,67 |
500 |
Ціна за одиницю, грн |
24 |
21 |
29 |
37 |
|
1. Математичні моделі прямої та двоїстої задачі:
Z=24х1+21х2+29х3+37х4→max
2
х1+2х2+3,5х3+4х4≤434
5х1+3х2+4х3+2х4≤537
1,5х1+3х2+2,5х3+0,67х4≤500
хі≥0б і=1.. 4
де хі– обсяг виробництва продукції і-го виду
F
=434у1+537у2+500у3→
min
2у1+5у2+1,5у3≥24
2у1+3у2+3у3≥21
3,5у1+4у2+2,5у3≥29
4у1+2у2+0,67у3≥37
уі≥0, і=1..3
де уі – оцінка одиниці і-го виду ресурсу.
2Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної формі).
У 1-му нерівності сенсу (≤) вводимо базисну змінну x5. У 2-му нерівності сенсу (≤) вводимо базисну змінну x6. У 3-му нерівності сенсу (≤) вводимо базисну змінну x7. 2x1+2x2+3.5x3+4x4+x5 = 434 5x1+3x2+4x3+2x4+x6 = 537 1.5x1+3x2+2.5x3+0.67x4+x7 = 500
Матриця коефіцієнтів A = a (ij) цієї системи рівнянь має вигляд:
2 |
2 |
3.5 |
4 |
1 |
0 |
0 |
5 |
3 |
4 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1.5 |
3 |
2.5 |
0.67 |
0 |
0 |
1 |
Вирішимо систему рівнянь щодо базисних змінних: x5, x6, x7
Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:
X0 = (0,0,0,0,434,537,500)
Базисне рішення називається допустимим, якщо воно невід'ємне.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x5 |
434 |
2 |
2 |
3.5 |
4 |
1 |
0 |
0 |
x6 |
537 |
5 |
3 |
4 |
2 |
0 |
1 |
0 |
x7 |
500 |
1.5 |
3 |
2.5 |
0.67 |
0 |
0 |
1 |
F(X0) |
0 |
-24 |
-21 |
-29 |
-37 |
0 |
0 |
0 |
Обчислимо значення Di по рядках як частка від ділення: bi / ai4
і з них виберемо найменше:
min (434: 4, 537: 2, 500: 0.67) = 108.5
Отже, 1-ша рядок є провідною.
Дозволяє елемент дорівнює (4) і знаходиться на перетині ведучого шпальти і ведучою рядка.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x5 |
434 |
2 |
2 |
3.5 |
4 |
1 |
0 |
0 |
108.5 |
x6 |
537 |
5 |
3 |
4 |
2 |
0 |
1 |
0 |
268.5 |
x7 |
500 |
1.5 |
3 |
2.5 |
0.67 |
0 |
0 |
1 |
746.269 |
F(X1) |
0 |
-24 |
-21 |
-29 |
-37 |
0 |
0 |
0 |
|
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
434 : 4 |
2 : 4 |
2 : 4 |
3.5 : 4 |
4 : 4 |
1 : 4 |
0 : 4 |
0 : 4 |
537-(434 • 2):4 |
5-(2 • 2):4 |
3-(2 • 2):4 |
4-(3.5 • 2):4 |
2-(4 • 2):4 |
0-(1 • 2):4 |
1-(0 • 2):4 |
0-(0 • 2):4 |
500-(434 • 0.67):4 |
1.5-(2 • 0.67):4 |
3-(2 • 0.67):4 |
2.5-(3.5 • 0.67):4 |
0.67-(4 • 0.67):4 |
0-(1 • 0.67):4 |
0-(0 • 0.67):4 |
1-(0 • 0.67):4 |
0-(434 • -37):4 |
-24-(2 • -37):4 |
-21-(2 • -37):4 |
-29-(3.5 • -37):4 |
-37-(4 • -37):4 |
0-(1 • -37):4 |
0-(0 • -37):4 |
0-(0 • -37):4 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x4 |
108.5 |
0.5 |
0.5 |
0.875 |
1 |
0.25 |
0 |
0 |
x6 |
320 |
4 |
2 |
2.25 |
0 |
-0.5 |
1 |
0 |
x7 |
427.305 |
1.165 |
2.665 |
1.914 |
0 |
-0.168 |
0 |
1 |
F(X1) |
4014.5 |
-5.5 |
-2.5 |
3.375 |
0 |
9.25 |
0 |
0 |
Обчислимо значення Di по рядках як частка від ділення: bi / ai1
і з них виберемо найменше:
min (108.5: 0.5, 320: 4, 427.305: 1.165) = 80
Отже, 2-а рядок є провідною.
Дозволяє елемент дорівнює (4) і знаходиться на перетині ведучого шпальти і ведучою рядка.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x4 |
108.5 |
0.5 |
0.5 |
0.875 |
1 |
0.25 |
0 |
0 |
217 |
x6 |
320 |
4 |
2 |
2.25 |
0 |
-0.5 |
1 |
0 |
80 |
x7 |
427.305 |
1.165 |
2.665 |
1.914 |
0 |
-0.168 |
0 |
1 |
366.785 |
F(X2) |
4014.5 |
-5.5 |
-2.5 |
3.375 |
0 |
9.25 |
0 |
0 |
|
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
108.5-(320 • 0.5):4 |
0.5-(4 • 0.5):4 |
0.5-(2 • 0.5):4 |
0.875-(2.25 • 0.5):4 |
1-(0 • 0.5):4 |
0.25-(-0.5 • 0.5):4 |
0-(1 • 0.5):4 |
0-(0 • 0.5):4 |
320 : 4 |
4 : 4 |
2 : 4 |
2.25 : 4 |
0 : 4 |
-0.5 : 4 |
1 : 4 |
0 : 4 |
427.305-(320 • 1.165):4 |
1.165-(4 • 1.165):4 |
2.665-(2 • 1.165):4 |
1.914-(2.25 • 1.165):4 |
0-(0 • 1.165):4 |
-0.168-(-0.5 • 1.165):4 |
0-(1 • 1.165):4 |
1-(0 • 1.165):4 |
4014.5-(320 • -5.5):4 |
-5.5-(4 • -5.5):4 |
-2.5-(2 • -5.5):4 |
3.375-(2.25 • -5.5):4 |
0-(0 • -5.5):4 |
9.25-(-0.5 • -5.5):4 |
0-(1 • -5.5):4 |
0-(0 • -5.5):4 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x4 |
68.5 |
0 |
0.25 |
0.594 |
1 |
0.313 |
-0.125 |
0 |
x1 |
80 |
1 |
0.5 |
0.563 |
0 |
-0.125 |
0.25 |
0 |
x7 |
334.105 |
0 |
2.083 |
1.258 |
0 |
-0.022 |
-0.291 |
1 |
F(X2) |
4454.5 |
0 |
0.25 |
6.469 |
0 |
8.563 |
1.375 |
0 |
Серед значень індексного рядка немає негативних. Тому ця таблиця визначає оптимальний план завдання.
Остаточний варіант симплекс-таблиці:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x4 |
68.5 |
0 |
0.25 |
0.594 |
1 |
0.313 |
-0.125 |
0 |
x1 |
80 |
1 |
0.5 |
0.563 |
0 |
-0.125 |
0.25 |
0 |
x7 |
334.105 |
0 |
2.083 |
1.258 |
0 |
-0.022 |
-0.291 |
1 |
F(X3) |
4454.5 |
0 |
0.25 |
6.469 |
0 |
8.563 |
1.375 |
0 |
Оптимальнbй план можнозаписатb так: x1 = 80, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 68.5 х7=334,105 Zmax = 24*80 + 21*0 + 29*0 + 37*68.5 = 4454.5
У1=8,56, у2=1,375, у3=0
F min=4454.5
Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво 1 та 4 видів продукції у кількості 80 та 68,5 од. Додаткові змінні характеризують залишок, оскільки х7=334,105, 3 ресурс використовується у процесі неповністю, а перший і другий в повному обсязі(х5=х6=0).
За такого оптимального плану підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 4454,5 ум. од.
План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. У1 та у2 відмінні від 0, то ці ресурси використані в повному обсязі. У3=0, то 3 ресурс використовується неповністю. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів у розмірі 4454,5 ум. од.
3. Підстановка Х в обмеження:
1 ресурс 434=434
2 ресурс 537=537
3 ресурс 165,895<500
1,2 ресурси – дефіцитні, 3 ресурс недефіцитний.
Якщо запас 1 дефіцитного ресурсу збільшити на 1 (435), то цільова функція збільшиться на у1=8,56 ум. од. і становитиме 4463,06. Новий оптимальний план буде такий
Х=(79,875;0;0;68,813;0;0;334,083)
Отже це призведе до зменшення випуску 1 продукції та збільшення 4 продукції).
Якщо збільшити запас 2 дефіцитного ресурсу на 1 (538) ), то цільова функція збільшиться на у1=1,375 ум. од. і становитиме 4455,875. Новий оптимальний план буде такий
Х=(80,25;0;0;68,375;0;0;333,814)
Отже це призведе до збільшення випуску 1 продукції та зменшення 4 продукції).
Для визначення рентабельності звернемося до обмежень двоїстої задачі
Р1 24=24
Р2 21,25>21
P3 35.47>29
P4 37=37
Отже маємо, продукція 1 та 4 рентабельна, а 2 та 3 нерентабельні.
4. Якщо обсяг 1 ресурсу буде змінюватись в межах від 215.15до 1074, то структура оптимального плану залишиться незмінною,
Х=(80-0.125b1, 0, 0, 68,5+0.313b1, 0, 0, 334,105-0.22b1)
B1≤640
B1≥218.849
B1≤1518.66
434-218.849≤b1≤434+548
215.15≤b1≤1074
4454.5-215.15*8.56≤Zmax≤4454.5+640*8.56
2612.82≤Zmax≤9932.9
Якщо обсяг 2 ресурсу буде змінюватись в межах від 217 до 1085, то структура оптимального плану залишиться незмінною,
217≤b2≤1085
4454.5-217*1.375≤Zmax≤4454.5+1085*1.375
4156.125≤Zmax≤5946.375
5. Якщо ціна за одиницю продукції 1 типу буде змінюватись в межах від 23,5 до 92,5, то структура оптимального плану залишиться незмінною буде рентабельним виробництво 1 та 4 продукції.
Якщо ціна за одиницю продукції 2 типу буде змінюватись в межах від 0 до 21,25, то структура оптимального плану залишиться незмінною буде рентабельним виробництво 1 та 4 продукції.
Якщо ціна за одиницю продукції 3 типу буде змінюватись в межах від 0 до 35,47, то структура оптимального плану залишиться незмінною буде рентабельним виробництво 1 та 4 продукції.
Якщо ціна за одиницю продукції 4 типу буде змінюватись в межах від 36 до 48, то структура оптимального плану залишиться незмінною буде рентабельним виробництво 1 та 4 продукції.