Контрольная работа / Контрольная работа по теоретической механике(Вариант С)

Задание Статика, вариант С.

Равновесие вала

Горизонтальный вал весом G=20Н может вращаться в цилиндрических шарнирах A и B. К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F=0,3N. На шкив 2 действуют силы натяжения ремней T₁=40Н и T₂=24Н. Груз Q=10Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов P₁=44Н, P₂=30Н, P₃=38Н. Все нагрузки действуют в вертикальной плоскости (см. рис. 1). Размеры вала а=24см; b=25см; c=28см; d=27см. Размеры шкивов R₁=16см, R₂=10см, R₃=12см. Угол наклона ⍺=60⁰.

Рисунок 1 – Исходная схема нагрузки вала

Решение.

1. Вал в пространстве вращается равномерно. Равновесие системы обеспечивает сила . Нанесем вес шкивов , и , численные значения длин. Вал вращается на двух цилиндрических опорах (подшипниках) в точках А и В. В обеих опорах будет по две составляющие реакции вдоль осей х и z (см. рис. 2). Пусть направление составляющих реакций совпадает с положительным направлением осей. Уточнять направление реакций будем после решения уравнений.

,,

Рисунок 2 – Расчетная схема нагрузки вала к определению неизвестных усилий

Имеем 5 неизвестных: сила и 4 реакции, составим 5 уравнений равновесия:

Решаем относительно искомых неизвестных:

Действительное направление реакций совпадают с предложенным направлением на расчетной схеме, кроме . Изменим ее направление на противоположное (см. рис. 2).

Ответы;

Кинематика. Задача 3, вариант С.

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Материальная точка движется в плоскости ху. Закон движения точки задан уравнениями: и , где х и у в см. t в секундах.

Найти уравнение траектории точки (изобразить траекторию на чертеже). Для момента времени t₁=2 c определить: 1) скорость точки, 2) ускорение точки, 3) касательное ускорение точки, 4) нормальное ускорение точки, 5) радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение.

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, то выделим из обоих уравнений квадраты функций и сложим левые и правые части уравнений:

__________________

Преобразуем уравнение и получим:

Траектория прямая линия. Чтобы построить прямую линию достаточно иметь координаты двух точек. Определим точки пересечения прямой линии с осями координат и построим траекторию движения точки (см. рис. 3):

- пересечение линии с осью х:

- пересечение линии с осью у:

Рисунок 3 – К определению абсолютной скорости и абсолютного ускорения и других кинематических параметров точки в заданный момент времени

2. Определим положение материальной точки на траектории в момент времени t₁ = с и построим его (см. рис. 3).

3. Определим абсолютную скорость точку в рассматриваемый момент времени.

3.1. Определим составляющую скорости вдоль оси х, как первую производную координаты х по времени:

В заданный момент времени:

Направление вектора совпадает с положительным направлением оси х.

3.2. Определим составляющую скорости вдоль оси у, как первую производную координаты у по времени:

В заданный момент времени:

Направление вектора совпадает с положительным направлением оси у.

3.3. Абсолютная скорость точки в заданный момент времени определим на основании теоремы Пифагора:

Направление вектора абсолютной скорости определим по правилу параллелограмма (см. рис. 3). Проверка: абсолютная скорость точки при прямолинейном движении должна быть направлена вдоль прямолинейной траектории.

4. Определим абсолютное ускорение точки в рассматриваемый момент времени.

4.1. Определим составляющую ускорения вдоль оси х, как первую производную скорости по времени:

В заданный момент времени:

Направление вектора не совпадает с положительным направлением оси х.

4.2. Определим составляющую скорости вдоль оси у, как первую производную координаты у по времени:

В заданный момент времени:

Направление вектора не совпадает с положительным направлением оси y.

4.3. Модуль абсолютного ускорения точки в заданный момент времени определим на основании теоремы Пифагора:

Направление вектора абсолютного ускорения определим по правилу параллелограмма (см. рис. 3). Проверка: абсолютное ускорение точки при прямолинейном движении должна быть направлена вдоль прямолинейной траектории.

4.4. Определим модуль касательного ускорения по формуле:

Направление вектора касательного ускорения прямолинейного движения совпадает с на линию действия абсолютной скорости (см. рис. 3), но направлению скорости противоположно – движение замедленное.

4.5. Определим модуль нормального ускорения по формуле:

5. Определим радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке траектории:

Действительно – траектория движения прямая линия.

Кинематика. Задача 4, вариант С.

Точка М движется в направляющей трубке АВ по закону . В начальный момент времени положение точки М совпадает с точкой О. Положение точки М на рисунке 4 соответствует положительному значению координаты s. Трубка АВ совершает вращательное движение по закону , положительное направление вращения см. рис. 4.

Рисунок 4 - Исходная схема сложного движения точки М

Для момента времени t=t₁=1c определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1.1. Выделим каждое движение и дадим наименование.

- трубка АВ для движения материальной точки М связана с подвижной системой отсчета. Движение точки М относительно подвижной системы отсчета называется относительным. Все параметры, связанные с этим движением будут отмечаться индексом r;

- ось вращающегося О₁О₂ круга, с расположенной на нем трубкой АВ, связана с неподвижной системой отсчета. Их движение относительно неподвижной системы отсчета называется переносным. Все параметры, связанные с этим движением будут отмечаться индексом е;

- движение материальной точки М относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Все параметры, связанные с этим движением будут отмечаться индексом а.

2. Определим положение точки М в заданный момент времени.

2.1. Выделим относительное и переносное движение.

- будем считать, что в заданный момент времени переносное движение (плоскость круга) совпадает с плоскостью чертежа.

- движение точки М по трубке АВ – относительное движение. Определим длину дуги ОМ, пройденную точкой М за время t₁=1c:

2.2. Выполним расчётную схему с уточненным положением точки М в трубке для последующего нанесения скоростей или ускорений (см. рис. 5). Координата ОМ увеличивается, так как получили .

Рисунок 5 – Определение абсолютной скорости точки М

3. Определим абсолютную скорость точки М, как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей.

+

3.1. Определим относительную скорость:

- модуль относительной скорости определим как первую производную перемещения по времени:

-направление в направлении увеличения координаты ОМ

3.2. Определим переносную скорость:

- модуль переносной скорости точки М определим через переносную угловую скорость тела D, которую определим как первую производную угла поворота по времени:

-так как величина , то направление вращения совпадает с направлением увеличения угла поворота .

- модуль переносной скорости точки М определим по формуле:

где – радиус переносного движения (см. рис. 5), измеряется, как расстояние от точки М до оси вращения О₁О₂ и численно равен:

Вектор направлен в сторону вращения , перпендикулярно плоскости чертежа.

3.3. Определим абсолютную скорость точки М по теореме Пифагора. Угол между скоростями 90⁰, потому что вектор лежит в плоскости чертежа, а вектор перпендикулярен чертежу.

Направление вектора абсолютной скорости по правилу параллелограмма (см. рис. 5).

3. Определим абсолютное ускорение точки М, как геометрическую сумму относительного, переносного ускорения и ускорения Кориолиса (см. рис. 6).

Рисунок 6 – Определение абсолютного ускорения точки М

3.1. Определим относительное ускорение. Так как относительное движение прямолинейное, определим его, как первую производную относительно скорости по времени:

от времени не зависит;

-направление вектора совпадает с направлением скорости так как имеют одинаковые знаки.

3.2. Определим переносное ускорение.

Так как переносное движение вращательное, имеет две составляющие – вращательную и центробежную.

-модуль вращательной составляющей ускорения определим через переносное угловое ускорение, которое определим, как первую производную угловой скорости по времени:

в рассматриваемый момент времени:

-так как величина , то направление вращения совпадает с направлением вращения ;

- модуль переносного вращательного ускорения точки М определим по формуле:

- направление вектора совпадает с направлением , так как имеют одинаковые знаки.

-центробежная составляющая ускорения по величине:

- направление по радиусу R_e от точки М к оси вращения.

3.3. Ускорение Кориолиса:

- модуль определим по формуле:

Так как направлена вдоль оси вращения переносного движения по О₁О₂ вверх, а направлена к точке А, вверх, по прямой АВ, составляющей с осью вращения угол 30⁰. Значит, . Тогда

- направление вектора ускорения Кориолиса по правилу Н. Е. Жуковского (см. рис. 7):

Рисунок 7 – Правило Н. Е. Жуковского для определения направления ускорения Кориолиса

3.4. Определим абсолютное ускорение точки М методом проекций. Для этого построим оси координат xyz и далее по теореме Пифагора.

Задача 6, вариант С.

Шарик массы m=0,6кг движется из положения А внутри изогнутой трубки, расположенной в вертикальной плоскости (см. рис. 8). Шарик, пройдя путь l_о=20см, отделяется от пружины. В точке В шарик, не меняя своей скорости, переходит на участок ВС, где на него дополнительно действует сила =0. (направление указано на рис. 8). Пользуясь общими уравнениями динамики, определить скорость точки в положениях B и С.

Рисунок 8 – Заданная схема движения шарика

Исходные данные: начальная скорость шарика V_A=0;

длина участка АВ=0,5м;

время движения на участке ВС τ=1,2с;

коэффициент трения скольжения f=0,12;

коэффициент жесткости пружины с=1,9Н/см;

угол наклона трубки ⍺=45⁰.

Решение.

1. Составим расчетную схему.

1.1. Добавим точку D – отделение шарика от пружины.

1.2. Рассмотрим действующие на шарик силы при его движении на участке АD: силы , и _тр; _упр (см. рис. 9). Известна длина участка АD, равная l₀.

Для решения используем теорему об изменении кинетической энергии:

где – сумма работ сил, действующих на рассматриваемом участке.

Рисунок 9 – Расчетная схема к определению искомых величин

– так как эта сила не совершает работу – перпендикулярна к направлению движения шарика.

- работа силы тяжести при изменении высоты на величину h, которая равна:

– работа силы трения.

– работа силы упругости пружины.

Подставим все в теорему об изменении кинетической энергии

или

2. Составим расчетную схему с нанесением всем действующих сил , и _тр при движении шарика на участке DB (см. рис. 9). На участке DВ известна длина участка, равная АВ-l₀=0,5-0,2=0,3м.

Для решения используем теорему об изменении кинетической энергии:

где – сумма работ сил, действующих на рассматриваемом участке.

– так как эта сила не совершает работу – перпендикулярна к направлению движения шарика.

- работа силы тяжести при изменении высоты на величину h₂, которая равна:

– работа силы трения.

Подставим все в теорему об изменении кинетической энергии:

или

3. Составим расчетную схему с нанесением всем действующих сил , и _тр при для движении шарика на участке BС (см. рис. 9).

Для решения используем теорему об изменении количества движения:

где – сумма импульсов всех сил, действующих на шарик при движении на участке BС.

Рассмотрим импульсы трех действующих сил в проекции:

Подставим в теорему об изменении количества движения:

или

Подставим значения и определим скорость в точке С: