Лекции

Механика жидкости и газа.

Введение.

Втеоретической механике рассматривается материальная точка и система материальных точек, причем под системой может подразумеваться как дискретная система, так и сплошная (твердое тело). Вообще же сплошная среда объединяет твердые, жидкие и газообразные системы; различие заключается лишь в том, малыми или большими будут деформации, производимые действующими силами, механика же деформируемых тел может быть построена по одной и той же схеме.

Раздел теоретической механики о малых деформациях твердых тел, где сцепление между частицами достаточно велико, носит название механики упругого тела или теории упругости. Раздел же, рассматривающий жидкие и газообразные среды (сцепление между частицами настолько мало, что не может противостоять силам, совершающим большие деформации и перемещение частиц) – механикой жидкости и газа или гидромеханикой.

Как и твердые тела, жидкости и газы являются сплошными средами с непрерывным, как правило, распределением физических величин. Основным отличием является легкая подвижность жидкости и газа. Если твердое тело при движении испытывает малые деформации и смещения своих частиц, то жидкости и газы претерпевают большие деформации (текут). В поле силы тяжести жидкости могут иметь граничную поверхность, а газы заполняют весь сосуд, в который они помещены. Далее, капельные жидкости крайне сильно сопротивляются сжатию, газы же сжимаются легко, следовательно, жидкости считаются практически несжимаемыми, а газы – сжимаемыми. Вместе с тем, и жидкость, и газ крайне слабо сопротивляются деформации сдвига.

Вжидкости молекулярные расстояния весьма малы, а значит, силы сцепления являются достаточно большими. Вследствие этого жидкости свойственна смачиваемость (поверхностное натяжение) на границе разделения двух различных жидкостей, жидкости

итвердого и газообразного тела с образованием капель. Это свойство может проявляться

ивнутри жидкости (например, кавитация). Газам все это не свойственно.

Практическое значение гидромеханики проявляется в кораблестроении, авиации, гидротехнике (построение трубопроводов, турбин и водопровода), гидрологии и океанографии (изучение волновых и турбулентных течений). Метеорология же исследует динамику атмосферы, а именно турбулентное движение воздуха, солнечную радиацию, испарение и т.п.

1. Формулы векторного анализа.

Производной от вектора по скалярному аргументу является вектор

Перечислим основные свойства такой производной.

1.

2.

3.

4.

5.

Можно вычислить также интеграл от векторной функции по скалярному аргументу . Если то

Линейным интегралом вектора вдоль данной кривой L является скаляр

Пусть – скалярная функция, зависящая от векторного аргумента (функция точки). Тогда производной по направлению единичного вектора от этой функции точки является предел

Градиентом скалярной функции точки является вектор

Градиент непосредственно связан с производной по направлению. Эта связь выражается с помощью формулы

Решение. Используем формулу из теоремы Гаусса, применяя при вычислении интеграла цилиндрические координаты.

Задача 2. Найти поток радиус-вектора через внешнюю поверхность прямого кругового цилиндра, радиус основания которого R, высота h.

Решение. Будем вычислять поток по определению

Но тогда придется вычислять три потока: через боковую поверхность цилиндра и через верхнее и нижнее его основания, т.к. это три разных интеграла.

Таким образом, поток через внешнюю сторону цилиндра

Задача 3. Найти циркуляцию вектора вдоль окружности в положительном направлении (против часовой стрелки).

Решение. 1 способ (по определению). Зададим окружность параметрическим уравнением

2 способ (по формуле Стокса).

2. Основные свойства жидкости и газа.

Плотностью называется количество массы жидкости, содержащийся в единице

объема.

единицы измерения плотности: . Плотности обычных капельных жидкостей (кроме ртути) близки к плотности воды и слабо изменяются с изменением давления и температуры. Как правило, с увеличением температуры плотность жидкости уменьшается. Для воды при температуре

Удельным весом жидкости называется вес единицы её объема

Часто в гидравлических расчетах принимают

Силы, действующие в жидких и газообразных средах. Различают два класса сил, приложенных к частицам выделенного объема жидкости или газа: объемные и поверхностные.

Объемные силы приложены к частицам жидкой среды, заполняющим некоторый объем, и действуют на каждый элемент объема одинаково, независимо от того, существуют или нет рядом другие частицы жидкости. Примеры: сила тяжести, сила инерции, сила электростатического притяжения.

Поверхностные силы действуют на боковую поверхность данного объема жидкости, к ним относятся силы взаимодействия между частицами жидкости, трение жидкости о поверхность твердого тела, давление тела на обтекающую его жидкость и пр.

Выделим в жидкости объем V с поверхностью S. Объемные силы удобнее всего рассматривать, относя их к единице массы. Поскольку , то

- вектор объемных сил в данной точке. Главным вектором объемных сил, приложенным ко всему объему, является тройной интеграл

Поверхностные силы в жидкости возникают следующим образом: благодаря равенству действия и противодействия происходит уравновешивание сил взаимодействия между всеми частицами объема V, лежащими внутри поверхности S. Следовательно, могут оставаться неуравновешенными только силы, исходящие от частиц, лежащих снаружи поверхности S и приложенные к поверхностным частицам объема. Эти силы называются напряжением.

от ориентировки площадки, к которой приложено напряжение, имеет в каждой точке пространства бесчисленное множество значений.

образуют острый угол и нормальным давлением, если этот угол тупой. Проекция вектора на касательную к площадке называют косым напряжением или силой трения.

Нормальные напряжения стремятся разъединить частицы жидкости, но встречают сопротивление со стороны сил сцепления. Нормальные силы давления стремятся сжать жидкость, но жидкости практически несжимаемы, в отличие от газов.

Примеры решения задач.

Задача 1. Удельный вес бензина . Определить его плотность. Решение. По формуле, связывающей плотность и удельный вес

Задача 2. Вертикальный цилиндрический резервуар диаметром d = 2 м наполнен жидкостью до высоты H = 2 м. Вес жидкости в резервуаре G = 46.3 кН. Определить её удельный вес и плотность.

Решение. Объем жидкости в сосуде Следовательно,

3. Кинематика. Два подхода к исследованию жидкости.

Изучение движения жидкости может быть произведено с двух точек зрения. Первый подход – подход Лагранжа. В нем объектом изучения служит сама движущаяся жидкость, вернее, отдельные её частицы, сплошь заполняющие объём жидкости. Само изучение состоит

1). в исследовании изменений, которые претерпевают различные векторные и скалярные величины, характеризующие движение жидкой частицы (скорость, плотность, температура и т.д.) в зависимости от времени;

2). в исследовании изменений тех же величин при переходе от одной жидкой частицы к другой.

Иначе говоря, эти величины рассматриваются как функции от времени и тех чисел, которыми отмечается индивидуальность взятой частицы. За такие числа можно взять декартовы координаты , , частицы в некоторый момент времени . Тогда при движении жидкого объема его координаты

Причем при

Переменные , , , t называются переменными Лагранжа. В этих переменных проекции скорости и ускорения

движущаяся жидкость, а неподвижное пространство, заполненное движущейся жидкостью. Изучается:

1). изменение различных элементов движения в фиксированной точке пространства с течением времени;

2). изменение этих элементов при переходе к другой точке пространства.

Иначе говоря, различные векторные и скалярные элементы движения рассматриваются как функции координат точки и времени x, y, z, t, которые называются переменными Эйлера. Для координат скорости, например

скалярные поля, характеризующие движение жидкости (поле скоростей, поле ускорений, поле плотностей и т.д.).

Из-за этих двух подходов существует и два вида производных по времени. Скорость изменения во времени параметра А в фиксированной частице

называется индивидуальной производной по времени от этого параметра и обозначается

. В переменных Лагранжа

В переменных Эйлера нужно учесть, что координаты частиц меняются со временем. Поэтому

или

Скорость изменения со временем величины А в заданной точке пространства называется местной производной по времени от этой величины и обозначается . В переменных Лагранжа

В переменных Эйлера

Следствием этого являются формулы для ускорения жидкой частицы в переменных Эйлера

4. Поле скоростей. Траектории и линии тока.

Рассмотрим различные виды скалярных и векторных полей. Поле будет стационарным, когда распределение физических величин в пространстве не меняется во времени, и поле будет нестационарным при изменении во времени распределения этих величин. Другое название: установившееся и неустановившееся движение. Поле

однородно, если во все точках пространства, в которых оно задано, его значения равны между собой в скалярном или векторном смысле. Однородное поле может быть и стационарным, и нестационарным.

Аналитически поле задается скалярной или векторной функцией

Для скалярного поля вводится так называемая поверхность уровня, т.е. поверхность, на которой скалярное поле имеет постоянное значение.

Для векторного поля все сложнее, т.к. вектора меняются не только по величине, но и по направлению. Если в точке M провести векторную функцию и отложить в

линией, то это будет векторная линия поля (здесь можно провести аналогию с силовыми полями электрического или магнитного поля, вдоль которого направлен вектор напряжения поля).

Через каждую точку поля можно провести одну векторную линию. Если же в пространстве провести замкнутый контур и через все его точки - векторные линии, то получим векторную трубку.

Легко вывести формулы для линий тока. С одной стороны,

С другой стороны, скорость совпадает с касательной. Если ds – элемент дуги, то

Таким образом, легко получить, что

Траекторию частицы, находящейся в данный момент времени в точке М получим, если проследим за ее движением с течением времени. Если поле стационарно, то траектория совпадет с линией тока, если же нестационарно, то нет. Уравнение траектории находится из решения системы дифференциальных уравнений

Итак, линии тока характеризуют картину движения в данный момент времени, а траектории – пространственный след движущейся частицы во времени.

Через каждую точку поля скоростей, в которой скорость не равна нулю, проходит только одна линия тока. Особыми точками называются те точки, через которые проходят несколько или даже бесконечное количество линий тока. Если линии тока пересекаются в особой точке под конечными углами, то, т.к. в одной точке не может быть разных направлений движения, скорость будет равна нулю или бесконечности.

Пример скорости, равной нулю: разветвление потока, обтекающего тело. В крайних левой и правой точках тела скорость потока равна нулю, эти точки называются

критическими.

Пример скорости, равной бесконечности: точечный источник или сток.

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти линии тока и траектории при движении жидкости, если поле скоростей имеет вид

Решение. Запишем систему дифференциальных уравнений для определения траектории. Поскольку жидкость движется в плоскости Oxy, в системе будет только два уравнения.

Каждое из этих уравнений можно решать отдельно, так что проинтегрируем их по времени и получим искомые уравнения траекторий жидких частиц.

Для определения линий тока подставим координаты скорости в уравнение линий тока. Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и проинтегрировав, запишем следующее уравнение