Контрольная работа Вариант 1 / Контрольная работа по Гидромеханике(Вариант С)

Вариант С

Контрольная работа

Задание 1. Для плоского поля скоростей v(v_x,v_y) определить:

а) линию тока и траекторию, проходящие через точку А(1/6;0) в момент времени t=0; б) тензор скоростей деформации и сжимаемости среды; в) поле вихря; г) ускорение точек среды.

v_x=y-t

v_y=6x

Решение: а) продифференцируем v_y по t и подставим значение v_x=y-t в полученное:

Это линейное неоднородное уравнение 2 порядка. Решение складывается из общего решения однородного уравнения y₁(t) и частного неоднородного y₂(t). Решение y₁(t) путем решения характеристического уравнения

к²-6=0 к_1,2=±√6

Решение:

частное решение находится из

y₂(t)=at²+bt+c

Дважды продифференцировав y₂(t) и подставив в исходное уравнение

y₂(t)=t

находим коэффициенты из начальных условий: А(1/6;0) при t=0

v_y=6x x(t)= v_y/6=

Подставив x(0)=1/6 и y(0)=0 получаем С₁+С₂=0 и С₁-С₂=0 или

С₁=0 и С₂=0 тогда уравнение траектории

y(t)=t x(t)=1/6. траектория – прямая.

Уравнение линий тока

разделив переменные получаем 6х²-y²=C из начальных условий С=1/6 или y=±√(6x²-1/6) график функции:

Компоненты тензора скоростей находим по формуле:

ε_xy=ε_yx=

Ротор

Для расчета ускорения:

_{Откуда: wx=vy-1=6x-1}

w_y=6v^x=6*(y-t)

Задание 2. По известному потенциалу φ=xy-8y найти функцию тока Ф.

Проверим несжимаемость среды:

divv= =0

Находим функцию тока от точки A(0;0) до B(x₀;y₀) . Разобьем путь на 2 участка: АС y=0, x∈[ 0;x₀] dy=0 ; CB x=x₀, y∈[ 0;y₀] dx=0

Ф(x₀,y₀)= x₀*y₀-8y₀

Задание 3. Вычислить давление р на высоте z=5 м, если задано давление р₀=10 кН/м² на высоте z₀=2 м, плотность ρ₀=1.35 кг/м³ ( плотность ρ=const).

Решение:

Плотность постоянна следовательно несжимаемая система:

Р=р/ρ

gz+P=const

из начальных условий находим постоянную

9.8*2+10*10³/1.35=7427

gz+P=7427 → P=7427 -gz =7398 →р=9987 Н/м²

Задание 4. Цилиндрический резервуар с радиусом круга в основании R=22 см, заполненный жидкостью с плотностью ρ=10³ кг/м³, объем жидкости V=1.3 м³ вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w=2.7 1/c. Определить распределение давления в сосуде и уравнение свободной поверхности. Давление на свободной поверхности р₀=94 кН/м².

Решение: основным уравнением динамики идеальной жидкости является уравнение Эйлера:

По определению скорость при вращении:

v=w x r= -wyi+wxj

Запишем уравнение Эйлера в координатном виде:

Интегрируем:

p=7.3*10³(x²+y²)-9.8*10³z+C

Запишем уравнение свободной поверхности зная р0=9.4*10⁴:

z=0.74(x²+y²)+

Это уравнение параболоида. Определим С из условия сохранения объема:

=

Из начальных условий находим С=9,36*10⁵ окончательно можно записать:

p=7.3*10³(x²+y²)-9.8*10³z+9,36*10⁵

z=0.74(x²+y²)+8.6

5