Контрольная работа по Математике Вариант 1 / Контрольная работа Вариант 1 (1 курс ФЗО)

Контрольная работа 1

Задание 1

Даны координаты вершин пирамиды. Найти: 1) длину ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) угол между ребром и гранью ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань .

(6; 6; 5)

(4; 9; 5)

(4; 6; 11)

(6; 9; 3)

Решение

1)Найдем длину ребра

2) Найдем угол между ребрами и через скалярное произведение

Угол найдем черед скалярное произведение

3) Найдем площадь грани

Площадь грани, построенного на векторах равна половине длины векторного произведения векторов на которых построена данная грань

4) Найдем объем пирамиды

Объём пирамиды, построенный на векторах равен модуля смешанного произведения векторов на которых построена данная пирамида

5) Составим уравнения прямой

6) Найдем уравнение плоскости

7) Найдем угол между ребром и гранью

Нормальный вектор плоскости , его длина , направляющий вектор ребра -

8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань записывается в виде

Задание 2

Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется:

1. построить линию по точкам от до , придавая значения через промежуток ;

2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

3. по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия. Уравнение

Решение

Построим кривую по точкам меняя значение параметра от 0 до с шагом

Строим таблицу

	0
	1,00	1,04	1,18	1,44	2,00	3,24	6,82	26,28
		26,28	6,82	3,24	2	1,44	1,18	1,04

Строим график

Данная кривая – парабола с вершиной в точке , параметром и осью симметрии

Контрольная работа 2

Задание 1

Даны две матрицы . Найти .

, .

Решение

Задание 2

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.

Решение

Метод обратной матрицы

Запишем систему в виде:

С учетом обозначений система уравнений принимает следующую форму: АХ = B. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: Х = А^-1B. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

∆=1∙(9∙3-(-6∙(-4)))-1∙(3∙3-(-6∙(-2)))+2∙(3∙(-4)-9∙(-2))=18

Так как определитель 18 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица

Найдем алгебраические дополнения матрицы A^T.

∆_1,1=(9∙3-(-4∙(-6)))=3

∆_1,2=-(3∙3-(-2∙(-6)))=3

∆_1,3=(3∙(-4)-(-2∙9))=6

∆_2,1=-(1∙3-(-4∙2))=-11

∆_2,2=(1∙3-(-2∙2))=7

∆_2,3=-(1∙(-4)-(-2∙1))=2

∆_3,1=(1∙(-6)-9∙2)=-24

∆_3,2=-(1∙(-6)-3∙2)=12

∆_3,3=(1∙9-3∙1)=6

Обратная матрица

Проверим вычисление обратной матрицы

Тогда,

Метод Крамера

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы ∆₁ =

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы ∆₂ =

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы

∆₃ =

Задание 3

Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

Решение

Найдем собственные значения и собственные векторы. Для этого составим характеристический многочлен

Получили собственные значения, найдем собственные значения

При получаем

При получаем первый собственный вектор

При получаем

При получаем второй собственный вектор

При получаем

При получаем третий собственный вектор

Задание 4

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .

Решение

Так как , поэтому лежит во второй четверти, значит, и , значит,

Так как , поэтому лежит в четвертой четверти, значит, и , значит,

Для вычисления кубического корня применим формулу Муавра

Контрольная работа 3

Задание 1

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение

1)

2)

3)

4) .

Задание 2

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение

Возможные точки разрыва для функции есть

Найдем односторонние пределы

Тогда, получаем, что , значит, функция непрерывна в точке 2

Так как и оба предела являются конечными, значит, - точка разрыва первого рода

Задание 3

Найти производные первого порядка данных функций.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение

1)

2)

3)

4)Применим логарифмическое дифференцирование

5)Возьмем производную от обеих частей равенства

Задание 4

Найти для заданных функций: 1) 2)

Решение

1)Найдем первую производную

Найдем вторую производную

2) Найдем первую производную

Найдем вторую производную

Контрольная работа 4

Задание 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;4].

Решение

Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения:

при

.

Выбираем наибольшее значение функции из найденных чисел – это 1. Теперь наименьшее – это 0

Задание 2

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение

А)

1) Область определения функции

2) Найдем точки пересечения с осью OX

, значит точка пересечения с осью OX -

3)

Так как , данная функция не является ни нечетной, ни четной

Функция не является периодической

4) являются точками разрыва

5) - вертикальные асимптоты

Найдем наклонные

,

, значит - наклонная асимптота.

6) Найдем экстремумы функции и интервалы монотонности

Корней нет

Изобразим на координатной прямой

Значит возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет

7) Найти точки перегиба и характеры выпуклости

Изобразим на координатной прямой

Значит выпукла вниз при и выпукла вверх при . Точка - точка перегиба.

8)

Б) 1. Предварительный анализ

1)Области определения и значения f(x)

Область определения функции , область значении найдем после анализа функции

2)Интервалы непрерывности и точки разрыва

Функция является произведением двух непрерывных функции, значит функция является непрерывной на всей области определения, соответственно, точек разрыва нет

3)Вертикальные асимптоты

Так как точек разрыва нет, то и вертикальных асимптот нет

4) Характерные точки графика

Характерных точек графика нет

5)Четность, нечетность функции

Так как и , данная функция не является ни четной, ни нечетной. Также она не является периодической

2. Наклонные и горизонтальные асимптоты

,

, значит - наклонная асимптота при

, значит при наклонных асимптот нет

3. Исследование экстремумов функции

1)интервалы функции 2)точки экстремумов 3) экстремальные значения функции

Изобразим на координатной прямой

Значит, возрастает при , убывает при .

- точка минимума

5. Исследование на выпуклость и вогнутость 1)интервалы 2)точки перегиба функции

Изобразим на координатной прямой

Значит выпукла вверх при , выпукла вниз при

- точка перегиба

6. Построение графика 

Контрольная работа 5

Задание 1

Найти неопределенные интегралы. В п. 1) и 2) результаты проверить дифференцированием.

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Решение

1)Воспользуемся внесением под знак дифференциала

Проверим дифференцированием

2)Применим метод интегрирования по частям

Проверим дифференцированием

3)Разложим подынтегральное выражение на сумму дробей

Тогда,

4)Сделаем замену переменной

Задание 2

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение

Задание 3

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением фигуры  вокруг указанной оси координат.

Решение

Сделаем чертеж тела вращения