TM_Lectures_part_I_13
.pdf
Лекция 13 (ТМ, часть I)
Изучение уравнения движения в одномерном случае. Потенциальное поле
Одномерное движение — это движение механической системы с одной степенью свободы.
В качестве примера можно привести такие системы: математический маятник, шарик движущийся по наклонной плоскости, падающее тело и др.
Одномерный случай хорош тем, что на основе него можно получить решения уравнений движения в общем виде некоторых систем, можно легко интегрировать основной закон движения, который потом можно обобщить на произвольный случай.
Кроме этого из рассмотрения одномерного движения можно получить общие закономерности присущие механическому движению вообще.
Будем полагать, что на материальную точку действуют стационарные потенциальные силы. Диссипативные силы отсутствуют.
В этом случае полная энергия 0 будет интегралом движения.
̇(0)2 |
+ ( ) |
= , |
|
||
2 |
0 |
0 |
x0, v0 – начальные координаты и скорость, V(x) – потенциальная энергия.
Тогда
̇( )2 |
|
|
|
+ ( ) |
= - const |
|
||
2 |
|
0 |
|
|
|
Так как полная энергия сохраняется, ее выражение можно использовать как уравнение движения вместо второго закона Ньютона. Для этого выразим производную по координате
2 |
|
|
̇( ) = ±√ |
|
(1) |
( − ( )) |
||
0 |
|
|
Правая часть определяет область где разрешено движение тела. Действительно, т.к. подкоренное выражение должно быть положительным
0 − ( ) > 0 (2)
То уравнение
( ) = 0
при данной полной энергии определяет точки x1 , x2 , … называемые точками поворота. В них скорость, согласно (1), меняет знак.
Т.е. движение в особой точке меняет свое направление.
На представленном выше рисунке показан профиль потенциальной энергии U(x). Горизонтальная красная линия отвечает E0 (уровню энергии системы). Как видно из рисунка точки поворота разграничивают горизонтальную линию на области где U(x)>E0 и области где U(x)<E0 . В первом случае движение, согласно (1) и (2), движение запрещено. Во втором случае движение разрешено. Таким образом на профили потенциальной энергии мы можем выделить разрешенные области движения.
Еще раз. Точки пересечения
E0
и потенциальной энергии – это нули
подкоренного выражения (1). В этих точках скорость меняет свой знак, а движение – направление. Эти точки называются точками поворота.
На показанном выше рисунке движение может происходить в трех областях:
x < x1, x2<x<x3, x>x4.
В первом и третьем случае – область движения бесконечная. Такое движение называется инфинитным.
Второй случай – движение ограничено с лева и с права точками x2 и x3. Такое движение называется инфинитным.
Ограниченное движение (в некоторых случаях) можно сделать инфинитным путем изменения полной энергии E0. Рассмотрим рисунок ниже.
Как видно здесь две точки поворота и существуют две области инфинитного движения. Эта картина движения реализовалась благодаря тому, что мы подняли уровень энергии механической системы. Это можно сравнить с затоплением местности водой. Полную энергию (в этой аналогии) можно рассматривать как уровень воды на местности. Берега отвечают точкам поворота. Таким образом условная “Лодка” может плавать между берегами.
Области где U(x) < E0 называются потенциальными ямами. Области где U(x) > E0 потенциальными барьерами.
Проинтегрируем уравнение (1)
x1
x |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
m E |
v t |
dx t t |
x |
|
||
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
- точка поворота.
(3)
Начальные условия определяют направление движения.
Если движение носит периодический характер (всякое финитное движение является периодическим), то из выражения (3) можно найти период движения:
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m E |
v t |
dx t |
|
t |
|||
x |
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx - полное время движения. |
|||||
T 2 |
|
|||||||
|
|
|||||||
m E |
v t |
|||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Также выражение (3) показывает, что всякое движение в классической механике обратимо, то есть закон движения и начальные условия позволяют вычислить не только будущее механической системы, но и ее прошлое.