Добавил:

AD Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

TM_Lectures_part_I_12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

950.69 Кб

Скачать

☆

Лекция 12 (ТМ, часть I)

Законы сохранения и Интегралы движения (Продолжение)

40. Закон изменения и сохранения полной энергии

Выпишем систему уравнений движения:


	Fi					(10.1)
miri	Fi					(10.1)

Вычислим скалярное произведение векторов
Вычислим скалярное произведение векторов							r	и mr
							r

на вектор					:
на вектор			r		:
			r

		(F				(10.2)
m(r	r )	(F		r ) .		(10.2)

Левая часть (10.2) равна полной производной по t

точки поскольку

, умножая (10.2) скалярно

от кинетической энергии

1	2
	̇	̇	̇
	̇	̇	̇
2	̅ =	̅	̅.
2

Правая часть (10.2) равна мощности силы dA/dt (A – работа силы).

Рассмотрим случай потенциальной силы. Силу называют потенциальной, если она зависит только от координат и времени и удовлетворяет векторному уравнению


rot F

Если это виде

	0 .
F	0 .
выражение выполняется выполняется, то			можно представить в
выражение выполняется выполняется, то		F	можно представить в

		U
F	grad U U
		r

x ,

	U	,
	y	,
	y

 

(10.3)

скалярную функцию U называют потенциальной энергией точки.


Пусть F и U не зависят от t					явно.
Это означает, что
	( ) =	+		∙	̅,	= 0	(10.4)
	( ) =	+		∙	̅,	= 0	(10.4)
			̅
						1

Используя (10.3) и (10.4), представим



(F r )

в виде

̅ ̇
( ̅)= −				∙		̅=	−	.	(10.5)
		̅

Выражая					из (10.2) через кинетическую энергию, а также, используя
Выражая	m(r		r )		из (10.2) через кинетическую энергию, а также, используя

выражение (10.5), находим

	dT		dU
	dt		dt

dA dt

(10.6)

Здесь

dA - элементарная работа потенциальной силы, т. е.


dA (F	dr ) .
Так как dT		и dA являются в данном случае полными дифференциалами, то
d (T U ) dE 0 ,			(10.7),

т. е.

T U	t	T U	t	,
	t	0	t
		0

E(t	)
0

E(t)

(10.8)

Сумма T+U называется полной энергией механической системы.

Мы получили закон сохранения полной механической энергии точки, которая определяется как сумма ее кинетической и потенциальная энергии.

Если

(̅, ) и

(̅, ) зависят явно от t , то

dU				U				U
		r	)			r	)
dt	( U	t		t	(F	t		t

(10.9)

Выражая отсюда

dTdt dUdt Ut ,



(F r

)	и подставляя в

Ut .

(28.2), получим

(10.10)

Это закон изменения полной механической энергии точки, движущейся в поле потенциальной силы.

В задачах механики помимо потенциальных сил рассматривают также

диссипативные и гироскопические силы. Диссипативная сила F d направлена

всегда противоположно скорости тела относительно среды, вызывающей торможение тела:

	d
F			,
		r
причём

координат

(10.11)

вобщем случае является положительной скалярной функцией

искорости точки. Гироскопическая сила представима в виде

B ,

(10.12)

- скорость точки. Из (10.12) следует, что вектор

ортогонален вектору

где r

скорости

, т. е. (F

и работа этой силы равна нулю.

Если

, то эти силы нужно учитывать в уравнениях движения.

При этом, закон изменения полной энергии точки при наличии потенциальных, гироскопических и диссипативных сил имеет вид

dE	U		d
			d
	t	(F		r ) .	(10.13)
dt		(F		r ) .	(10.13)
dt

Таким образом закон сохранения полной энергии может быть сформулирован так: Полная энергия сохраняется если потенциальная энергия явно не зависит от времени и в системе нет диссипативных сил.

Механическая система для которой сохраняется полная энергия называется консервативной.

Теорема Вириала

Если движение механической системы происходит в некоторой ограниченной области пространства, то существует соотношение, которое связывает среднее значение по времени кинетической энергии и действующие в системе силы.

Это является формулировкой теоремы Вириала.

Введем выражение:

A	A	in
		in	Fi	ext	,
ri	Fij		Fi		,
i 1	j 1

называемое вириалом Клазиуса.

Это выражение играет ключевую роль в Теореме Вириала, которая позволяет найти условия удержания механической системы в конечном объеме.

Докажем ее.

Для этого рассмотрим систему уравнений движения механической системы из А тел.

		in		ext
		in	Fi	ext	, i 1..A
mi ri	Fij		Fi		, i 1..A
	i, j

Умножим левую и правую части скалярно на

ext

m r r

i, j

Используя выражение

2rr

получим

i ij

2 dt

i, j

		ext
	F	ext
	F
	i

  

. (10.14)

Далее выполним усреднение по времени. Для этого используем определение для этой операции:

< ( ) >=

lim

∫

( ) .

→∞

Усредняя (10.14) по времени имеем:

1 2

lim (

∫

̅ −

∫

→∞

2 2

lim (

∫

2 2

̅ ) − 2 < > = < ̅ >,

→∞

lim (

̅)|

− 2 < >=

< ̅ >

→∞

Просуммируем по всем материальным точкам и введем обозначение:

A	m	d				G t
	m	d			2
	i		r						,
	i			i					,
i 1	2	dt
i 1
		A		1
G t						ri	pi	.
G t						ri	pi	.
		i 1

Получим

lim ( ( ) − (0) ) = 2 < > + < ̅̅ >.

→∞

	G G 0 2 T	A
		A
lim			r F
lim	i	i i
r		i 1

. (10.15)

Из анализа этого выражения можно сделать следующие выводы:

1. Левая часть (10.15) равна нулю, если движение периодическое.

2. Если значения периодическое.

и r

являются ограниченной функцией, движение

В случае периодического движения:

	1	A
		A
T			r F
i	2	i i
	2	i 1
		i 1

Т.к. левая часть (10.15) равна нулю. Тогда кинетическая энергия может быть выражена через вириал Клазиуса. Это и есть доказательство теоремы Вириала.

Если сила потенциальна:

̅ = − ,

Тогда из (10.15) имеем


< >= −	1	< ∑		̅ > .
< >= −		< ∑		̅ > .
	2		=1
	2

Данное выражение устанавливает, в какой пропорции полная энергия системы делится между кинетической и потенциальной энергией во время ограниченного (периодического) движения механической системы.

§10 Теорема вириала.

A		A in
		Fij
ri		Fij
i 1		j 1

Fi ext - вириал Клазиуса.

f lim 1 f t dt

Теорема вириала позволяет найти условия удержания механической системы в конечном объеме.

		in		ext
m r	F		F

i i	ij		i
	i, j

i 1..A

Умножимна ri

ext

m r r

i ij

i, j

2rr

1 d

ext

2 dt

i, j

выполним усреднение по времени

1 d

lim

dt ri Fi

2 dt

1 d

lim

2 dt

dt 2 T

r F

lim

2 T

r F

G t

i 1

2 dt

G t

i 1

lim G G 0

2 Ti

(1)

i 1

1. Левая часть (1) равна нулю, если движение периодическое.

2. Если значения

являются ограниченной функцией, движение периодическое.

ri Fi

левая часть равна нулю. Кинетическая энергия может быть выражена через

i 1

интеграл Клазиуса.

ri iv

(2)

i 1

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
26.01.2024307.78 Кб1TM_Lectures_part_I_07.pdf
#
26.01.2024854.51 Кб1TM_Lectures_part_I_08.pdf
#
26.01.2024783.31 Кб2TM_Lectures_part_I_09.pdf
#
26.01.2024775.48 Кб2TM_Lectures_part_I_10.pdf
#
26.01.2024687.85 Кб1TM_Lectures_part_I_11.pdf
#
26.01.2024950.69 Кб1TM_Lectures_part_I_12.pdf
#
26.01.2024425.58 Кб1TM_Lectures_part_I_13.pdf
#
26.01.2024538.06 Кб6TM_Lectures_part_I_14.pdf
#
26.01.2024531.61 Кб2TM_Lectures_part_I_15.pdf
#
26.01.2024376.96 Кб1TM_Lectures_part_I_16.pdf
#
26.01.2024367.54 Кб1TM_Lectures_part_I_17.pdf