- •I. Комплексные числа. Многочлены
- •1. Комплексные числa
- •Решение. А) Перепишем первое уравнение в виде . Из геометрического смысла модуля разности двух комплексных чисел следует, что множество решений
- •2. Многочлены
- •Задание 1.1
- •Задание 1.2
- •Задание 1.3
- •Задание 1.4
- •Задание 1.5
- •Задание 1.6
- •Задание 1.7
I. Комплексные числа. Многочлены
1. Комплексные числa
Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел и , для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:
если , (1)
(2)
. (3)
Из формул (2) и (3) вытекают, в частности, соотношения
,
которые показывают, что операции над комплексными числами вида совпадают с операциями над действительными числами . Поэтому комплексные числа вида отождествляются с действительными числами . Особую роль играет число , которое называется мнимой единицей.
Из формул (2), (3) вытекают также равенства:
,
,
.
Итак, каждое комплексное число можно представить в виде . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число называется действительной частью, а – мнимой частью комплексного числа . Для них приняты следующие обозначения:
.
Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .
Число называется модулем комплексного числа . Очевидно, , причем, , тогда и только тогда, когда . Модуль действительного числа совпадает с абсолютной величиной этого числа.
Отметим две формулы: , , которые вытекают из определений и равенства
.
Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению.
Если , ,
то
.
Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку на плоскости или вектор (рис. 1).
Рис. 1
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами , но и полярными координатами , где – длина вектора , а – угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается так: . Для числа аргумент не определяется, поэтому во всех дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, предполагается, что .
Угол определяется с точностью до , где – целое число. Значение аргумента, заключенное между и , называется его главным значением и обозначается . Таким образом, .
При этом
Из рис.1 видно, что
Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде
(4)
Запись комплексного числа в виде (4) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Если , то по формуле (4) имеем .
Комплексное число обозначается символом , то есть функция для любого вещественного числа определяется формулой Эйлера:
. (5)
Подставляя (5) в (4), получаем показательную форму комплексного числа:
.
Заменим на в равенстве (5):
. (6)
Складывая и вычитая равенства (5) и (6), получаем формулы Эйлера:
Функция обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы число было действительным.
Отметим основные из них:
(7)
(8)
. (9)
Из (9) и (5) вытекает формула Муавра:
.
С помощью (7), (8) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:
,
Корень из комплексного числа имеет различных значений и находится по формуле
где
Модуль разности чисел равен расстоянию между точками z1 и z2 комплексной плоскости.
Пример 1. Найти сумму, произведение и частное чисел
z1 = –1+2i и z2 = 2 – 3i .
Решение. ;
;
.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения
.
Таким образом,
, .
Пример 3. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форме
Решение. ,
где модуль комплексного числа ;
главное значение аргумента комплексного числа.
; ; ;
.
Найдем модули и главные значения аргументов комплексного числа.
Считаем, что .
.
.
.
,
.
Тогда
.
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение. Обозначим , , . Найдём , , . Для этого представим каждое из чисел z1, z2, z3 в показательной форме: , , ;
, , ;
, ,
.
Имеем
.
Наше уравнение принимает вид или ; ; ; ; .
Таким образом, корни исходного уравнения являются корнями третьей степени числа . Имеем , . Найдём наши корни по формуле , k = 0, 1, 2.
Отсюда получаем
,
,
.
Числа w0 , w1 , w2 (записанные в тригонометрической форме) и являются решением нашего уравнения. Найдём показательную и алгебраическую формы этих чисел:
, , – показательная форма.
, , – алгебраическая форма.
Пример 5. Решить: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически):
а )
б) ;
в) .