Лекция6
.pdf
11
Уравнение (6.21) представляет собой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, и полностью соответствует полученному ранее уравнению (6.5) для пространства R2.
Угол между двумя прямыми в пространстве R3 определяется углом между направляющими векторами S1 m1,n1, p1 и S2 m2 ,n2 , p2 , который находится с использованием внутреннего (скалярного) произведения
Cos |
S1 |
, |
S2 |
|
|
|
m1m2 |
n1n2 p1 p2 |
|
|
. |
(6.22) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S |
1 |
|
S |
1 |
|
|
|
m2 |
n2 |
p2 |
|
m2 |
n2 |
p2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||
Для параллельности двух прямых должно соблюдаться условие коллинеарности их направляющих векторов, т.е. их внешнее (векторное) произведение равно нулю
S1,S2 0.
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
n1 |
|
p1 |
. |
(6.23) |
|
m2 |
|
n2 |
|
||||
|
|
|
|
p2 |
|
|||
Условием перпендикулярности |
прямых является |
равенство нулю |
||||||
внутреннего (скалярного) произведения направляющих векторов этих прямых
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1,S2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
(6.24) |
|||
Уравнение (6.24) даёт связь между координатами направляющих векторов: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m1m2 n1n2 p1 p2 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Угол между прямой и плоскостью определяется углом между нормальным |
||||||||||||||||||||||
вектором к плоскости N(A;B;С) |
и направляющим вектором прямой S m,n, p . |
|||||||||||||||||||||
Cos |
|
N,S |
|
|
|
|
|
Am Bn Cp |
|
|
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
N |
|
S |
|
|
|
|
A2 B2 C2 |
m2 n2 p2 |
|
|
|
|||||||||
где α – угол между векторами |
|
N(A;B;С) и |
S m,n, p . Тогда |
угол между |
||||||||||||||||||
плоскостью и прямой |
|
|
|
|
90 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
N,S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Cos Sin |
|
|
|
Am Bn Cp |
|
. |
(6.25) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
S |
|
|
|
A2 B2 C2 |
m2 n2 p2 |
|
|
|
||||||
Если прямая параллельна плоскости, то внутреннее (скалярное)
произведение вектора нормального к плоскости |
N(A;B;С) |
и направляющего |
|||||||
вектора прямой S m,n, |
p равно нулю |
|
|
||||||
|
N,S 0 или Am Bn Cp 0. |
|
|||||||
Если прямая перпендикулярна плоскости, то внешнее (векторное) |
|||||||||
произведение вектора нормального к плоскости |
N(A;B;С) |
и направляющего |
|||||||
вектора прямой S m,n, |
p равно нулю |
|
|
||||||
|
N,S 0 или |
A |
|
B |
|
C |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
m n p |
|
|
|||||