lektsii_za_2_semestr_doc

Комплексные числа

§1. Определение комплексного числа

Комплексным числом называют упорядоченную пару чисел, для которой справедливы следующие понятия равенства и операций сложения и умножения:

1.(x1, y1) (x2 , y2 ) (x1 x2 ) (y1 y2 )

2.(x1, y1) (x2 , y2 ) (x1 x2 , y1 y2 )

3.(x1, y1) (x2 , y2 ) (x1x2 y1 y2 ,x1 y2 y1x2 )

Свойства операций

1.Коммутативность z1 z2 z2 z1

z1 z2 z2 z1

2.Ассоциативность

(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) 3. Дистрибутивность

z1 (z2 z3 ) z1 z2 z1 z3

C - множество компле́ксных чисел.

Пару вида (x,0)можно считать действительным числом.

def

i-мнимая единица i (0,1) . i2 i i (0,1) (0,1) ( 1,0) 1.

Алгебраическая форма комплексных чисел z x i y .

Доказательство корректности: (x,0) (0,1) (y,0) (x,0) (0, y) (x, y). Rez x - действительная часть комплексного числа.

Imz y - мнимая часть комплексного числа. z x i y - число, сопряженное с z .

Свойства сопряжения

1.z z

2.z z z R

§2. Геометрическое представление комплексных чисел z (x, y)

z - комплексная плоскость.

Между множеством точек на плоскости XoY и множеством C можно установить взаимно-однозначное соответствие.

oX - действительная ось. oY - мнимая ось.

1

Операции и для комплексных чисел не введены.

Радиус-вектор комплексного числа – вектор, начало которого лежит в точке(0,0), а конец – в точке

(x1, y1).

z - модуль комплексного числа.

z x12 y12 .

Свойства модулей комплексных чисел

1)z z

2)z z z 2

z1 z2 z1 z2

Главным аргументом комплексного числа z, отличного от 0, будем называть угол между положительным направлением оси oX и

радиус-вектором комплексного числа z.

argz.

Произвольным аргументом комплексного числа z называется

Argz argz 2 k, k Z .

Для z 0 главный и произвольный аргументы не определены.

Комплексное число в показательной форме получаем при помощи формулы Эйлера:cos isin ei

(ei )n ein .

(cos isin )n (cosn isin n )- формула Муавра.

2

Таким образом, если z r(cos isin ),то zn rn (cosn isin n ) rnein .

Если комплексные корни изобразить точками на координатной плоскости, то они будут вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в точке(0,0)и радиусом nr.

Линейные пространства

§1. Основные понятия линейного пространства

Рассмотрим множество векторов на плоскости. Операция сложения векторов определена по правилу параллелограмма. Рассмотрим также множество матриц над полем P. Операция сложения определена сложением соответствующих элементов матриц. В каждом из этих множеств операции сложения элементов и их умножение на число определены по-своему, но эти операции могут обладать одними и теми же свойствами (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность). Нам полезно выделить множества, у которых операции сложения элементов и умножения элементов на число обладают одними и теми же свойствами.

Множество L называется линейным пространством, если выполняются следующие 3 требования:

I.Имеется правило, посредством которого двум любым элементам x, y L ставится в соответствие третий элемент z L, называемый суммой этих элементов и обозначающийся z x y.

II. Имеется правило, посредством которого элементу x L и числу R C ставится в соответствие элемент u L, называемый произведением элемента на число и обозначающийся u x.

III. Для этих двух правил справедливы следующие восемь аксиом:

x, y,z L; , R C .

1.x y y x

2.(x y) z x (y z)

3.L | x x x

4.x ( x) L| x ( x) ( x) x

5.1 x x

6.( )x ( x)

7.( )x x x

8.(x y) x y

Если число - вещественное, то линейное пространство называется вещественным, если комплексное, то линейное пространство называется комплексным.

§2. Свойства линейного пространства

1) В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.

Допустим,существуют2нейтральных элемента 1 и 2.Тогда 2 1 2 1 1 2. 2) Для каждого элемента линейного пространства существует единственный противоположный элемент.

3

Допустим,чтоэтоневерно и x ( x1),( x2 ).Тогда ( x2 ) ( x1) x ( x2 ) ( x1) ( x1) ( x2 ). 3) Если элемент ( x) противоположен x, то элемент x противоположен ( x).

x ( x) , ( x) x .

4) a,b,x L уравнение a x b имеет единственное решение относительно x.

1. x ( a) b

a( a) b b

b b

bb

2. a x b

( a) a x b ( a) x ( a) b.

Таким образом, наряду с понятием суммы элементов в линейном пространстве, мы можем ввести понятие разности элементов.

Разностью элементов b и a будем называть элемент x, являющийся решением уравнения a x b. 5) Результатом умножения элемента на 0 является нулевой элемент.

Рассмотрим уравнение x y x относительно y. Решением является y . Покажем, что y 0 x также является решением уравнения.

x 0 x 1 x 0 x (1 0) x 1 x x.

Таким образом, 0 x является решением уравнения 0 x .

6) В линейном пространстве противоположный элемент для элемента x может быть получен как произведение ( x) ( 1) x.

1 x ( 1) x (1 ( 1)) x 0 x .

7) Результатом умножения нулевого элемента на число является нулевой элемент.

(0 x) ( 0) x 0 x .

§3. Базис и размерность линейного пространства

Система элементов x, y,...,z называется линейно зависимой, если равенство x y ... z выполняется, причем хотя бы один из коэффициентов , ,..., отличен от нуля.

Система элементов x, y,...,z называется линейно независимой, если равенство x y ... z выполняется только в случае, когда каждый из коэффициентов , ,..., равен нулю.

Теорема. Система элементов x, y,...,z линейно зависима тогда и только тогда, когда один из элементов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных элементов системы.

Доказательство приводилось в прошлом семестре.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем

1)Если в системе есть нулевой элемент, то система линейно зависима.

x y ... z .

2)Если система x, y,...,z линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима.

3)Если в системе x, y,...,z есть линейно зависимая подсистема, то вся система x, y,...,z линейно

зависима.

4) Пусть система x, y,...,z линейно независима, а добавление элемента z'превращает ее в линейно зависимую систему. Тогда элемент z' можно представить в виде линейной комбинации элементов x, y,...,z.

4

Рассмотрим систему элементов e1,e2 ,...,en . Эту систему будем называть базисом линейного пространства L, если выполняются следующие два требования:

1)Система e1,e2 ,...,en линейно независима.

2)x L можно представить в виде линейной комбинации элементов системы e1,e2 ,...,en , причем это

x1 x1', x2 x2 ',...,xn xn '.

При сложении двух элементов пространства их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число каждая его координата умножается на это число.

Размерностью линейного пространства будем называть максимальное число линейно независимых элементов пространства. Другими словами, если в пространстве любая система из n элементов линейно независима, а система из n 1 элементов линейно зависима, то n- размерность пространства.

Запись dim(L) n означает, что размерность пространства L равна n.

Пространство называется бесконечно-мерным, если в нем существует бесконечное число линейно независимых систем. dim(L) .

Теорема. Если n dim(L), то в пространстве L любая линейно независимая система из n элементов является базисом.

e1,e2 ,...,en - линейно независимая система, тогда x,e1,e2 ,...,en - линейно зависимая система.

0 x 1e1 2e2 ... nen .

0 0

Теорема. Если в линейном пространстве L базис состоит из n элементов, то размерность пространства dim(L) равна n.

Нужно доказать, что любая система из n 1 элементов является линейно зависимой. x1,x2 ,...,xn 1

x1 a11e1 a12e2 ... a1nen x2 a21e1 a22e2 ... a2nen

…

x(n 1) a(n 1)1e1 a(n 1)2e2 ... a(n 1)nen.

Выпишем все коэффициенты aij в матрицу Aij :

5

Минор порядка n данной матрицы является базисным, так как nэлементов системы линейно независимы и все строки минора линейно независимы. По теореме о базисном миноре любая строка, не входящая в базисный минор, представляется как линейная комбинация строк базисного минора, следовательно n 1 строк матрицы линейно зависимы, то есть система из n 1 элементов линейно зависима, значит n - размерность пространства.

§4. Изоморфизм линейных пространств

Для того чтобы установить связь между пространствами различной структуры, но одной и той же размерности, используют понятие «изоморфизм».

Два линейных пространства L1 и L2 называются изоморфными, если существует биективное отображение из L1 в L2 : : L1 L2 | x, y L1, R C , должны выполняться два следующих требования:

1)(x y) (x) (y)

2)( x) (x).

Изоморфизм пространств L1 и L2 обозначается L1 L2. Свойства изоморфных пространств

1)Образ линейной комбинации элементов пространства равен линейной комбинации образов с теми же коэффициентами.

2)Образ линейно независимой системы есть систем линейно независимая.

3)Образ нулевого элемента есть нулевой элемент.

4)Образ базиса есть базис.

Теорема. Критерий изоморфизма.

L1 L2 dim(L1) dim(L2 ).

Необходимость:

Даны 2 изоморфных линейных пространства. Тогда равенство их размерностей следует из свойства 4. Достаточность:

dim(L1) dim(L2 ) L1 : e1,e2 ,...,en

L2 : e'1 ,e'2 ,...,e'n

nn

xiei ; y ie'i.

§5. Линейные подпространства

L' L

L' называется линейным подпространством пространства L, если выполняются 2 следующих требования:

1)x, y L' x y L.

2)x L', R(C) x L'.

Линейное подпространство является линейным пространством:

x L'

2

0 x L'

2

( 1) x x L'.

Теорема. Размерность линейного подпространства L' не превосходит размерности линейного пространства L. Если размерности L и L' совпадают, то L' совпадает с L.

k dim(L')

n dim(L')

6

k n

Предположим, что k n.

Можем сказать, что существует k линейно независимых элементов в пространстве L, количество которых превосходит n. Приходим к противоречию, так как по определению размерности линейного пространства линейно независимых элементов должно быть ровно n.

Пусть x, y,...,z L. Тогда множество элементов вида x y ... z будем называть линейной оболочкой L(x, y,...,z). Также встречается обозначение span x, y,...,z .

Теорема о размерности линейной оболочки. Размерность линейной оболочки L(x, y,...,z)равна максимальному числу линейно независимых элементов из (x, y,...,z).

Пусть g1,g2 ,...,gr x, y,...,z, причем g1,g2 ,...,gr - линейно независимая система, а g1,g2 ,...,gr ,gr 1 - линейно зависимая система. Тогда dim L(x, y,...,z) r. (Любой элемент из (x, y,...,z)может быть представлен в виде линейной комбинации g1,g2 ,...,gr , то есть (g1,g2 ,...,gr ) - базис линейной оболочки, и размерность линейной оболочки dimL(x, y,...,z) r).

§6. Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть L1,L2 ,...,Lk - подпространства пространства L. Тогда L1 L2 ... Lk - множество, все элементы которого подчинены равенству:

x x1 x2 ... xk , где xi Li.

k

Li x x1 x2 ... xk | xi Li .

i 1

L1 L2 ... Lk - множество, все элементы которого подчинены равенству x x1 x2 ... xk , xi Li

Теорема. Сумма линейных подпространств и пересечение линейных подпространств являются линейными подпространствами.

Сумма. u,v L1 L2.

u x1 x2; v y1 y2.

u v x1 x2 y1 y2 (x1 y1) (x2 y2 ), (x1 y1) L1,(x2 y2 ) L2 u v L1 L2.(x1 x2 ) x1 x2. x1 L1, x2 L2 u L1 L2.

Пересечение.

x1 L1 L2 (x1 L1) (x1 L2 ). x2 L1 L2 (x2 L1) (x2 L2 ). x1 x2 L1 L2.

x1 L1 L2.

Теорема о размерности суммы подпространств. dim(L1 L2 ) dim(L1) dim(L2 ) dim(L1 L2 ).

7

L1 L2.

Подпространства L1,L2 ,...,Lk образуют прямую сумму L1 L2 ... Lk , если разложение x x1 x2 ...

... xk , где xi Li , является единственным.

Теорема. Для того чтобы подпространства L1 и L2 образовывали прямую сумму, достаточно, чтобы

L1 L2 и dim(L1 L2 ) dim(L1) dim(L2 ).

Пусть e1,e2 ,...,ek - базис L1, g1,g2 ,...,gl - базис L2. Докажем, что e1,e2 ,...,ek ,g1,g2 ,...,gl - базис L1 L2 и что разложение элемента x единственно.

dim(L1) k, dim(L2 ) l, dim(L1 L2 ) k l dim(L1) dim(L2 ).

1e1 2e2 ... kek 1g1 2 g2 ... l gl .

1e1 2e2 ... kek 1g1 2 g2 ... l gl .

L1 L2 все коэффициенты i , j равны 0. Значит, система e1,e2 ,...,ek ,g1,g2 ,...,gl - базис L1 L2 .

§7. Преобразование координат при преобразовании базиса

Пусть в линейном пространстве L заданы базисы e и e'. Элементы базиса e' могут быть выражены через элементы e:

Матрицей перехода от базиса e к базису e' будем называть матрицу, в которой координаты e' в e выписаны по столбцам. A Pe e'.

Если записать e как (e1,e2 ,...,en ), а e' - как (e'1 ,e'2 ,...,e'n ), то получим e' e Pe e'.

8

Получаем, что e'1 ,e'2 ,...,e'n - линейно зависимая система, но это невозможно, так как она является базисом, то есть наше предположение неверно и Pe e' 0.

Теорема. xe Pe e' xe'.

x x1e1 x2e2 ... xnen. xe (x1,x2 ,...,xn )T

e(e1,e2 ,...,en ) x e xe, x e' xe'.

x e' xe' e Pe e' xe' xe Pe e' xe'.

При переходе от базиса e' к базису e имеем: e e'Pe 1e', то есть Pe' e Pe 1e'.

Евклидовы пространства

§1. Определение евклидова пространства

Вещественное линейное пространство E называется вещественным евклидовым пространством, если выполняются следующие два требования:

1)Имеется правило, посредством которого любым двум элементам из этого пространства x и y ставится в соответствие вещественное число (x, y) и называется скалярным произведением элементов x и y.

2)Указанное правил подчинено следующим четырем аксиомам:

1.(x, y) (y,x)

2.(x y,z) (x,z) (y,z)

3.( x, y) (x, y)

4.(x,x) 0,причем(x,x) 0 x .

Евклидовы пространства нужны, чтобы рассматривать расстояние между элементами, длину элемента, угол между элементами, то есть взаимное расположение элементов в пространстве.

Свойства скалярного произведения

1) (x, y z) (x, y) (x,z)

(x, y) ( y,x) (y,x) (x, y) 3) (x, ) 0

(x,0 x) 0 (x,x) 0

nn

4)( i xi , y) i (xi , y)

i 1 i 1

5) x, y,z E :(x,z) (y,z) x y

(x,z) (y,z)

(x,z) (y,z) 0

(x y,z) 0

(x y,x y) 0 x y x y.

Неравенство Коши – Буняковского

x,y E (x,y)2 (x,x) (y,y)

( x y, x y) 0

( x, x) (y, x) ( x,y) (y,y) 0

9

2 (x,x) (x, y) (x, y) (y, y) 0

2 (x,x) 2 (x, y) (y, y) 0

D (x, y)2 (x,x)(y, y) 0

(x, y)2 (x,x) (y, y)

Метрические понятия

1)Длина элемента

x(x,x)

1) x 0, x 0 x

x y x y x y x y x y

x y 2 (x y,x y) (x,x) 2(x, y) (y, y) x 2 2 x y y 2 ( x y)2

2) Угол между элементами

Евклидово пространство по определению является линейным пространством, поэтому в нем существуют базисы и определена размерность. Также, евклидово пространство может быть конечномерным и бесконечномерным. Если в линейном пространстве все базисы равноправны, то в евклидовом пространстве выделяют специальную группу базисов, в которой удобно вести вычисления и выполняется ряд свойств. Это ортогональные и ортонормированные базисы.

Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.Пусть f1, f2 ,..., fn - какой-либо базис, e1,e2 ,...,en - ортонормированный базис.

Процесс построения ортонормированного базиса основывается на формулах Грама – Шмидта. g1,g2 ,...,gn - вспомогательный базис.

g1

g1

10