Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

(МТУСИ)

Кафедра: «Теория вероятности и прикладная математика»

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»

Лабораторная работа №1

на тему

«Описательная статистика»

Вариант 17

Выполнила: студент гр. БСТ2105 Первухина А.А.

Проверила: доцент кафедры ТВ и ПМ

Н.И. Смирнова

Москва 2022

Задание 1

По предложенной выборке дискретной генеральной совокупности, содержащей рейтинг группы студентов, построить вариационный ряд, найти объем выборки, интервал варьирования, размах выборки, построить статистический ряд распределения, эмпирическую функцию распределений, вычислить основные описательные статистики: выборочное среднее, выборочные смещенную и несмещенную дисперсию и среднеквадратическое отклонение, выборочную моду, выборочную медиану, нижнюю и верхнюю квартиль. Построить полигон частот и график эмпирической функции распределения.

Задание 2

По предложенной выборке непрерывной генеральной совокупности, содержащей показатели работы предприятий, построить вариационный ряд, найти объем выборки, интервал варьирования, размах выборки, выполнить группировку данных, построить гистограмму распределения, эмпирическую функцию распределения, вычислить основные описательные статистики: выборочное среднее, выборочные смещенную и несмещенную дисперсию и среднеквадратическое отклонение, выборочную моду, по не группированным данным найти выборочную медиану, нижнюю и верхнюю квартиль. Построить гистограмму и график эмпирической функции распределения.

Результаты вычислений и графики

Задание 1.

Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд 0 1 1 1 1 1 3 3 5 5 5 6 6 6 7 8 9 9 9 9.

Интервал варьирования: [0; 9]

Размах выборки , т.е. в нашем случае

Различными в заданной выборке являются элементы х₁=0, х₂=1, х₃=3, х₄=5, х₅=6, х₆=7, х₇ = 8, х₈ = 9; их частоты соответственно равны n₁=1, n₂=5, n₃=2, n₄=3, n₅=3, n₆=1, n₇ = 1, n₈ = 3. Объем выборки n = 1 + 5 + 2 + 3 + 3 + 1 + 1 + 4 = 20. Следовательно, статистическое распределение исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:

xi	0	1	3	5	6	7	8	9
ni	1	5	2	3	3	1	1	4

Эмпирическая функция распределения имеет вид:

Мода эмпирического закона распределения равна M₀ = 1, так как варианта 1 имеет наибольшую частоту 5.

Вариационный ряд: 0 1 1 1 1 1 3 3 5 5 5 6 6 6 7 8 9 9 9 9, тогда медиана вариационного ряда m_{l =} ( x_k + x_k+1)/2 = (5 + 5) / 2 = 5

Выборочное среднее: = (0*1 + 1*5 + 3*2 + 5*3 + 6*3 + 7*1 + 8*1 + 9*4) = (0+5+6+15+18+7+8+36) = = 4,75

Выборочная смещенная дисперсия:

Выборочная несмещенная дисперсия:

Выборочное среднеквадратическое отклонение:

s =

Нижняя квартиль:

Верхняя квартиль:

Построим полигон частот:

График эмпирической функции распределения:

Задание 2.

Аналогично:

1,41	1,35	1,48	1,24	1,40	1,45
1,40	1,28	1,33	1,22	1,28	1,47
1,27	1,51	1,46	1,27	1,43	1,50
1,35	1,41	1,47	1,35	1,40	1,20
1,15	1,09	1,26	1,36	1,15	1,87

В нашей задаче вариационный ряд запишется так:

1,09	1,15	1,15	1,20	1,22	1,24
1,26	1,27	1,27	1,28	1,28	1,33
1,35	1,35	1,35	1,36	1,40	1,40
1,40	1,41	1,41	1,43	1,45	1,46
1,47	1,47	1,48	1,50	1,51	1,87

Группировка данных:

	1,09-1,22	1,22-1,35	1,35-1,48	1,48-1,61	1,61-1,74	1,74-1,87
	4	8	14	3	0	1
pi	0,13	0,26	0,47	0,10	0	0,03
hi	1	2	3,615	0,769	0	0,231
ti	1,155	1,285	1,415	1,545	1,675	1,805

Объем выборки: n = 30.

Интервал варьирования: [1,09; 1,87].

Размах выборки: R = x_max – x_min = 0,78

m = 6 ( ),

Гистограмма распределения:

Эмпирическая функция распределения:

Мода эмпирического закона распределения: M₀ [1,35;1,48), так как варианты диапазона [1,35;1,48) имеют наибольшую частоту 0,47.

График эмпирической функции распределения:

Выборочное среднее:

1,155*4+1,285*8+1,415*14+1,545*3+1,675*0+1,805*1) 1,37

Выборочная смещенная дисперсия:

1,155²*4+1,285²*8+1,415²*14+1,545²*3+1,675²*0+1,805²*1) – 1,37² 0,023

Выборочная несмещенная дисперсия:

(1,155²*4+1,285²*8+1,415²*14+1,545²*3+1,675²*0+1,805²*1) – 1,37² 0,088

Выборочное среднеквадратическое отклонение:

s =

Выборочная медиана по не группированным данным:

M_e =

Нижняя квартиль по не группированным данным:

Верхняя квартиль по не группированным данным:

Список использованной литературы

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование, 2009. - 478. 

2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с. 

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. : Высш. образование, 2009. – 403.

4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос. службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.