Король А. В. / Практики Король А. В. / (6) Законы постоянного тока

Практическое занятие №6 "Законы постоянного тока"

Задача 6.1

По медному проводу сечением S = 1 мм2 течет ток силой I = 1 А. Какова средняя скорость дрейфа электронов проводимости?

Решение.

Для определения средней скорости дрейфа v воспользуемся формулой (12.5) из Лекции 12, в которой полагаем qн равным элементарному заряду e (т.к. носителем тока в меди, как и в любом металле, являются электроны проводимости). Записывая плотность тока как j = I/S,

Для определения концентрации n электронов проводимости используем здравый смысл, справочные данные (см. Google) и общие знания, полученные в школьных курсах.

В периодической таблице медь находится на 29-м месте. Атом меди имеет 29 электронов, из которых 28 находятся на заполненных электронных оболочках, а последний – на незаполненной 4s орбитали. Именно этот электрон ’обобществляется’ в металлической меди и являются электроном проводимости. Следовательно, на один атом меди в металле приходится один электрон проводимости, и для определения n достаточно найти концентрацию атомов меди. Концентрация вычисляется как отношение числа атомов N к объёму V , в котором они находятся

Вспоминаем определение другой физической величины, связанной с единицей объёма – плотность ρ = M/V . Массу M, заключенную в объём V , можно записать как произведение числа атомов N на массу одного атома m0. Последнее усилие: один моль вещества содержит число Авогадро NA = 6.02 × 1023 атомов. Поэтому, m0 = µ/NA, масса одного атома равна молярной массе µ поделенной на NA. Представляем всё сказанное в виде цепочки равенств:

Полученное значение, порядка 0.1 мм/с, есть типичная скорость дрейфа электронов проводимости в металлах.

1

Решение.

В данной цепи, бесконечное число узлов: на верхнем участке узлами являются точки соединий два соседних сопротивлений R1 и сопротивление R2; весь нижний провод есть, по сути, один узел, в котором сходятся все участки, содержащие R2. В цепи нет ни последовательных соединений сопротивлений ни параллельных. Поэтому, стандартные правила определения полного сопротивления напрямую не работают.

Для построения схемы решения задачи проанализируем термин ’бесконечная цепь’, использованный в условии. В самом общем случае, если есть система, состоящая из бесконечного числа одинаковых элементов, то ни сама система ни все свойства не изменятся при добавлении или изъятии любого конечного числа элементов. Это утверждение справедливо для систем любой природы. Применим его к системе сопротивлений, указанной на Рис. 1.

Зная сопротивление и напряжение на его концах, вычисляем полный ток, используя закон

2

Задача 6.3

Выражения для мощности источника тока (полная мощность) PE = IE, мощности Pr = I2R, теряемой на внутреннем сопротивлении и полезной мощности PR = I2R, выделяемой на внешнем сопротивлении, получаем подстановкой силы тока I = E/(R + r) в написанные формулы:

При фиксированных значениях E и r, все мощности зависят только от величины сопротивления нагрузки R.

:

В этом пределе, в цепи течет максимальный ток и вся вырабатываемая источником тока мощность выделяется в виде тепла на внутреннем сопротивлении. Именно поэтому, короткое замыкание может приводить к возгоранию бытовых электропроводок: на внутренних подводящих проводах розетки за малое время выделяется большое количество тепла , что приводит к резкому повышению температуры проводов и материалов их окружающих.

Зависимость полезной мощности от R немонотонна. Это сразу можно сказать, заметив, что PR = 0 при R = 0 и R → ∞. Следовательно, между этимидвумя крайними значениями R должна быть точка, в которой PR имеет максимум. Для его нахождения, вычисляем производную PR по R

и приравниваем её к нулю. В результате находим, что максимальная полезная мощность выделяется в случае когда внешняя нагрузка равна внутреннем сопротивлению: R = r. Само максимальное значение мощности равно

3

В данной электрической цепи имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую ЭДС невозможно и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощью правил Кирхгофа.

Результатом расчета станут силы токов I1, I2, I3 и их направления. Изначально направления неизвестны, поэтому выбираем их произвольным образом (см. стрелки на схеме). Если в результате вычислений какие-либо из значений I1−3 окажутся отрицательными, то это будет означать, что действительные направления этих токов противоположны выбранным.

Для нахождения трех неизвестных необходимо написать три независимых уравнения, связывающие эти неизвестные. Для установления этих уравнений применим правила Кирхгофа к узлам и контурам данной цепи.

Вней есть N = 2 узла a, b, и 3 контура: abca, acda, и abcda.

•I-е правило Кирхгофа.

Рассмотрим узел a, в который втекают токи I2 и I3, а вытекает I3. Следовательно,

Легко проверить, что в узле b реализуется такое же соотношение между токами (с той лишь разницей, что обе части уравнения умножаются на −1, что является эквивалентным преобразованием). Таким образом, I-е правило Кирхгофа устанавливает одно из необходимых трех соотношений.

•II-е правило Кирхгофа применяется к контурам.

Рассмотрим сначала контур abca, выбрав направление его обхода по часовой стрелке. В этом котуре, по ветви abc протекает ток I1, а по ветви ca – ток I3. Направления обоих токов совпадает с направлением обхода, поэтому в соответствии с правилом знаков падения напряжений на всех сопротивлениях (как внутренних, так и внешних) берётся со знаком ’+’. Направление действия ЭДС E1 (от отрицательного электрода к положительному) совпадает с направлением обхода, поэтому слагаемое E1 войдет в правую часть уравнения с знаком плюс. Направление действия второй ЭДС контура, E3, противоположно обходу, и она подставляется со знаком минус в уравнение. Итак, для данного котура II-е правило Кирхгофа приводит к соотношению

Рассуждая аналогично, для контура acda получаем

Убедимся в том, что II-е правило, примененное к оставшемуся контуру abcda не приводит к новым связями между токами. Выбирая направление обхода этого контура по часовой стрелке, записываем

I1(R1 + r1) + I2(R2 + r2) = E1 − E2.

Видно, что данное уравнение получаестя сложением двух предыдущих уравнений, т.е. оно не является независимым.

4

Таким образом, получаем систему из трех уравнений (11), (12) и (13), разрешая которую определяет все токи:

на операциях с определителями.

Подставляя численные значения из условия и применяя последовательно метод исключений, получаем:

Токи I1 и I3 получились отрицательными. Это означает, что их изначально выбранное направление надо заменить на противополрожное.

5

Задача 6.5

Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом равномерно растет от I0 = 0 до Imax = 3 А в течение интервала времени τ = 6 с. Определите (1) заряд, прошедший по проводнику за это время, (2) выделившееся количество теплоты.

Решение.

В задаче речь идет не о постоянном токе, а об изменяющимся во времени. По условию, сила тока равномерно растет, следовательно, зависимость I = I(t) – линейная, и может быть представлена в виде I(t) = kt + I0, где I0 = 0, а k - коэффициент пропорциональности. В момент τ сила тока равна Imax, поэтому k = Imax/τ. Итак, из исходных данных мы установили

Cила тока определяет заряд dq, прошедший через проводник за бесконечно малый интервал времени dt:

Cогласно закону Джоуля-Ленца, теплота, выделившаяся за бесконечно малый интервал времени dt, равна

6

Задача 6.6

I

Решение.

При замыкании конденсатора через сопротивление, заряд q, находящийся на положительной обкладке уменьшается, поскольку он перетекает на отрицательно заряженную обкладку. Это движение заряда создает ток, текущий через сопротивления. С течением времени заряд изменяется, т.е. q = q(t). Ток прекратится, когда заряд станет равным нулю.

Согласно закону Ома для однородного участка цепи, содержащего сопротивление R

Учитывая, cила тока выражается через изменение (уменьшение) заряда dq < 0 на конденсаторе как I = −dq/dt и что U = q/C – есть напряжение на его обкладках, запишем (21) в виде дифференциального уравнения по отношению к q

Рассматривая последнее равенство в момент времени t = 0, в который, по условию, q(0) = q0, определяем постоянную интегрирования: const = ln q0. Тогда

Эту постоянную называют временем релаксации. Из последнего равенства в (23) видно, что τ есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в e раз.

Формально конденсатор полностью разряжается за бесконечное время: q = 0 при t = ∞. В реальности, заряд становится исчезающе малым на временах t τ (напр., при t = 10τ остаточный заряд составляет примерно 0.005 % от начального заряда).

где I0 = q0/τ = q0/RC ток в начальный момент времени.

7

Ток I(t) называют током утечки. В реальных конденсаторах, диэлектрик имеет большое, но конечное сопротивление R, через которое заряд перетекает с одной пластины на другую, так что с течением времени конденсатор разряжается. Время разрядки определяется временем релаксации, которое тем меньше, чем меньше сопротивление R.

Используем (25) в законое Джоуля-Ленца для определения количества теплоты Q, выделившегося за время t:

При t → ∞, теплота стремится к своему предельному значению q02/2C, равному изначальной энергии заряженного конденсатора. Иными словами, в конечном этоге, при разрядке конденсатора вся его энергия выделяется в виде тепла.

8

Задача 6.7

На рисунке R1 = R, R2 = 2R, R3 = 3R, R4 = 4R Ёмкость конденсатора C и напряжение U0 на клеммах предполагаются известными. Определите заряд q на конденсаторе. Сопротивление подводящих проводов не учитывать.

Решение.

Заряд на конденсаторе q = CU, где U – напряжением на обкладках. Его надо определить.

Обозначим через I1−4 токи, протекающие через сопротивления R1−4, а через I0 – полный ток в цепи. Падение

Запишем соотношения для токов:

• I0 = U0 , где R0– полное сопротивление цепи;

R0

•I1 = I0, т.к. через конденсатор ток не течёт;

•I2 = I3, т.к. R2 и R3 соединены последовательно;

•I1 = I2 + I4, по I-му правилу Кирхгофа.

Определим сопротивления ветвей и полное сопротивление цепи:

•R2 и R3 соединены последовательно = их общее сопротивление R23 = R2 + R3 = 5R;

•R23 и R4 соединены параллельно = их общее сопротивление R234 = R23R4/(R23 + R4) = (20/9)R;

•R1 и R234 соединены последовательно = полное сопротивление цепи R0 = R1 + R234 = (29/9)R.

9