Король А. В. / Практики Король А. В. / (5) Электростатическое поле в вакууме Часть 2

Практическое занятие №4: "Электростатическое поле в вакууме: Часть II."

Задача 1.

Потенциал некоторого электрического поля имеет вид ϕ = α(xy −z2), где x, y, z - декартовы координаты, а α = 3 В/м2 – постоянная. Найти (а) напряженость E поля в произвольной точке; (б) компоненты E и величину E напряженности в точке M(2, 1, −3).

Решение.

Напряженность электрического поля E связана с его потенциалом ϕ соотношением

E = −α yi + xj − 2zk .

Вточке M(2, 1, −3):

q

Ex = −3 В/м, Ey = −6 В/м, Ez = 18 В/м, E = Ex2 + Ey2 + Ez2 ≈ 19.2 В/м.

Задача 2.

Найти наибольший потенциал и заряд, которые можно сообщить находящейся в воздухе сфере. Диаметр сферы 30 см.

Решение.

Экспериментально установлено, что наибольшее электрическое поле в воздухе при атмосферном давлении достигает около 106 В/м. В более сильных полях происходит электрический пробой – лавинный процесс, при котором каждый ион образует новые ионы, и возникает т.н. искровой или коронный разряд.

Вне заряженной сферы ее электрическое поле совпадает с полем точечного заряда (см. задачу 7 в практическом занятии №4). Поэтому для вычисления потенциала на поверхности сферы, r = R, можно воспользоваться формулой (9.10) из Лекций:

1

Потенциал φ зависит только от координаты x, поэтому ∂φ/∂x = dφ/dx. Используя связь напряженности E и потенциала, находим напряженность в точке x:

Последнее выражение с точностью до замены x → r совпадает с формулой (21) из Задач по теме практического занятия №4, где она была получена другим способом.

Задача 5.

Заряд Q равномерно распределен по объёму шара радиуса R. Определить потенциал поля на расстоянии r от центра шара.

Решение.

При равномерном распределении, объемной плотностью одинакова в любой точке шара и равна

ρ= Q/V , где V = 4πR3/3.

Взадаче 8 из практического занятия №4 было установлено, что силовые линии вектора E направлены радиально из центра (Q > 0) или к центру шара (Q < 0). Величина напряженности

в зависимости от расстояния r от центра равна (см. ур-ие (27) в занятии №4):

• Вне шара r > R напряженность поля совпадает с полем точечного заряда. То же самое касается и потенциала поля:

• Для определения зависимости φ(r) внутри шара, проведем прямое вычисление разности потенциалов для точек r1 < R и r2 < R:

где C – произвольная постоянная. Выберем ее так, чтобы формулы (8) и (10) приводили к одинаковому значению на поверхности шара, т.е. при r = R. Нетрудно убедиться, что это достигается при С = kQ/2R. Окончательно:

Во всем пространстве, равенство φ(r) = const достигается при r = const, т.е., эквипотенциальные поверхности есть концентрические сферы с центром, совпадающим с центром шара.

3

Задача 6.

Найти E и φ электрического поля бесконечного тонкостенного цилиндра радиуса R на расстоянии r от оси. Цилиндр заряжен равномерно с линейной плотностью λ.

Решение.

Напряженность E находится с помощью теоремы Гаусса.

Вне цилиндра, r > R, решение совпадает разобранным в задаче № 9 из практического занятия №4.

В частности, было установлено, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра.

Внутри цилиндра E = 0. Это также доказывается с использованием теоремы Гаусса подобно тому, как это сделано для поля внутри заряженной сферы (см. задачу № 7 там же).

Для определения зависимости φ(r) вне цилиндра, проведем прямое вычисление разности потенциалов для точек r1 > R и r2 > R:

где произвольная постоянная C записана в виде C = −2kλ ln r0, где r0 – произвольное расстояние. Можно выбрать r0 = R, тогда потенциал обращается в ноль на внешней поверхности.

Внутри цилиндра E = 0 = φ = const. Постоянную можно положить равной нулю, так что

φ(R) = 0 и на внутренней поверхности. Все внутреннее пространство – эквипотенциально. Т.о., потенциал во всем пространстве записывается следующим образом:

Во внешнем пространстве, равенство φ(r) = const достигается при r = const. Таким образом, эквипотенциальные поверхности есть цилиндра коаксиальные заряженному.

4

Решение.

В отсутствие напряжения, конденсаторы не заряжены, и вся система электрически нейтральна. При подаче напряжения происходит перераспределение зарядов, но так, что их сумма по-прежнему равна нулю.

Установим связи между величинами зарядов на конденсаторах. Отрицательный электрод, имеющий потенциал ϕ−, сообщает левой обкладке конденсатора C1 заряд −q1. Электрическое поле, создаваемое конденсатором, целиком сосредоточено в пространстве между обкладками. Поэтому на правой обкладке конденсатора C1 индуцируется заряд +q1.1 Правая обкладка C1 и левые обкладки C2, C3 (помечены синим цветом) соединены между собой, но не подсоединены ни к какому источнику зарядов. Следовательно, их суммарный заряд равен нулю: q1 −q2 −q3 = 0. Аналогично обосновывается равенство нулю суммарного заряда на правых обкладках C2,

Левые и правые обкладки конденсаторов C2 и C3 соединяются проводами в точках b и c, соответственно. Значит, на обоих конденсаторах одинаковое напряжение. Тогда

Итак, все искомые величины выражаются через q, который можно определить из соотношения q = CU (19)

где C обозначает результирующую ёмкость батареи конденсаторов. Для нахождения C воспользуемся правилами вычисления ёмкостей параллельно и последовательно соединённых конденсаторов. В данной цепи:

1Наличие равных по величине, но противоположных по знаку зарядов на обкладках справедливо для всех конденсаторов батареи.

5

Задача 8

Кпластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U1 = 150

В.Площадь пластин S = 200 см2, расстояние между ними d = 1.5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (ε = 2). Определите разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика. Определите также емкости конденсатора C1 и C2 до и после внесения диэлектрика.

Решение.

В плоском конденсаторе электрическое поле однородно. Разность потенциалов между обкладками определяется произведением напряженности поля на d:

где E1 и E2 напряженности поля в воздушном конденсаторе и с диэлектриком. Напряженность поля E1 равна (см. формулу (3.15) в Лекциях)

σ

E1 = ε0

где σ = q/S – поверхностная плотность заряда на положительной обкладке. Поскольку, по условию, конденсатор сначала отключили от источника, а потом внесли диэлектрик, то заряд на пластинах остался тем же и в конденсаторе с диэлектриком. Осталась неизменной и поверхностная плотность заряда. Влияние диэлектрика сводится к ослаблению напряженности поля в ε раз, т.е. E2 = E1/ε. Следовательно, для разности потенциалов U2 находим

Для ответа на второй вопрос используем связь между ёмкостью плоского конденсатора и его геометрическими размерами (см. формулу (5.4) в Лекциях). Учитывая, также, что ёмкость конденсатора с диэлектриком (C2) в ε раз больше воздушного (C1), находим (в СИ)

6

Для удобства, пронумеруем все заряды цифрами от 1 до 4. Для вычисления потенциальной энергии Eп взаимодействия зарядов используем общую формулу (10.9) в Лекции 10. Положив в ней n = 4, имеем

Рассмотрим подробно первое слагаемое в сумме в правой части уравнения. В нём, ϕ1 это суммарный потенциал, создаваемый зарядами q2, q3, q4 в точке нахождения заряда q1. Вспоминая, что потенциал поля точечного заряда Q на расстоянии r от него (в вакууме) равен kQ/r, вычисляем ϕ1 и q1ϕ1

Здесь учтено, что q2 = q4 = −q и q1 = q3 = q.

Легко убедиться, что для всех остальных произведений в правой части уравнения (26) по-

Последнее соотношение есть ответ задачи.

Задача 10

Решение.

Точечный заряд q создает в пространстве вокруг себя электрическое поле, величина напряженности которого в какой-либо точке на расстоянии r от заряда равна

7

Здесь k = 1/4πε0.

Энергия электрического поля, заключённая в некотором объёме V , определяется следующим

соотношением

Z

где dV – элемент объёма, а w E2 – плотность электрической энергии (см. формулу (10.16) в Лекции 10).

Применим (29) и (30) к решению данной задачи.

Используя (29), находим плотность энергии внутри шарового слоя

Видно, что w = const для всех точек лежащих на одинаковом r расстоянии от центра, т.е. на сферической поверхности r = const. Воспользуемся этим, чтобы выполнить интегрирование в (30). В качестве dV выберем объём бесконечно-тонкого шарового слоя радиуса r и толщины dr (см. пунктирные линии на рисунке): dV = 4πr2dr. Тогда, энергия поля внутри диэлектрического шарового слоя a ≤ r ≤ b вычисляется следующим образом

8