Король А. В. / Практики Король А. В. / (1) Кинематика материальной точки

1Практическое занятие по теме "Кинематика матери-

альной точки"

Пожелание/совет: освежите в памяти основные кинематические понятия, соотношения, формулы. Для этого можно воспользоваться материалом лекции 1 или/и §§ 1-4 учебника "Курс Физики"(автор Т. И. Трофимова).

Внимание: ниже в тексте векторы обозначаются жирными буквами!

1.1Задача 1.

Движение материальной точки в плоскости (xy) описывается законом x = At, y = At(1+Bt), где A и B - положительные постоянные. Определите:

(1) уравнение траектории материальной точки; 2) радиус-вектор r точки, её скорость v и ускорение a в зависимости от времени.

Решение.

1) Уравнение траектории – это зависимость y = y(x) (или x = x(y)).

По условию x = At. Следовательно, t = x=A. Подставляя это в уравнение y = At(1 + Bt), находим

()

2)По-определению, радиус-вектор связан с декартовыми координатами следующим образом r = xi + yj + zk. В условии сказано, что движение происходит в плоскости (xy). Следовательно, координата z тождественно равна нулю в любой момент времени, z 0. Тогда, искомая зависимость r = r(t) есть

По-определению, вектор скорости есть первая производная радиус-вектора по времени. Учитавая, что A; B, i и j – постоянные, находим

{

Таким образом, материальная точка двигается с постоянным ускорением, направленным вдоль оси y. Данное движение является равноускоренным.

1

1.2Задача 2.

Частица (= материальная точка) движется в плоскости (xy) со скоростью v = bi + cxj, где i, j – единичные векторы вдоль осей OX и OY , а b и c – известные положительные постоянные. В момент времени t = 0 частица находилась в точке с координатами x0 = 0, y0 = 0. Найти уравнение траектории частицы y = y(x), а также тангенциальное и нормальное ускорения частицы, как функции времени t.

Решение.

1) Определяем зависимости x = x(t), y = y(t) и траекторию y = y(x).

По-определению, vx = dx=dt. Поэтому, из первого уравнения системы находим:

∫

vxdt = bt + const :

Постоянную находим из условия x(0) = x0 = 0. Следовательно const = 0, так что

Используя этот результат во втором уравнении системы (5), находим зависимость y = y(t):

2)Определяем ускорения.

Величина полного ускорения a связана с тангенциальным a и нормальным an ускорениями, следующим образом:

2

1.3Задача 3.

Зависимость пройденного пути s от времени t задаётся уравнением s(t) = A + Bt + Ct2 + Dt3, где (A = 6 м, B = 3 м/с, C = 2 м/с22, D = 1 м/с3. Определите для тела в интервале времени от t1 = 1 с до t2 = 4 с (1) среднюю спутевую корость, (2) среднее ускорение.

Решение.

1) Определяем среднюю путевую скорость v .

Средняя путевая скорость за интервал времени ∆t = t2 t1 определяется как отношение пройденного пути ∆s = s(t2) s(t1) за ∆t к нему же.

Используя данные из условия, получаем (вспоминая известное: a2 b2 = (a b)(a + b) и a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2))

2) Определяем среднее ускорение a .

По определению, среднее ускорение за интервал времени есть отношение изменения скорости ∆v = v(t2) v(t1) к интервалу ∆t = t2 t1:

3

1.4Задача 4.

Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол , под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета.

Решение.

В пренебрежении силой сопротивления воздуха, единственной силой, действующей на камень во сремя полёта, является сила тяжести Fт = mg. По второму закону Ньютона Fт = ma. Следовательно, в течение всего полета ускорение камня равно a = g = const. Таким образом, движение является равноускоренным. В этом случае, зависимость радиус-вектора камня r от времени определяется соотношением (см. Лекцию 1):

где r0 и v0 обозначают, соответственно, начальный радиус-вектор и начальную скорость (т.е., в момент бросания, t = 0) камня.

Запишем векторы, входящие в уравнение (17), через единичные векторы (орты) i и j координатных осей (см. рисунок):

Умножая скалярно это векторное уравнение на i и на j, и учитывая, что i2 = j2 = 1 и i j = 0, получаем два скалярных уравнения, соответствущие проекциям на оси OX и OY :

Здесь v0x и v0y – горизонтальвая и вертикальная компоненты начальной скорости, соответственно.

Вычисляя производные x(t) и y(t) по t, находим зависимости компонент скорости от времени

{

4

Видно, что вдоль горизонтальной тело оси двигается равномерно со скоростью v0x, а вдоль вертикальной оси – с постоянным ускорением g.

Поскольку v0x = const, то дальность броска L (т.е, значение координаты x при котором камень падает на землю) связана с длительностъю полёта T простым соотношением

Чтобы найти длительность полёта, учтём, что в момент t = T камень падает на землю, т.е. вертикальная координата равна нулю: y(T ) = 0. Из (19), приравнивая y(t) = 0, находим два корня, t1;2:

Определим длительность подъёма tп и высоту подъёма h.

В точке максимального подъёма, y = h, скорость тела направлена горизонтально, см. рисунок. Иными словами, вертикальная составляющая скорости равна нулю. Приравнивая vy из ур-ия (20) к нулю, находим

Сопоставляя с T из (23), замечаем, что tп = T=2. Следовательно, в отсутствие сопротивления воздуха время подъема на максимальную высоту и время падения с неё одинаковы и равны T=2.

(Вопрос для любопытствующих: если учесть, что воздух препятствует движению, что больше - время

5

1.5Задача 5.

Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса R = 4 м, задается уравнением an = A + Bt + Ct2 (A = 1 м/с2, B = 4 м/с3, C = 4 м/с4). Определить:

1) тангенциальное ускорение a точки; 2) путь, пройденный точкой за первые 5 секунд после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t = 1 с.

Решение.

1)Тангенциальное ускорение a .

По-определению, нормальное и тангенциальное ускорения связаны со скоростью v тела соотношениями:

2) Путь, пройденный за первые 5 секунд после начала движения.

По-определению, путь s, пройденный точкой за время от t1 до t2 связан со скоростью v соотношением:

∫ t2

6

3)Полное ускорение.

Используя соотношение, связывающее полное ускорение a с an и a , находим зависимость a от времени:

√√

Здесь использовано приближенное равенство (1+x)1=2 1+x=2, справедливое для jxj 1.

1.6Задача 6.

Колесо вращается с постоянным угловым ускорением = 3 рад/с2. Через время t = 1 с после начала вращения полное ускорение, для точек лежащих на ободе колеса, составило 7:5 м/с2. Определите радиус колеса.

Решение.

Вспоминаем определения.

Полное ускорение a связано с нормальным an и тангенциальным a ускорениями соотношением:

√

a = a2n + a2 (36)

В свою очередь, an и a определяются через скорость v движения Для момента времени t = 1 с получаем

Для описания движения по окружности, удобно использовать угловую скорость ! и угловое ускорение = d!=dt.

Используя связь между ! и v

7

1.7Задача 7.

Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъёма постоянна и равна v0. Благодаря ветру, шар приобретает горизонтальную компоненту скорости vx = y, где - постоянная, y - высота подъёма. Найти зависимости от высоты подъёма:

1)сноса шара по горизонтали, x(y);

2)полного, тангенциального и нормального ускорений.

Решение.

Движение шара по вертикали (ось OY ) - равномерное: vy = v0 = const. Следовательно, приняв, что шар начал подъём в момент времени t = 0, высота y его подъёма в момент времени t > 0 равна:

Векторы скорости v = vxi + vyj, и полного ускорения a = dv=dt шара как функции времени равны

8

Направим координатную ось OX вдоль границы раздела полуплоскостей, а ось OY - перпендикулярно к ней. Пусть (x1; y1) и (x2; y2) координаты точек 1 и 2, соответственно (см. рис.).

Нетрудно сообразить, что траектория движения состоит из двух прямых участков, лежащих в одной и другой полуплоскости (Вопрос: можете пояснить, почему это так?). На рисунке эти отрезки помечены красным цветом. Их длины обозначены как l1 и l2.

Точка A обозначает место пересечения границы двух сред. Вопрос задачи состоит в нахождении

такой точки A с координатами (X; 0), которая обеспечивает минимальное время перехода Tп.

Выражаем время Tп через длины l1, l2 и скорости v1, v2:

Равенство (52) определяет зависимость времени перехода он координаты точки. По условию задачи, нужно найти такое значение X, при котором функция Tп = Tп(X) имеет минимум. Следовательно, надо вычислить производную Tп по X и приравнять её к нулю:

9

Здесь 1 и 2 – углы между, соответственно, отрезками 1A и A2 и нормалью к границе раздела. Используя (54) в (53), находим условие, обеспечивающее минимальное время перехода

Соотношение (55) идентично закону преломления света на границе двух сред с показателями преломления n1 = c=v1 и n2 = c=v2 (закон Снеллиуса): sin 1= sin 2 = n2=n1. В этом случае, 1 - угол падения, 2 - угол преломления, v1 и v2 – скорости света в средах, а c – скорость свера в вакууме.

Такое совпадение не случайно, поскольку закон преломления света есть следствие более общего закона, известного под названием принцип Ферм´a:1 луч света движется из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему время движения.

1Пьер де Ферм´a (Pierre de Fermat), 1601-1665, – французский математик.

10