Король А. В. / Лекции Король А. В. / Лекция 12
.pdf
Лекция 12
Эта лекция посвящена изучению законов постоянного электрического тока.
12.1Электрический ток. Сила и плотность тока.
Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение зарядов.1
В проводнике под действием приложенного электрического поля E сво- |
|
|
F |
|||
бодные электрические заряды перемещаются: положительные – по по- |
+ |
|
+ |
|
||
|
|
|
|
E |
||
лю (поскольку действующая на них сила F+ = q+E направлена вдоль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E), отрицательные – против поля (т.к. F− = q−E ↑↓ E). Такой ток |
F |
|
|
|
|
|
- |
|
- |
|
|||
|
|
|
||||
называют током проводимости. |
|
|
|
|
|
|
Носителями тока являются свободные заряды – напр. электроны (в металлах), ионы (в электролитах), электроны и ионы (в ионизованном газе, плазме).
За направление тока принимают направление движения положительных зарядов.
• Количественной мерой электрического тока служит сила тока – скалярная физическая величина, равная отношению (бесконечно малого) заряда dq, переносимого через рассматриваемое сечение проводника за интервал времени dt, к величине этого интервала:
I = |
dq |
. |
(12.1) |
|
|||
|
dt |
|
|
Единица силы тока - ампер (A): [I] = Кл/с = A.
• Электрический ток называется постоянным, если его сила и направление не изменяются с течением времени. Для постоянного тока:
I = |
q |
. |
(12.2) |
|
|||
|
∆t |
|
|
где q – заряд, проходящий за интервал ∆t времени через поперечное сечение проводника.
• Ток внутри проводника может быть распределен неоднородно, т.е. иметь разное значение в разных точках проводника. Для характеристики электрического тока в разных точках проводника служит вектор плотности тока j. Величина этого вектора определяется отношением (бесконечно малого) тока dI к элементу поперечного сечения проводника dS , перпендикулярного направлению тока:
j = |
dI |
. |
(12.3) |
|
|
|
|||
|
dS |
|
||
Единица плотности тока – ампер на метр в квадрате (А/м2). |
|
|||
Для постоянного тока, протекающего по проводнику с поперечным сечением S: |
|
|||
j = |
I |
. |
(12.4) |
|
|
||||
|
S |
|
||
Можно показать, что вектор плотности тока j пропорционален средней скорости v упорядоченного движения носителей тока в проводнике (эту скорость иногда называют средней скоростью дрейфа):
j = nqн v . |
(12.5) |
1Явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов, изучаются в электродинамике.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 12 |
87 |
Здесь n – концентрация носителей тока (т.е. число носителей в единице объёма проводника, [n] = м−3); qн – заряд носителя тока.
Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора j, т. е.
ZZ
I = j · dS = j cos α dS |
(12.6) |
SS
где dS = n dS (n – единичный вектор нормали к площадке dS, составляющий угол α с вектором j угол α).
12.2Сторонние силы
Для возникновения и существования электрического тока необходимо наличие
(1)носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно;
(2)электрического поля, энергия которого должна каким-то образом восполняться.
Если на носители тока действуют только силы электростатического поля, то происходит их перемещение от точек с б´ольшим потенциалом ϕ к точкам с меньшим ϕ.2 Это приводит к выравниванию ϕ во всей цепи, и, в итоге, к исчезновению электрического поля.3
Для существования тока необходимо наличие в цепи устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы сил неэлектростатического
происхождения. Такие устройства называются источниками тока.
Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников, тока называются сторонними.
•Количественной характеристикой сторонней силы является напряженность Eст её поля, определяемая как сила, действующей на единичный положительный заряд.
•Природа сторонних сил может быть различной.
Например, в гальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакций между электродами и электролитами; в генераторе – за счет механической энергии вращения ротора генератора, в солнечных батареях – за счет энергии фотонов и т.п.
• Роль источника тока: под действием сторонних сил заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток.4
12.3Электродвижущая сила и напряжение
Сторонние силы совершают работу Aст по перемещению зарядов. Работа при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС):
E = |
Aст |
(12.7) |
q0 . |
2В таком виде, утверждение сформулировано для положительно-заряженных носителей тока. Если их заряд меньше нуля, они перемещаются от меньшего потенциала к с б´ольшему.
3Если ϕ = const, то E = −grad ϕ = 0, и энергия электрического исчезает.
4Роль источника тока в электрической цепи аналогична роли насоса, который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлической системе.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 12 |
88 |
Эта работа совершается за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока, поэтому величину E, можно назвать ЭДС источника тока, включенного в цепь. ЭДС, как и потенциал, измеряется в вольтах (в СИ).
• Работа сторонних сил Fст = q0Eст по перемещению заряда q0 на некотором участке 1 − 2 цепи равна
Aст = Z 2 |
Fст dr = q0 |
Z 2 |
Eст dr . |
(12.8) |
11
Сравнивая это выражение с (12.7), находим, что ЭДС действующая на участке 1 − 2 выражается через напряженность Eст поля сторонних сил:
Z 2
E = Eст dr . (12.9)
1
• На заряд q0 помимо сторонних сил действуют также сила q0E со стороны электростатического поля. Результирующая сила, действующая на заряд, равна F = q0(Eст + E). Её работа на участке 1-2 есть
A = Z1 |
2 |
F dr = q0 |
Z1 |
2 |
Eст dr +q0 |
Z1 |
2 |
E dr . |
(12.10) |
||||||||
|
|
|
| |
|
|
|
{z |
|
} |
| |
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
=E |
=ϕ1−ϕ2 |
|
|||||||||
Отношение работы суммарной работы A к q0 не зависит от величины перемещаемого заряда, и является характеристикой участка 1-2 электрической цепи, называемой напряжением U на участке цепи:
U = E + ϕ1 − ϕ2 . |
(12.11) |
Понятие напряжения является обобщением понятия разности потенциалов: напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует ЭДС, т.е. сторонние силы отсутствуют.
• Для контура (замкнутая цепь) |
|
||||||
I |
E dr = 0 |
= U = E . |
(12.12) |
||||
| |
см. |
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
(9.2) |
|
|
|
||
Т. о., напряжение в контуре равно сумме ЭДС всех источников тока, действующих в нем.
12.4Закон Ома. Электрическое сопротивление
Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы (т.е., не содержащий источников тока), называется однородным. Закон Ома для однородного участка цепи: сила тока, текущего через проводник, пропорциональна приложенному напряжению,
I = |
U |
. |
(12.13) |
|
|||
|
R |
|
|
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 12 |
89 |
Это т.н. интегральная форма закона Ома. Коэффициент R называется электрическим сопротивлением проводника, [R]= В/А = Ом.
Сопротивление зависит от размеров, формы и материала проводника. Например, для однородного линейного проводника длиной l и площадью поперечного сечения S:
R = ρ |
l |
, |
(12.14) |
|
S |
||||
|
|
|
где множитель ρ, характеризующий материал проводника, называется удельным электрическим сопротивлением ([ρ] = Ом·м).
Величина обратная сопротивлению, G = 1/R, называется электрической проводимостью, ([G]= 1/Ом = Сименс (=См)). Соответственно, γ = 1/ρ – удельная проводимость.
Из (12.13), (12.14) и соотношения U = El, следует закон Ома в дифференциальной форме:
j = γE . |
(12.15) |
Этот закон связывает плотность j тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля E в той же точке
12.5Сопротивление соединения проводников
При последовательном соединении, через проводники течёт одинаковый ток:
I1 = I2 = . . . = I.
Суммарное падение напряжения на проводниках равно
сумме падений напряжений на каждом в отдельности: |
|
|
|
|
|
|
U=IR |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Xj |
X |
|
U1=I1R1 U2=I2R2 |
|
|
UN=INRN |
||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = IjRj = I |
Rj = IR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
R2 |
|
|
|
RN |
|||||||||
=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из последнего равенства находим сопротивление R всех последовательно соединенных проводников:
Xn
R = Rj
j=1
При праллельном соединении, напряжение, приложенной к каждому проводнику, одинаковое: U1 = U2 = . . . = U.
Полный ток, протекающий через все проводники равен сумме токов, текущих через каждый проводник в отдельности:
|
Xj |
|
X |
X |
|
|
||||
I = |
n |
Ij = |
n |
Uj |
= U |
n |
1 |
= |
U |
. |
|
=1 |
|
j=1 |
Rj |
j=1 |
Rj |
R |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(12.16)
I1=U/R1
R1
I2=U/R2
R2
IN=U/RN
RN
I=U/R
Следовательно, сопротивление R праллельно соединенных проводников определяется из
|
|
Xj |
|
|
1 |
|
n |
1 |
|
R |
= |
=1 |
Rj |
(12.17) |
|
|
|||
|
|
|
|
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 12 |
90 |
12.6Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца.
12.6.1Работа и мощность тока.
При перемещении заряда q вдоль электрической цепи Кулоновские и сторонние силы совершают работу.
Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концам которого приложено напряжение U. За время dt через сечение проводника переносится заряд dq = Idt. Работа по перемещению заряда между двумя точками поля с разными потенциалами определяется общей формулой (9.6), Применяя её к данному случаю, находим элементарную работу dA по перемещению dq. Используя закон Ома (12.13), работу можно записать несколькими
эквивалентными способами: |
|
|
|
|
|
dA = U dq = UI dt U=IR= I2R dt I=U/R= |
U2 |
(12.18) |
|||
R dt. |
|||||
|
|
|
|
|
|
Скорость совершение работы |
dA/dt (т.е. |
работа в единицу времени) есть мощность, P . Из |
|||
(12.18) получаем выражения для мощности сил в электрической цепи, затрачиваемой на поддержание тока (на перемещение свободных зарядов)
|
dA |
= UI = I2R = |
U2 |
(12.19) |
|
P = |
|
|
. |
||
dt |
|
||||
|
|
R |
|
||
Единицы измерения мощности (в СИ): [P ] = Дж/с = Aмпер·Вольт = Ватт (Вт).
Отметим также внесистемную единицу работы: 1 киловатт·час = 3.6×106 Дж – работа тока мощностью 1 кВт в течении 1 часа.5
12.6.2Закон Джоуля-Ленца.
При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние (диссипация) энергии направленного движения носителей тока вследствие столкновений их между собой и с другими частицами среды (например, с атомами кристаллической решетки металла). Если ток проходит по неподвижному проводнику, то вся работа dA на нагревание проводника (выделение теплоты dQ).
По закону сохранения энергии: dA = dQ, поэтому
dQ = UI dt = I2Rdt = U2 dt (12.20) R
Количество теплоты Q , выделяющееся за конечный промежуток времени от t1 до t2 постоянным током I во всем объеме проводника сопротивлением R, получается интегрированием уравнения (12.20):
Z t2
Q = I2Rdt = I2R ∆t , |
(12.21) |
t1
где ∆t = t2 − t1.
5В качестве иллюстрации: при 100%-ой конвертации (что, конечно, невозможно) в эквивалентную механическую работу, 1 кВт·ч соответствует работе по подъёму 1 тонны груза на высоту 360 м, или на его разгон до скорости ≈ 85 м/с≈ 300 км/ч.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 12 |
91 |
Закон Джоуля-Ленца (в интегральной форме): количество теплоты, выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.
Отметим следующее:
•Первое равенство в (12.21) справедливо и в случае непостоянного тока, I ≠ const;
•Для постоянного тока, используя закон Ома, количество теплоты можно записать в эквивалентных формах:
U2 |
(12.22) |
||
Q = I2R ∆t = |
|
∆t = UI ∆t . |
|
|
|||
|
R |
|
|
Другая величина, характеризующая тепловыделение при прохождении тока через разные участки проводника, называется удельной тепловой мощностью тока, w, – количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводника: w = dQ/dt dV .
Можно показать, что используя дифференциальную форму закона Ома (12.15), закон ДжоуляЛенца записывается в дифференциальной форме
w = γE = jE2
где γ = 1/ρ – удельная проводимость.
12.7Закон Ома для неоднородного участка цепи
Рассмотрим неоднородный участок цепи 1-2 на котором присутствуют силы неэлектрического происхождения (сторонние силы) Fст. На рисунке стрелка показывает направление действия Fст на положительный заряд).
Обозначим через: E – ЭДС на этом участке; ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 – |
|
|
|
|
|
ε, R |
|||||||
приложенную на концах участка разность потенциалов. |
I |
|
|
R |
- |
|
|
|
+ |
|
|||
|
|
||||||||||||
Если участок цепи неподвижен, то (по закону сохранения энер- φ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гии) работа A12 сторонних и электростатических сил, соверша- |
|
|
|
|
|
|
FC |
||||||
емая над носителями тока, равна выделяющейся теплоте Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через q0 заряд, прошедший через участок цепи 1-2 за время t. Работа всех сил, совершаемая при перемещении заряда q0 равна:
A12 = q0E + q0∆ϕ |
(12.23) |
Заметим, что ЭДС E берется со знаком ’+’, если она способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (как на рис.), и со знаком ’-’, если препятствует.
За то же время на сопротивлении R и на внутреннем сопротивлении источника r выделится теплота:
Q = I2(R + r)t = I(R + r) (It) = I(R + r)q0. |
(12.24) |
|{z}
=q0
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 12 |
92 |
Приравнивая правые части равенств (12.23) и (12.24), получаем закон Ома для неоднородного участка:
I = |
E + ∆ϕ |
. |
(12.25) |
|
R + r |
|
|
Отметим, что здесь сумма R + r обозначает полное сопротивление участка цепи, включающее в себя сопротивление r источника тока (т.н. внутреннее сопротивление).
12.7.1Частные случаи
1. Если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то из (12.25) следует закон Ома для однородного участка цепи (см. (12.13)):
|
U |
|
|
|
|
|
|
I = |
R + r |
U=∆ϕ . |
(12.26) |
|
|
|
|
2. Замкнутая цепь (т.е. начальная точка 1 и конечная – 2 совпадают). Полагая в (12.25) ∆ϕ = 0, получаем закон Ома для замкнутой цепи:
I = |
E |
. |
(12.27) |
|
R + r |
|
|
R называют внешним сопротивлением (или, сопротивлением нагрузки). Из (12.27) следует
I(R + r) = E = UR + Ur = E ,
ε, R
- +
I
R
(12.28)
где UR = IR обозначает падение напряжения на внешнем сопротивлении, а Ur = Ir – на внутреннем сопротивлении.
Умножая уравнения (12.28) на I, получаем соотношение, характеризующее баланс мощностей в замкнутой цепи:
|
|
PE = PR + Pr . |
|
(12.29) |
||||||
Здесь P |
E |
= I |
E |
– мощность источника тока (полная мощность), |
PR = I2R = URI |
и |
Pr = |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
I |
|
R = URI – мощности, выделяемые, соответственно, на внешнем сопротивлении (’полезная |
||||||||
мощность’, PR) и внутреннем сопротивлении (’теряемая мощность’, Pr). |
|
|
||||||||
|
|
Отношение η = PR/PE есть к.п.д. источника тока в данной электрической цепи (см., |
||||||||
также, задачу Практическом Занятии по Лекции 6). |
|
|
|
|||||||
При отсутствии внешнего сопротивления, R → 0, возникает короткое замыкание. При |
||||||||||
этом, в замкнутой цепи течёт максимально возможный, для данной ЭДС, ток: |
|
|
||||||||
|
|
Imax = |
E |
. |
|
|
(12.30) |
|||
|
|
r |
|
|
||||||
т.н. ток короткого замыкания. |
|
|
|
|||||||
3. Разомкнутая цепь. При этом I = 0, и из закона Ома (12.25) следует E = ϕ1−ϕ2, т.е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, для того, чтобы найти ЭДС источника тока, надо измерить разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 12 |
93 |
12.8Правила Кирхгофа для расчета разветвленных электрических цепей
• В разветвленных цепях можно выделить узлы, в которых сходятся не менее трех проводников. Ток, входящий в узел считается положительным, а выходящий – отрицательным.
В узлах не может происходить накопление зарядов. Отсюда следует I-е правило Кирхгофа: сумма токов, сходящихся в узле равна нулю (см. рис.):
X
Ij = 0. |
(12.31) |
j
I1 − I2 − I3 + I4 + I5 − I6 = 0
I-е правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.
Замечание: В цепи, содержащей N узлов, ур-ие (12.31) можно написать для каждого из них. Независимыми, однако, будут лишь N − 1 уравнение, а N-е будет следствием остальных.
• В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество замкнутых путей, называемых контурами, состоящих из однородных и неоднородных участков.
II-е правило Кирхгофа:, в любом контуре, произвольно выбранном в разветвленной цепи, алгебраическая сумма падений напряжений IR на сопротивлениях равна алгебраическая сумме ЭДС E, встречающихся в этом контуре:
XX
IjRj = |
Ek. |
(12.32) |
j |
k |
|
Это правило является следствием того, что работа по перемещению заряда по замкнутой траектории равна нулю.
I R |
1 |
E1 |
|
1 |
|
|
|
A |
- + |
B |
+
- E2
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
|
- |
|
|
R |
3 |
|
|
I |
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I1R1−I2R2+I3R3+I4R4 = E1−E2+E3 |
||||||||||||||||||
Слагаемые в левой и правой частях уравнения (12.32) берутся со знаком ’+’ или ’-’ в соответствие с правилом знаков, которое формулируется следующим образом.
(1)Сначала выбирается (произвольным образом) направление обхода контура (на рисунке синий круг показывает направление по часовой стрелке).
(2)В левой части уравнения, слагаемое IjRj берется со знаком ’+’, если ток Ij сонаправлен с направлением обхода, и со знаком ’-’, если – противонаправлен. См. знаки у слагаемых IR под иллюстрирующим рисунком.
(3)В правой части уравнения, Ek входит со знаком ’+’, если действует по выбранному направлению обхода, и со знаком ’+’, если против направления обхода. См. знаки у слагаемых E под иллюстрирующим рисунком.
При расчете сложных цепей с применением правил Кирхгофа необходимо:
• Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи.
Действительное направление токов определяется при решении задачи: если ток получится > 0, то
направление выбрано правильно, если < 0 – истинное направление противоположно выбранному.
• Выбрать направления обхода контуров и использовать их, применяя правило знаков.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 12 |
94 |
•Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых токов (в систему уравнений должны входить все R и E рассматриваемой цепи).
Каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.
Литература: Т. И. Трофимова. "Курс Физики’, §§ 96-101.