Король А. В. / Лекции Король А. В. / Лекция 10
.pdf
Лекция 10
10.1Проводники в электрическом поле
Проводники – вещества, способные проводить электрический ток.
Это свойство проводников обусловлено тем, что в них присутствуют свободные заряды, т.е. те, которые могут перемещаться под действием внешнего электрического поля (например, электроны проводимости в металлах, ионы в электролитах, и др.).
Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле, то на заряды проводника будет действовать сила со стороны поля, в результате чего они начнут перемещаться:
положительные – по полю, отрицательные – против поля, см. рис.
(а).
Процесс перемещения будет продолжаться до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль E = 0.
В результате, на одном краю проводника будет избыток положительных зарядов, на другом – отрицательных, см. рис. (а).
Это явление называют электростатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды - индуцированными зарядами.
Следствия:
• Внутри проводника E = −grad ϕ = 0 = ϕ = const, т.е. потенциал одинаков во всех точках проводника.
•Поверхность проводника также является эквипотенциальной.
•Снаружи проводника, вблизи его поверхности, E направлен по нормали к поверхности. Если бы это не выполнялось, то под действием касательной составляющей E заряды пришли бы в движение по поверхности проводника,
•Электростатическая защита ("клетка Фарадея"1):
т.к. внутри проводника E = 0 = возникает экранирование тел (напр., изм. приборов) от влияния внешних электростатических полей.
•Если нейтральному проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится с некоторой плотностью σ только по поверхности проводника (σ м.б. разной в разных точках поверхности).
•Вблизи поверхности проводника E = σ/ϵ0ϵ, где ϵ – диэлектрическая проницаемость среды (см. далее в лекции), окружающей проводник.
1На языке оригинала, "a Faraday cage".
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 10 |
72 |
10.2Электроемкость
Рассмотрим уединенный проводник – проводник, удаленный от других тел и зарядов.
Из опыта следует, что разные проводники, обладая одинаковым q, имеют разный потенциал
ϕ.
• По-определению, электрической емкостью (≡ электроемкостью) C проводника называется отношение заряда, сообщенного проводнику, к потенциалу проводника:
C = |
q |
. |
(10.1) |
|
|||
|
ϕ |
|
|
•Электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который нужно сообщить проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на 1 В.
•Электроемкость зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрических свойств окружающей среды. Емкости геометрически подобных проводников пропорциональны их линейным размерам.
При помещении проводника в диэлектрик его емкость возрастает в ε раз2.
•Пример: Емкость проводящего шара радиуса R.
Зяряд, сообщаемый проводнику распределяется по его поверхности (см. §10.1). В случае проволящего шара, сообщаемый заряд распределяется по поверхности равномерно, т.е. с постоянной повехностной плотностью. Поэтому, его потенциал совпадает с потенциалом поля равномерно заряженной сферы, см. §9.6.3. Используя ф-лу (9.22) при r = R, получаем
ϕ = k |
q |
= |
|
q |
. |
|
|
||||
|
R |
|
4πε0R |
||
Следовательно, ёмкость проводящего шара равна
C = 4πε0R. |
(10.2) |
Тот же шар, но в диэлектрике, будет иметь емкость в 4πεε0R.
• Единицы емкости - Фарада (Ф):
1 Ф – емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.
Используя соотношение (10.2), находим, что ёмкостью 1 Ф (в вакууме) обладает уединенный шар, имеющий радиус R ≈ 9 × 106 км.
Емкость Земли (R ≈ 6400 км) примерно равна 0.7 мФ.
• Как следствие определения (10.1) и разобранного примера: размерность электрической постоянной есть [ε0] = Ф/м.
10.3Конденсаторы
Чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь большие размеры. Однако, для практических целей предпочтительно иметь устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать
2Электрическое поле в диэлектриках рассматривается в Лекции 11.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 10 |
73 |
("конденсировать") значительные по величине заряды, т.е. обладать большой емкостью. Эти
устройства получили название конденсаторов.
Если к заряженному проводнику (напр. q > 0) приближать
другие тела, то на них возникают индуцированные (на про- |
|
+ |
- |
- |
Q |
||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
водниках) или связанные (на диэлектриках) заряды ± |
q′ |
, см. |
+ |
|
|
|
- |
+ |
|
|
|
- |
|||
|
+ |
|
|
|
- |
||
рис. Ближайшими к наводящему заряду q будут заряды про- |
+ |
|
|
|
- |
||
тивоположного знака. Эти заряды ослабляют поле, создава- |
+ |
|
|
|
- |
||
+ |
|
|
|
- |
|||
емое зарядом q, т. е. понижают потенциал проводника, что |
+ |
|
|
|
- |
||
|
+ + |
- |
- |
|
|||
приводит (см. (10.1)) к повышению его электроемкости.
Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком.3 с одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, ±q. Форма и расположение обкладок таковы, что электрическое поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками.
На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют 1) две плоские пластины (плоский конденсатор); 2) две концентрические сферы (сферический конденсатор); 3) два коаксиальных цилиндра (цилиндрический конденсатор).
Так как электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой. Это условие требует, чтобы заряды на обкладках конденсатора были противоположного знака и одинаковые по модулю.
• Под ёмкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов ϕ1 − ϕ2 ≡ U между его обкладками (эту разность называют напряжением):
C = |
q |
. |
(10.3) |
|
|||
|
U |
|
|
• Емкость конденсатора увеличивается в ε раз при заполнении пространства между обкладками диэлектриком с проницаемостью ε4.
10.3.1Примеры вычисления емкостей конденсаторов различной формы
Плоский конденсатор.
Обкладками плоского конденсатора являются две параллельные металлические пластины площадью S, находящиехся на расстоянии d друг от друга. Заряды ±q равномерно распределены по пластинам с поверхностными плотностями ±σ = ±q/S. Расстояние d выбирается пренебрежимо малым по сравнению с поперечными размерами пластин, так что для точек внутри конденсатора пластины можно считать бесконечно-большими. Следовательно, электрическое поле, создаваемое обеими пластинами сосредоточено в пространтсве между ними и является однородным.Его напряженность равна E = σ/εε0 (при отсутствии диэлектрика ε = 1, и вектор E направлен от положительно-заряженной пластины к отрицательнозаряженной. Связь разности потенциалов между пластинами с зарядом q устанавливается
3В отсутствие диэлектрика, такая система иногда называется "воздушным конденсатором". 4Электрическое поле в диэлектриках рассматривается в Лекции 11.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 10 |
74 |
||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
=q |
|
|
|
|
|
εε0 |
z}|{0 |
|
εε0S |
|
||
U = Ed = |
σd |
= |
σS d |
= |
qd |
. |
|
|
εε S |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя определение (10.3), находим ёмкость плоского конденсатора:
C = |
εε0S |
. |
(10.4) |
|
|||
|
d |
|
|
Cферический конденсатор. |
|
|
Обкладками сферического конденсатора являются две концентриче- |
|
ε |
|
|
|
ские сферы с радиусами R1 < R2, на которых находится одинаковые |
-Q |
Q |
по модулю, но разные по знаку заряды ±q. Пространство между сфе- |
|
R1 |
|
O |
|
рами заполняется диэлектриком с проницаемостью ε. |
|
R2 |
Найдем разность потенциалов (напряжение) U между обкладками. |
|
|
|
|
По принципу суперпозиции, в любой точке пространтсва на расстоянии r от центра, полный потенциал ϕ есть сумма двух потенциалов, создаваемых 1-й (внутренней) и 2-й (внешней) сферами:
ϕ(r) = ϕ1(r) + ϕ2(r)
Здесь r – расстояние от центра до точки. Значит, разность потенциалов между обкладками
равна
∆ϕ = ϕ1(R2) − ϕ1(R1) + ϕ2(R2) − ϕ2(R1) .
Как показано в §9.6.3, потенциал любой точки внутри заряженной сферы такой же как и на её поверхности. Поэтому, ϕ2(R2) − ϕ2(R1) = 0. Значит, ∆ϕ определяется лишь разностью потенциалов ϕ1(r), создаваемых зарядм −q внутренней сферы на расстояниях r = R1 и r = R2. Для нахождения ϕ1(r) воспользуемся формулой (9.22), в которой учтем, что в диэлектрике электрическое поле ослабляется в ε раз. Тогда:
ϕ |
(R |
) = |
− |
q |
, ϕ |
(R |
) = |
− |
q |
= U = ∆ϕ = |
q |
R2 − R1 |
|
4πεε0R1 |
4πεε0R2 |
4πεε0 R1R2 |
|||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|||||||
Сравнивая последнее соотношение с определением (10.3), находим ёмкость сферического конденсатора:
R2R1 |
(10.5) |
C = 4πεε0 R2 − R1 |
Рассмотрим предел очень тонкого сферического слоя, когда его толщина много меньше любого из радиусов: d = R2−R1 R1, R2. Значит, R2 ≈ R1 ≡ R. Используя эти соотношения, находим, что ёмкость сферического конденсатора
|
|
≈ |
≈ |
|
=S |
|
d |
|
|
z }| { |
|
||||
C |
|
|
|
εε0 |
4πR2 |
= εε0 |
S |
|
|
|
d |
|
|||
R2 |
|
R1 |
|
||||
|
|
|
|
|
совпадает с ёмкостью плоского кодненсатора с площадью пластин равной S = 4πR2.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 10 |
75 |
Циндрический конденсатор.
Обкладками циндрического конденсатора являются два коаксиальных (соосных) цилиндра длиной l и радиусами R1 < R2, на которых находится одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды ±q. Пространство между пластинами заполняется диэлектриком с проницаемостью ε.
Толщина цилиндрического слоя d = R2 − R1 выбирается много меньше по сравнению с l, так что для точек внутри конденсатора цилиндры можно считать бесконечно-длинными. Напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого каждым цилиндром, определяются в соответствие с выражениями, полученными при обсуждении решения задачи 6 из практического занятия "Потенциал электростатического поля".
Схема нахождения ёмкости конденсатора аналогична рассмотренной выше для сферического конденсатора. В результате, для ёмкости цилиндрического конденсатора получаем
соотношение |
|
||
C = |
2πεε0 l |
. |
(10.6) |
|
|||
|
ln R2 |
|
|
|
R1 |
|
|
Рассмотрим предел очень тонкого цилиндрического слоя, d = R2−R1 R1, R2. Используя известную формулу ln(1 + x) ≈ x для |x| 1, получаем
01
|
R2 |
|
R1 + d |
|
B |
|
d |
C |
|
d |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln R1 |
= ln |
|
R1 |
|
|
1 |
≈ R1 . |
|||||||||
|
= ln B1 + |
|
R1 |
C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
Тогда, ёмкость |
цилиндрического |
конденсатора |
||||||||||||||
|
|
|
|{z} |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
πR l |
S |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C R2≈R1 ≈ |
εε0 |
= εε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d |
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
совпадает |
с ёмкостью плоского кодненсатора с площадью пластин S равной боковой поверх- |
|||||||||||||||
ности любого из цилиндров S = 2πR1l.
10.3.2Cоединение конденсаторов
Параллельное соединение конденсаторов.
Oтрицательно заряженные обкладки всех |
конденсаторов Cj (j |
= |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1, 2, . . . , n) имеют один и тот же потенциал ϕ |
− |
, положительно заряжен- |
|
-Q1 +Q |
1 |
|
|
ные обкладки – потенциал ϕ+. |
|
|
|
C2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому, разность потенциалов ∆ϕ = ϕ+ − ϕ− - одинакова для всех Cj. |
φ− |
-Q2 +Q2 |
φ+ |
||||
На положительной обкладке j-го конденсатора находится заряд qj = |
|
CN |
|
|
|||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
Cj∆ϕ, так что суммарный заряд Pj=1 qj = ∆ϕ Pj=1 = Cj. |
|
|
-QN +QN |
|
|||
Тогда, для ёмкости C батареи параллельно-соединённых конденсаторов получаем
|
q |
n |
|
|
C = |
= X Сj . |
(10.7) |
||
∆ϕ |
j=1
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 10 |
76 |
Последовательное соединение конденсаторов.
Все последовательно соединенные конденсаторы Cj (j = 1, 2, . . . , n) содержат одинаковый q. Разность потенциалов на j-м конденсаторе ∆ϕj = q/Cj. Полная разность потенциалов ∆ϕ есть сумма всех ∆ϕj:
|
X |
|
|
Xj |
|
|
|
n |
q |
|
n |
1 |
|
∆ϕ = |
|
|
= q |
|
|
. |
|
j=1 |
Cj |
=1 |
Cj |
||
|
|
|
|
|
||
|
Δφ=φ+−φ− |
|
Δφ1 |
Δφ2 |
ΔφN |
φ− -Q +Q -Q +Q |
-Q +Q φ+ |
|
C1 |
C2 |
CN |
Ёмкость C батареи последовательно-соединённых конденсаторов определяется приравниванием правой части этого равенства к q/С. Сокращая на q, находим
|
|
Xj |
|
|
1 |
|
n |
1 |
|
С |
= |
=1 |
Cj |
. |
|
|
|
|
10.4Энергия электростатического взаимодействия
Поскольку силы электростатического взаимодействия зарядов – консервативны, то можно говорить о потенциальной энергии, запасаемой во взаимодействии.
Рассмотрим, как вычисляется энергия электростатического взаимодействия для различных систем.
10.4.1Энергия системы зарядов
• Рассмотрим два точечных заряда q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из них находится в поле и другого обладает потенциальной энергией. Учитывая,
что потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от него определяется соотношением (9.10),5 записываем потенциальную энергию Eп кулоновского взаимодействия: способами:
Eп = q1 |
k |
q2 |
|
= q2 |
k |
q1 |
. |
r |
|
||||||
|
|
|
|
r |
|||
|
|{z}1 |
|
|{z}2 |
||||
|
=ϕ |
|
=ϕ |
||||
Здесь, ϕ1 – потенциал, созданный 2-м зарядом в точке нахождения 1-го, а ϕ2 – потенциал, созданный 1-м зарядом в точке нахождения 2-го. В уравнении, написанном выше, произведение q1ϕ1 определяет энергию заряда q1 в поле q2, а q2ϕ2 – наоборот. Уравнение показывает, что эти энергии равны: q1ϕ1 = q2ϕ2. Поэтому, потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов может быть записанна в форме, симметричной по отношению к зарядам:
Eп = |
1 |
q1ϕ1 |
+ q2ϕ2 |
. |
(10.8) |
2 |
• Используя (10.8), можно получить следующее выражение для потенциальной энергии взаимодействия n точечных зарядов:
|
1 |
Xj |
|
|
Eп = |
2 |
=1 |
qjϕj . |
(10.9) |
|
|
|
||
|
|
|
|
5Для простоты рассматриваем взаимодействие зарядов в отсутствие диэлектрика, т.е. полагаем ε = 1.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 10 |
77 |
где ϕj – потенциал, создаваемый в точке нахождения заряда qj всеми другими зарядами.
• Если заряды распределены непрерывно (например, по некоторому объёму или поверхности), то представляя эту систему в виде совокупности элементарных зарядов dq и переходя от суммирования в (10.9) к интегрированию, получаем
E |
|
1 |
|
ϕ ρdV , |
E |
|
1 |
ϕ σdS , |
|
|
2 ZV |
|
|
|
|||||
|
п = |
=dq |
|
п = |
2 IS =dq |
(10.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|{z} |
|
|
|
|
|
|
|{z} |
|
|
|
|
|
10.4.2Энергия заряженного проводника и конденсатора
Энергия заряженного проводника
Пусть имеется уединенный (т.е. удалённый достаточно далеко от других тел) проводник, заряд которого q, а потенциал ϕ. Заряд, сообщаемый проводнику распределяется по его поверхности с некоторой поверхностной плотностью σ (которая, в общем случае, различна в разных точках поверхности). Для вычисления энергии проводника используем второе соотношение в (10.10). Учитывая, что потенциал проводника одинаков во всех его точках, вычисляем поверхностный интергал:
|
1 |
IS ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
IS |
|
|
|
qϕ |
(10.11) |
|||||
Eп = |
|
|
=const |
σdS = |
|
|
σdS = |
|
. |
|||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
| |
|
{z } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=q |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проводника (10.1), его энергию можно записать в различных |
||||||||
Используя определение ёмкости| |
{z } |
|
|
|
||||||||||||||||||
эквивалентных формах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
qϕ |
|
q2 |
|
Cϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.12) |
|||||||
Eп = |
|
= |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Энергия заряженного конденсатора
Пусть q+ = q > 0 и ϕ+ обозначают заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора, а q− = −q и ϕ− – отрицательно заряженной обкладки. Любой из интегралов в (10.10) можно разбить на сумму двух, вычисляемых по одной и другой обкладкам. Высисление для каждой обкладке приводит к результату (10.11). Поэтому, энергия заряженного конденсатора равна
|
1 |
q+ϕ+ + q−ϕ− = |
|
q |
ϕ+ − |
ϕ− = |
qU |
(10.13) |
||||
Eп = |
|
|
|
|
. |
|||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=U
Принимая во внимание q = CU, получаем различные, но эквивалентные, формы записи энергии конденсатора, справедливые как для воздушного (ε = 1), так и для заполненного диэлектриком (ε > 1) конденсатора:
|
qU |
q2 |
CU2 |
(10.14) |
|||
Eп = |
|
= |
|
= |
|
. |
|
|
|
2 |
|||||
2 |
|
2C |
|
|
|||
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 10 |
78 |
10.4.3Энергия электростатического поля
Формулы (10.10) определяют электростатическую энергию Eп системы через заряды и потенциалы, ими создаваемые. Оказывается, что энергию Eп можно выразить также и через величину, характеризующее само электрическое поле, через напряжённость E.
Продемонстврируем это на примере плоского конденсатора. Используя формулу (10.3) и учитывая, что в плоском конденсаторе U = Ed, записываем его энергию:
Eп = |
CU2 |
= |
εε0E2 |
Sd = |
εε0E2 |
V . |
(10.15) |
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|{z} |
2 |
|
|
||
|
|
|
|||||
=V
Итак, энергия конденсатора пропорциональна его объёму V = Sd и квадрату напряженности электрического поля. Разделив обе части равенства на V , получим выражение для объемной плотности энергии6 в плоском конденсаторе
w = |
Eп |
= |
εε0E2 |
= |
E · D |
. |
(10.16) |
V |
2 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|||
Последнее равенство написано с учетом соотношения D = εε0E (см. (10.9)),справедливого для изотропного диэлектрика7.
Соотношение (10.16), полученное на примере плоского конденсатора, справедливо для произвольных электрических полей (включая нестационарные, т.е. изменяющиеся во времени). Эта формула показывает, что носителем энергии является само электрическое поле, которое, в частности, может существовать и без электрических зарядов (напр., электромагнитные волны).
Литература: Т. И. Трофимова. "Курс Физики’, §§ 93-95.
6Объемная плотность энергии – энергия единицы объема. Измеряется в Дж/м3. 7Электрическое поле в диэлектриках рассматривается в Лекции 11.