Король А. В. / Лекции Король А. В. / Лекция 9

Лекция 9

9.1Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

• Пусть в поле неподвижного заряда Q перемещается заряд q.

Элементарная работа, совершаемая силой кулоновского взаимодействия, при бесконечно-малом перемещении dr вычисляется следующим образом:

=r2

Работа при конечном перемещении из точки 1 в точку 2:

= Работа A12 не зависит от траектории, а определяется только положениями начальной и конечной точек.

= электростатическое поле точечного заряда – потенциально, = сила кулоновского взаимодействия – консервативна.

Следствие:

Работа, совершаемая при перемещении заряда q по любому замкнутому пути L, равна нулю:

I

L

• Соотношение (9.1) справедливо не только для кулоновского взаимодействия двух точечных зарядов, но и при перемещении заряда q в произвольном электростатическом поле E.

Действительно, любое эл./ст. поле можно представить в виде суперпозиции полей точечных

H

зарядов. Поэтому dA = 0 для любого внешнего эл./ст. поля E.

Т.к. dA = qEdr, то для любого E справедлива теорема о циркуляции:

I

L

H

L Edr называется циркуляцией вектора напряженности.

Уравнение (9.2) утверждает, что циркуляция E вдоль любого замкнутого L равна нулю.

В качестве иллюстративного примера рассмотрим справедливость соотношения (9.2) в частном случае однородного электростатического поля, E = const. Циркуляция этого вектора вычисляется следующим образом:

II

E dr= 0 .

|L{z }

=перемещение=0

Равенство нулю справедливо для любого замкнутого контура.

• Силовое поле, обладающее свойством (9.2), называется потенциальным.

Силовые линии такого поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах или же уходят в бесконечность.

• Свойство (9.2) – только для электростатических полей.

Если поле нестационарно, т.е. E меняется со временем (как, например, в случае поля дви-

H

жущегося заряда), то Edr ≠ 0.

9.2Потенциальная энергия заряда

• В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией.

Работа консервативных (=потенциальных) сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.

• Следовательно, работу A12 можно представить как разность потенциальных энергий заряда q в начальной и конечной точках:

• Eп(r) – потенциальная энергия заряда q, находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него:

• Если поле создается системой N точечных зарядов Q1, Q2, . . . , QN , то потенциальная энергия заряда q, находящегося в этом поле, равна сумме потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

где rj – расстояние между зарядями Qj и q.

9.3Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов

• Отношение Eп/q не зависит от величины пробного заряда q (см. §9.2) и является, поэтому,

энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом:

φ = Eп q

Физический смысл: Потенциал φ в какой-л. точке электростатического поля – скалярная физическая величина, равная потенциальной энергией единичного положительного заряда (q = 1 Кл), помещенного в эту точку.

•Единица измерения потенциала – Вольт. 1 В = потенциалу такой точки, в которой заряд 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж. = В = Дж/Кл.

•Разность потенциалов. Работа, совершаемая силами произвольного электростатического поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

где φ1, φ2 - потенциалы в точках 1 и 2, соответственно.

Разность потенциалов φ1 − φ2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

Поскольку

Z 2 Z 2

A12 = F dr = q E dr

11

где интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2.

В частности, для однородного электрического поля E = const уравнение (9.8) связывает разность потенциалов с перемещением ∆r = r2 − r1. Действительно,

Как и для потенциальной энергии, физический смысл имеет не само значение потенциала, а разность потенциалов. Поэтому для любого электростатического поля всегда можно выбрать точку в пространстве, где потенциал полагается равным нулю (т.н. "нулевой уровень"). Если перемещать заряд q из произвольной точки, характеризуемую радиус-вектором r, в точку нулевой уровня, то работа сил электростатического поля A0 = qφ(r), откуда

φ(r) = Aq0 .

• Электронвольт.

Удобной единицей измерения энергии оказывается количество энергии, сообщаемой электрону1 в электрическом поле с разностью потенциалов 1 В. Действующее на частицу электрическое поле увеличивает ее кинетическую Eк энергию на величину, называемую электронвольтом (сокращённо, эВ):

∆Eк = −∆Eп = 1.6 × 10−19 Кл (1 В) = 1.6 × 10−19 Дж = 1 эВ .

Производными, часто используемыми единицами являются: килоэлектронвольт, 1кэВ = 103 эВ; мегаэлектронвольт, 1МэВ = 106 эВ; гигаэлектронвольт, 1ГэВ = 109 эВ.

• Принцип суперпозиции для потенциала.

Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал данного поля равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.

В частности, для системы N точечных зарядов, получаем

где rj – расстояние между зарядом qj и точкой наблюдения.

Если заряд распределен непрерывно по некоторому объёму V , или по поверхности S, или по нити L, то принцип суперпозиции позволяет найти потенциал φ электростатического поля распределенного заряда путем соответствующего интегрирования:

где ρ, σ, λ – соответствующие плотности зарядов, r – расстояние от элементов dV , dS, dl до точки, в которой определяется потенциал..

9.4Связь напряженности и потенциала

В курсе "Механика" было установлено, что между консервативной (потенциальной) силой F (векторная величина), приложенной к телу в данной точке пространства, её потенциальной энергией Eп (скалярная величина) существует следующая связь:

т.о., сила есть взятый с обратным знаком градиент (обозначается как grad) потенциальной энергии.2 Для обозначения операции "взятия (вычисления) градиента" применяется также

запись с использованием векторного оператора ("набла"):

1В общем случае, любой частице заряд которой равен по модулю элементарному заряду, e = 1.6 × 10−19

Кл

2Градиент – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания той функции f , к которой он применяется. Величина градиента, |gradf |, показывает быстроту изменения f в данном направлении.

Оператор указывает на применение дифференциальной операции (вычисление частных

производных) к функции, которая стоит справа от него.

В электрическом поле F = qE и Eп = qφ. Используя эти соотношения в (9.13), устанавливаем связь между вектором напряженности E электрического поля в данной точке пространства и потенциалом φ в той же точке:

Вектор grad φ направлен в сторону наибольшего возрастания потенциала φ. Поэтому, первое равенство в (9.15) явно указывает, что для любого электростатического поля векторы E и grad φ противонаправлены.

В более развернутой форме векторное уравнение записывается в виде трёх уравнений для

Используя эти соотношения можно найти E, зная φ, и/или наоборот. Рассмотрим два примера.

1.Потенциал однородного электрического поля.

E = const = компоненты Ex,y,z - тоже постоянные. Тогда, из (9.16) следует

где r = xi + yj + zk, а C = const обозначает произвольную постоянную.

2.Потенциал поля точечного заряда.

Исходя из выражения (9.10) для потенциала точечного заряда (будем его обозначать че-

рез q) найти вектор напряженности E, используя (9.15). Вычислим производную ∂φ/∂x. p

Учитывая, что r = x2 + y2 + z2, получаем:

Вычисления ∂φ/∂y и ∂φ/∂z проводятся аналогично. В результате находим:

9.5Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности, – поверхности, во всех точках которых потенциал φ одинаков.

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними поверхностями были одинаковы. В этом случае, густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках: там, где эти поверхности расположены гуще, |E| больше.

На рисунке пунктиром изображены силовые линии, а сплошными линиями – эквипотенциальных поверхностей для: (а) положительного точечного заряда, (б) диполя, (в) 2-х одноименных зарядов, (г) заряженного проводника сложной конфигурации.

Можно показать, что для произвольного электростатического поля:

(a)вектор E эквипотенциальным поверхностям;

(b)вектор E направлен в сторону убывания потенциала.