Король А. В. / Лекции Король А. В. / Лекция 8
.pdf
Лекция 8 Основы электростатики
Электростатика изучает взаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянного (во времени) электрического поля.
8.1Электрический заряд
Электрический заряд – внутреннее свойство тел, характеризующее их способность к электромагнитному взаимодействию.
Единица заряда в СИ – Кулон (Кл).
Фундаментальные свойства электрического заряда:
•Эл. заряд бывает двух видов: положительный и отрицательный.
•Эл. заряд инвариантен, – его величина не зависит от системы отсчета, т.е. от того, движется заряд или покоится.
•Эл. заряд дискретен, т.е. заряд любого тела кратен элементарному заряду е = 1.6 × 10−19 Кл.
Электрон и протон – носители элементарных отрицательного и положительного зарядов, соответственно.
•Закон сохранения электрического заряда:
алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы (т.е., не обменивающейся зарядами с внешним миром) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.
8.2Электрическое поле
Взаимодействие между электрическими зарядами осуществляется через силовое поле.
• Всякий электрический заряд q изменяет свойства окружающего пространства – создает
электрическое поле.
Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, т.н. "пробный" , заряд испытывает действие силы.
• Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный заряд q, может быть представлена как
F = q E. |
(8.1) |
Вектор E называют напряженностью электрического поля в данной точке.
Из формулы (8.1) следует, что единица напряженности электрического поля – Ньютон на Кулон. 1 Н/Кл – напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н. Далее в лекциях будет показано, что 1 Н/Кл = 1 В/м, где В (вольт) единица потенциала электрического поля.
• Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд q′. "Пробный" – это такой заряд, который не искажает
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 8 |
56 |
исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Согласно соотношению (8.1), на пробный заряд действует сила F, которая может быть различной в разных точках поля, но которая пропорциональна величине заряда q′. Поэтому отношение F/q′ не зависит от q′ и характеризует электрическое поле в той точке, где пробный заряд находится.
•Электрическое поле является одной из форм существования материи, посредством которого осуществляются электрическое взаимодействия между частицами вещества.
•Электрические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами называются электростатическими.
8.3Электрическое поле точечного заряда. Закон Кулона
Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других тел, с которыми он взаимодействует.
• Из опыта следует, что напряженность электростатического поля, создаваемого неподвижным точечным зарядом q в вакууме (т.е. в отсутствии других материальных тел) в точке с радиус-вектором r можно представить как
E = k |
q r |
= k |
q |
n, |
(8.2) |
|
r3 |
r2 |
|||||
|
|
|
Q |
|||
|
|
|
|
|
где n = r/r - единичный вектор в направлении радиус-вектора r.
Направление вектора E: если q > 0, то E ↑↑ r, n; если q > 0, то E ↑↓ r, n.
R
N=R/R
• В системе СИ: |
k = |
1 |
= 9 × 109 м/Ф, |
(8.3) |
4πε0 |
ε0 называется электрической постоянной: ε0 = 8, 85 × 10−12 Кл2/(Н·м2).
Кл2/(Н·м2) = Ф/м, где фарад (Ф) – единица электрической емкости (см. далее в лекциях).
• Из (8.1) и (8.2) следует закон Кулона:
сила электростатического взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами q1 и q2, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Пусть r обозначает радиус-вектор заряда q2 по отношению к q1. В точке нахождения заряда q2 первый заряд создает поле, напряженность E которого определяется выражением (8.2). Согласно соотношению (8.1), сила F21, с которой q1 действует на q2, запишется как произведение q2 на E. В результате, получаем
F21 |
= k |
q1q2 |
|
r |
= k |
q1q2 |
n. |
(8.4) |
|
r2 |
r |
r2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
Q2
R
Q1
Cила F12, с которой второй заряд действует на первый, равна F12 = −F21, в соответствие с третьим законом Ньютона.
• Oдноименные заряды отталкиваются, заряды противоположного знака – притягиваются:
|
(a) q1q2<0 |
|
(b) q1q2>0 |
|||||
q1 |
q2 |
q1 |
q2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F12 |
F21 |
F12 |
F21 |
Выражения, написанные выше справедливы для зарядов в вакууме. В диэлекрической среде надо произвести замену 4πε0 → 4πε0ε, где ε – диэлектрическая проницаемость среды.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 8 |
57 |
8.4Принцип суперпозиции электростатических полей
Опыт показывает, что для электростатического поля справедлив принцип суперпозиции:
напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
• Например, напряженность поля, создаваемого совокупностью неподвижных точечных зарядов q1, q2, . . ., qN , вычисляется следующим образом:
X |
|
X |
|
Xj |
|
|
||
E = N |
Ej = k |
N |
qj rj |
= k |
N |
qj |
nj, |
(8.5) |
|
r3 |
|
r2 |
|||||
j=1 |
|
j=1 |
j |
|
=1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
rj – расстояние между зарядом qj и точкой наблюдения (точка A на рисунке), rj – радиус-вектор точки наблюдения по отношению к qj, nj = rj/rj – единичный вектор в направлении от qj к A.
A
RJ
Q
2 ... NJ=RJ/RJ
QJ |
...
Q1 |
Q |
N |
|
|
•Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля, создаваемые системой любых (а не только точечных) неподвижных зарядов.
•Во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они непрерывно "размазаны" в пространтсве.
•При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов – объемной ρ, поверхностной σ или линейной λ:
ρ = |
dq |
, |
σ = |
dq |
, |
λ = |
dq |
, |
dV |
|
dl |
||||||
|
|
dS |
|
|
|
|||
где dq – заряд (точечный!), заключенный в бесконечно-малом элементе объема dV (для объемного тела), на б/м элементе поверхности dS (для двухмерного объекта, напр., плоскости), на б/м длине dl (для одномерного объекта, например, нити).
• Пример: принцип суперпозиции в применении к заряду, распределенному по объему V . |
||
Разбиваем V на б/м элементы dV . Каждый dV содержит б/м заряд dq = ρdV , |
|
|
который создает электрическое поле с напряженностью dE = k ρdV r/r3, где |
A |
|
r– радиус-вектор точки наблюдения, проведенный из dV . Напряженность |
R |
|
|
||
поля, создаваемого всеми dq, находится суммированием всех dE: |
DV |
|
|
||
ρr |
|
V |
E = k ZV r3 dV |
где интегрирование производится по объему V . |
|
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 8 |
58 |
8.5Электрическое поле диполя
В качестве примера, рассмотрим применение принципа суперпозиции (8.5) для нахождения поля электрического диполя.
•Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов +q и −q, расстояние l между которыми много меньше расстояния до точек наблюдения.
•Вектор, направленный по оси диполя от −q к +q называется плечом диполя l.
•Вектор p = ql, сонаправленный с l, называется дипольным моментом.
•Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля ди-
поля в произвольной точке равна
E = E+ + E−, E± = ±k |
q r± |
r±3 |
где E± - напряженности полей, создаваемых, соответственно, зарядами ±q в точке наблюдения, имеющей радиус-вектор r± по отношению к ±q.
E+
|
α |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E- |
|
E- E+ |
|
|
|
L |
|
Q- |
|
O |
Q+ |
B |
Найдем E в двух точках: (1) на продолжении оси диполя, точка B, (2) на серединном перпендикуляре к оси, точка A. На рисунке точка O обозначает центр диполя.
1. Поле на оси диполя.
Напряженность поля в точке B направлена по оси диполя и по модулю равна E = E+ − E−. Обозначив через r расстояние от B до O и используя формулу (8.2), получаем
E = k |
q |
− |
q |
|
= k |
q |
|
1 |
− |
1 |
x=l/2r 1 |
≈ k |
4p |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(r − l/2)2 |
(r + l/2)2 |
r2 |
(1 − x)2 |
(1 + x)2 |
r3 |
Вточке B вектора E сонаправлен с дипольным моментом p.
2.Поле на серединном перпендикуляре. Точка A равноудалена от зарядов, поэтому
E− = E+ ≈ k |
q |
где r′ - расстояние от A до O. |
||||||
|
, |
|||||||
r′2 |
||||||||
Для величины результирующего поля E получаем (см. рисунок) |
||||||||
E = 2E+ sin α = 2E+ |
|
l/2 |
≈ k |
p |
||||
|
|
|
|
|||||
p |
|
r′3 |
||||||
r′2 + l2/4 |
||||||||
Направление вектора E в точке A противоположно моменту диполя p.
8.6Геометрическое описание электростатическое поля
Графически электростатическое поля изображают с помощью линий напряженности вектора E (другое название: силовые линии вектора E).
• Силовые линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора E. Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением E.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 8 |
59 |
• Так как в точке пространства вектор E имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются.
• Для поля точечного заряда:
линии напряженности – радиальные лучи, выходя-
+ |
- |
щие из заряда, если он q > 0, и входящие в него, |
|
если q < 0. |
|
• Картина силовых линий поля диполя: Линии начинаются на положительном (красном) заряде и заканчиваются на отрицательном (синем).
• Силовыми линиями однородного поля (т.е., такого, вектор E которого постоянен по величине и направлению) являются прямые, параллельные вектору E. Густота этих линий одинакова во всех точках пространства.
8.7Поток вектора E
Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, их проводят с определенной густотой: "число"линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора E.
• "Число" линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, характеризуется величиной
ЕdS cos α = EndS,
d
где En – проекция вектора E на нормаль n к площадке, α = E, n.
• Величина
dΦE = EdS = EdS cos α = EndS = E · dS |
(8.6) |
есть элементарный поток вектора напряженности через б/м площадку dS.
В (8.6) dS = n dS – вектор, модуль которого = dS, а направление совпадает с n.
• Поток вектора E через произвольную поверхность S равен сумме потоков через
все элементарные площадки dS этой поверхности:
Z Z
ΦE = E · dS = En dS .
SS
Значок S у интеграла указывает на то, что интегрирование производится по поверхности.
• Поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность S вычисляется анало-
гично. В этом случае, формальная запись выглядит следующим образом:
I I
ΦE = E · dS = En dS .
SH S
Обозначение S указывает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности.
• Единица потока вектора напряженности электростатического поля: [ΦE] = В·м (где В=Вольт, единица эл. потенциала).
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 8 |
60 |
8.8Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
В некоторых случаях вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции можно упростить, используя теорему Гаусса1, связывающую поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность с электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности.
• Для иллюстрации вывода теоремы Гаусса, найдем поток вектора E |
|
|||||||||
поля точечного заряда q > 0 (см. уравнение (8.2)) через сфериче- |
E |
|||||||||
скую поверхность S радиуса R: |
|
|
|
|
||||||
|
IS E |
|
|
q |
|
dS |
|
|
|
Σ |
ΦE = |
· dS = |
4πε0 IS r ·r3 |
|
|
|
+Q |
||||
|
q |
RdS |
т.к. r |
|
q |
1 |
S dS = |
q |
|
|
= |
4πε0 |
S R3 |
|
↑↑ |
dS = 4πε0 R2 |
ε0 . |
S |
|||
|
|
I |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=4πR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {z } |
|
|
•Можно показать, что
(a)равенство ΦE = q/ε0 справедливо для любой замкнутой поверхности Σ, охватывающей точечный заряд.
(b)если заряд находится вне замкнутой поверхности Σ, то ΦE = 0.
= для любой замкнутой поверхности Σ справедливо:
ΦE = IΣ E · dS = ( |
|
q |
если заряд q лежит внутри Σ |
||
|
|
|
|||
ε |
0 |
||||
если заряд q лежит вне Σ |
|||||
0 |
|||||
В общем случае произвольного распределения заряда и произвольной поверхности S справедлива теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме:
поток вектора E сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0:
I |
X |
|
(8.7) |
E · dS = 1 n |
qj . |
Sε0 j=1
•Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностью ρ = dq/dV , то теорема
Гаусса приобретает вид:
I Z
E · dS = 1 ρdV ,
S ε0 V
R
где интегрирование V производится по объему, заключенному внутри S.
1Карл Гаусс (Carl Gauss), 1777-1855, Германия
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 8 |
61 |
8.9Применение теоремы Гаусса к расчету эл/статических полей
8.9.1Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Пусть бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью σ (для определенности полагаем σ > 0). На бесконечно-малый элемент поверхности dS приходится заряд dq = σdS.
•Из соображений симметрии, заключаем, что силовые линии электростатического поля, созданного однородно-заряженной плоскостью перпендикулярны к ней заряженной плоскости и направлены от нее в обе стороны.
•Другое вывод, который можно сделать из соображений симметрии, заключается в том, что величина E напряженности поля одинакова во всех точках, равноудаленных от плоскости.
•В качестве замкнутой поверхности примем поверхность цилиндра,
образующие которого заряженной плоскости, а два параллельных ей основания ей лежат по разные стороны от плоскости.
• Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен
сумме потоков сквозь его основания: ΦE = 2ES.
• Используя теорему Гаусса и учитывая, что заряд внутри цилиндра равен σS, находим:
E = |
σ |
. |
(8.8) |
|
|||
|
2ε0 |
|
|
• Таким образом, в любом из полу-пространств (слева и справа от заряженной плоскости) электрическое поле – однородно: вектор E одинаков по величине и направлению.
Направления векторов E слева и справа от заряженной плоскости – противоположны.
8.9.2Поле равномерно заряженной сферической поверхности
Пусть сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q > 0 заряжена равномерно с поверхностной плотностью σ = q/4πR2.
• Поскольку система зарядов и, следовательно, само поле сферически-симметрично относительно центра сферы, то линии напряженности направлены радиально. Применяя теорему
Гаусса получаем2
8
|
< |
1 q |
если r > R |
||
E = |
|
|
|
||
4πε0 r2 |
|||||
|
: |
|
|
|
|
0если r < R
Следовательно, вне заряженной сферы электрическое поле такое же, как и поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы.
2Детали вычислений см. в Задаче №5 из практического занятия по теме "Электростатическое поле в вакууме. Закон Кулона."
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 8 |
62 |
8.9.3Поле объемно заряженного шара
Пусть заряд q > 0 равномерно распределен по объему шара радиуса R с объемной плотностью ρ = q/V где V = 4πR3/3 – объем шара.
• Как и в случае заряженной сферы (см. §8.9.2), поле сферически-симметрично относительно центра сферы и его линии напряженности направлены радиально.
Вычисления, основанные на использовании теоремы Гаусса, приводят к следующему результату3 для напряженности электрического поля как функции расстояния от центра:
E = q |
> |
|
|
если r > R |
|
|
|
||||
8 r12 |
|||||
|
|
< |
|
|
|
|
4πε0 |
× > |
r |
(8.9) |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
> |
R3 |
если r < R |
|
Вне шара поле совпадает с полем точечного заряда q, помещенного в центре. Внутри шара напряженность поля растет линейно с расстоянием от центра.
8.9.4Поле равномерно заряженной бесконечной нити.
Пусть бесконечная прямая нить (толщина которой пренебрежимо мала) заряжена равномерно с линейной плотностью λ > 0.
Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам окружностей с центрами на нити и перпендикулярных к ней.
Испольуя теорему Гаусса получаем зависимость величины напряженности электрического поля от расстояния до нити4
E =
1 λ
2πε0 r
Литература: Т. И. Трофимова. "Курс Физики’, §§ 77-82.
3Детали вычислений см. в Задаче №6 из того же практического занятия. 4Детали вычислений см. в Задаче №7 из того же практического занятия.