Король А. В. / Лекции Король А. В. / Лекция 2
.pdf
Лекция 2
Динамика материальной точки
2.1Законы Ньютона
В основе нерелятивистской классической механики лежат три закона Ньютона (сформулированы в 1687 г.), которые являются обобщением результатов человеческого опыта.
2.1.1I-й закон Ньютона. Сила. Масса.
Материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.
Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью.
Поэтому первый закон Ньютона законом инерции.
Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета – таких, относительно которых тело, не подверженное воздействию других тел, движется равномерно и прямолинейно.
Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Для описания инерционных свойств тел вводится понятие массы.
Масса – одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса, mi) и гравитационные (гравитационная масса, mg) свойства.
Принцип эквивалентности: mi mg = m. В СИ: [m] = кг.
Плотность: = mV .
2.1.2Сила
Сила (обозначение: F) – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и/или размеры.
Механическое взаимодействие может осуществляться:
между непосредственно контактирующими телами (напр., тре ие).
между удаленными телами (т.н. полевое взаимодействие).
А.В. Король. "Механика". Лекция 2 |
10 |
Физическое поле: форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие.
Фундаментальные силы (взаимодействия):
(1)гравитационное взаимодействие;
(2)электромагнитное взаимодействие;
(3)сильное взаимодействие;
(4)слабое взаимодействие.
(В современной науке: стандартная модель – объединение электромагнитное, сильного и слабого взаимодействий в одно. Нерешенная проблема: объединение всех четырех взаимодействий в одно.)
Все встречающиеся в Природе силы обуславливаются фундаментальными взаимодействиями. (Примеры: сила тяжести, сила упругости, сила трения, . . . ).
Свойства и характеристики сил:
Сила F полностью определена, если указаны ее модуль F , направление и точка приложения.
Центральной называется сила, которая всюду направлена вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку – центр сил, и величина которой зависит только от расстояния до центра сил.
Примеры: гравитационная сила (закон всемирного тяготения),
Одновременное действие на материальную точку нескольких сил F1, F2, . . . эквивалентно действию одной силы F = F1 + F2 + : : :, называемой равнодействующей.
Единица измерения: [F ] = Ньютон (Н).
1 Н – сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2.
2.1.3II-й закон Ньютона.
II-й закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – устанавливает, как изменяется движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.
Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), |
|
F |
|
||
пропорционально вызывающей его силе F, совпадает с нею |
|
=) F = ma : |
|||
|
|
|
|||
a = m |
|||||
по направлению и обратно пропорционально массе m тела: |
|||||
|
|
|
|
||
Сформулированный таким образом, II-й закон Ньютона справедлив только для движения тела постоянной массы, m = const.
Более общая формулировка, позволяющая рассматривать движение тела переменной мас-
А.В. Король. "Механика". Лекция 2 |
11 |
сы (пример: реактивное движение), использует понятие импульса тела.
Векторная величина p, равная произведению массы m тела (материальной точки) на его скорость v, и имеющая направление называется импульсом, или количеством движения, этого тела.
II-й закон Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки (тела) равна действующей на нее силе:
Если масса тела постоянна, то обе формулировки эквивалентны. Действительно, для m = const имеем:
F = |
dp |
= |
d(mv) |
= m |
dv |
= ma : |
|
dt |
dt |
dt |
|||||
|
|
|
|
II закон Ньютона справедлив во всех инерциальных СО!
p = mv; p "" v :
II-й закон Ньютона (= основной закон динамики материальной точки) выражает принцип причинности в классической механике: зная положение (координаты) и скорость тела в начальный момент времени t = t0, а также все силы, действующие на тело в процессе движения, можно однозначным образом определить координаты и скорости тела во все последующие моменты времени t = t0.
Следствия из II-го закона Ньютона:
Бесконечно малое (б/м) изменение импульса dp, совершаемое за б/м интервал времени dt, равно векторной величине Fdt, называемой элементарным импульсом силы:1
dp = F dt
Изменение импульса тела за конечный интервал времени ∆t = t2 t1 равно импульсу действующей на нее силы:
p2 |
p1 ∆p |
= |
∫t1t2 F dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
изменение импульса тела |
|
||||||||||
|
| |
|
{z |
|
} |
||||||
|
|
|
|||||||||
| |
|
|
{z |
} |
|
импульс силы |
|||||
1"Элементарный" = происходящий за б/м интервал времени dt.
А.В. Король. "Механика". Лекция 2 |
12 |
Справедлив принцип независимости действия сил:
если на тело (материальную точку) действует одновременно несколько сил, F1; F2; : : :, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно II з.Н. Ньютона, как будто других сил не было.
Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых может приводить к существенному упрощению решения задач.
Например, нормальное и тангенциальное ускорения определяются соответствующими компонентами силы:
|
F |
= a = a + an |
=) F = F + Fn; |
||||
|
|
|
|||||
|
m |
||||||
> |
|
|
|
dv |
|||
|
|
|
|
2 |
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
8 F = ma ; F = ma = m dt |
|||||||
> |
|
|
|
v |
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
: Fn = man; Fn = man = m R
|
Fτ |
|
v |
F |
|
n |
F |
|
2.1.4III-й закон Ньютона
III закон Ньютона говорит о характере взаимодействия между материальными точками (телами):
всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:
F12 = F21
Здесь:
F12 – сила со стороны 2-го тела на 1-е; F21 – сила со стороны 1-го тела на 2-е.
Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек, поскольку позволяет свести любое взаимодействие к силам парного взаимодействия между материальными точками.
2.2Закон сохранения импульса.
Рассмотрим некоторую систему тел, состоящую из N материальных точек.
Используем индекс j = 1; : : : ; N для нумерации метериальных точек. Тогда, масса, скорость и импульс j-й материальной точки равны, соответственно, mj, vj и pj = mjvj.
Все силы, действущие на элементы системы (= материальные точки), можно разделить
А.В. Король. "Механика". Лекция 2 |
13 |
на две группы:
(1)внешние силы, действующие на элементы системы со стороны тел, не принадлежащих системе;
(2)внутренние силы, действующие между элементами системы.
Механическая система называется изолированной (другое название, замкнутой), если сумма всех внешних сил равна нулю, F = 0.
Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы есть величина постоянная, не изменяющаяся во времени:
∑N
p = mjvj = const:
j=1
З.С.И. носит универсальный характер: он справедлив как для классических так и квантовых систем.
З.С.И. – фундаментальный закон природы, являющийся следствием однородности пространства.
Однородность пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются (иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета).
2.3Закон движения цетра масс
В нерелятивистской механике (v c) масса движущегося объекта не зависит от его скорости.
Как следствие, импульс системы может быть выражен через скорость её центра масс.
Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка C, положение которой характеризует распределение массы этой системы.
Радиус-вектор RC центра масс системы вычисляется следующим образом:
|
|
|
|
|
rj и mj – радиус-вектор j-й мат. |
|
|
|
N |
|
точки системы, |
|
m1r1 + m2r2 + : : : + mN rN |
|
j=1 mjrj |
|
N число мат. точек в системе, |
RC = |
m1 + m2 + : : : mN |
∑ M |
; |
M –= m1 + m2 + : : : + mN – масса |
|
|
|
|
|
|
всей системы. |
|
|
dRC |
|
d |
|
∑ |
N |
|
∑ |
N |
|
PC |
|
Скорость центра масс системы: |
VC = |
= |
|
j=1 mjrj |
= |
j=1 mjvj |
= |
: |
|||||
dt |
dt |
|
M |
M |
M |
А.В. Король. "Механика". Лекция 2 |
14 |
|
∑j |
|
N |
Импульс системы: PC = |
mjvj = MVC : |
|
=1 |
т.е., импульс системы равен произведению ее массы на скорость ее центра масс.
Закон движения центра масс: центр масс системы движет- |
|
|
|
ся как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей |
M |
dVC |
= F |
системы и на которую действует сила, равная геометрической сум- |
|
||
dt |
|||
ме F всех внешних сил, действующих на систему. |
|
|
|
Центр масс тела двигается под действием равнодействующей внешних сил.
Комбинируя этот закон с законом сохранения импульса получаем, что центр масс замкнутой системы (F = 0 !) либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.
2.4Реактивное движение
Реактивное движение тела возникает при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела.
При этом возникает реактивная сила, ускоряющая тело.
Пример: движение ракеты, масса которой уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива.
Пусть в какой-то момент времени t масса ракеты равна M, а ее скорость v. За бесконечно малый интервал времени dt скорость ракеты изменится на величину dv за счет выброса газов массы dM, вылетевшей со скоростью u относительно ракеты. При этом масса самой ракеты станет равной M dM.
Используя II-й закон Ньютона для тела переменной массы по- |
|
dv |
|
|
dM |
|
лучаем уравнение движения ракеты ( уравнение движения |
M |
= F |
u |
|||
|
|
|||||
dt |
dt |
|||||
тела переменной массы уравнение Мещерского (1859-1935)): |
|
|
|
|
|
Вуравнении Мещерского:
(1)F – равнодействующая внешних сил. (напр., сил гравитации, сил сопротивления атмосферы, и т.д.)
(2)uddMt = реактивная сила, которая:
А.В. Король. "Механика". Лекция 2 |
15 |
–зависит от скорости сгорания топлива, т.е., от dM=dt,
–зависит от величины и направления скорости вылета газов относительно ракеты:
u "# v =) ракета ускоряется, u "" v =) ракета тормозится.
В отсутствие внешних сил F = 0 =) связь между массой ракеты M и ее скоростью v в какой-то момент времени:
M = M0e v=u – формула Циолковского (1857-1935) (справедлива для v c).
M0 – начальная (стартовая) скорость ракеты (M0 > M, т.к. по мере сгорания топлива масса ракеты уменьшается).
Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости v.
В таблице: отношение начальной массы ракеты M0 к ее конечной массе M
при различных отношениях v к скорости света c.
Данные получены для u = 10 км/с (максимальная скорость истечения газов для двигателей на химическом топливе).
Вывод: Достичь около-световых скоростей с помощью двигателей на химическом топливе – невозможно (нет возможности взять необходимое количество топлива). (Масса Вселенной 1053 кг.)
v=c |
M0=M |
|
|
0.001 |
1:1 1013 |
0.01 |
2:0 10130 |
0.1 |
1:8 101307 |
0.25 |
5:4 103327 |
2.5Основные силы в механике
2.5.1Сила тяжести. Вес.
В системе отсчета связанной с Землей на всякое тело массы m действует сила тяжести mg – сила, с которой тело притягивается к Земле.
Под действием силы тяжести (= сила притяжения к Земле), все тела падают с одинаковым ускорением g 9:8 м/c2, называемым ускорением свободного падения.
Вec (обозначаем P) – сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или натягивает нить подвеса.
P = mg только в том случае, когда ускорение тела относительно Земли равно нулю (см. рис.).
Если ускорение тела a ≠ 0, то вес P = m(g a) (см. рис.).
А.В. Король. "Механика". Лекция 2 |
16 |
A=0 |
A |
|
|
|
|
A |
На рисунке: N – сила реакции опроры. |
|
|
|
|
N |
N |
N |
Обратите внимание на знак перед |
|
|
|
|
|
|
|
a в выражениях для P . |
MG |
MG |
MG |
|
P = |N|= MG |
P = |N|= M(G+A) |
P = |N|= M(G-A) |
|
Если ускорение тела a = g, то P = 0 – состояние невесомости, в котором тело двигается только под действием силы тяжести.
Сила реакции опоры при этом отсутствует, N = 0.
A=G
N=0
MG
P = |N|= 0
2.5.2Сила упругости
Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией.
Сила упругости (= упругая сила):
пропорциональна смещению частицы из положения равновесия,
направлена к положению равновесия.
Пример: сила упругости деформации пружины
при растяжении или сжатии:
F = k(x x0)
k - жесткость пружины.
F = kr;
r – смещение из положения равновесия;
k – коэффициент упругости:
А.В. Король. "Механика". Лекция 2 |
17 |
2.5.3Сила трения скольжения и сила трения покоя
Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого:
v Fтр = N v ;
направление силы: Fтр "# v; величина силы: jFтрj Fтр = N:
– коэффициент трения скольжения (безразмерен); v – скорость тела;
N – сила реакции опоры (=сила нормального давления).
Если приложенная к телу горизонтальная сила F по модулю меньше N, то тело – покоится. При этом сила F компенсируется силой трения покоя (см. рис.):
Fтр = F; при F < N:
N |
N |
F |
F |
FTP |
FTP |
MG |
MG |
F < N {V=0
FTP = F
F > N {V≠0
FTP = N
2.5.4Сила трения качения.
Сила трения качения возникает при качении данного тела по поверхности другого:
|
кN v |
|||
Fтр = |
|
|
|
; |
R |
|
|||
|
|
v |
||
=) Fтр "# v; Fтр = кN:
к – коэффициент трения качения; размерность:[ к] = м;
R – радиус катящегося тела.
Причина, вызывающая трение качения: деформация поверхности и тела качения.
Литература: Т. И. Трофимова. "Курс Физики’, §§ 5-10.