Добавил:

Syrupotkashlya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

Лекция 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2023

Размер:

286.39 Кб

Скачать

☆

Лекция 1

Механика изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механическое движение - изменение взаимного расположения тел с течением времени.

1.1Механика и ее структура. Модели в механике.

Классическая механика изучает

Квантовая механика изучает дви-

движение макроскопических тел.

жение микроскопических тел (отдель-

частицы).

ные атомы и элементарные

Макроскопических

тело (макроте-

Для них законы классической механи-

ло)

–

тело, состоящее

из "большо-

ки неприменимы.

го N 1, числа атомов/молекул.

Пример 1: ∆x∆px h =) нет траекто-

Пример: "песчинка"(V

1 мм3) содер-

жит

1020 атомов =

рии (

h = 6:6

10 34

Дж с - постоянная

макротело!

)

Планка, - мировая постоянная).

Пример 2: дуализм волна-частица.

Нерелятивистская

механика:

применима к движению со скоростями

Релятивистская механика (тео-

скорости света в вакууме:

v c 3 108м/с:

рия относительности): применима к

движению со скоростями v c (спра-

(c - скорость света в вакууме, -

ведлива, также, в пределе v c).

мировая постоянная.)

1.1.1Разделы классической механики

Кинематика: описание движения тел без рассматрения причин его обусловлавливающих.

Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют движение.

Статика изучает законы равновесия системы тел.

1.1.2Физические модели

Часто для описания движения тел в зависимости от конкретных условий используются упрощенные физические модели.

Материальная точка: тело, форма и размер (но не масса!) которого несущественны в условиях данной задачи.

(Пример: a L, a - характерный размер тела, L - характерный размер области пространства, в котором происходит движение.)

А.В. Король. "Механика". Лекция 1

Обобщение: система материальных точек.

Абсолютно твердое тело (АТТ): тело, деформацией которого в данных условиях задачи пренебречь ( расстояние между любыми двумя точками этого тела остается постоянным).

Любое движение АТТ можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений.

Поступательное движение: движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

Вращательное движение: движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

1.2Основные понятия кинематики материальной точки

1.2.1Система отсчета. Траектория, путь, перемещение.

Движение материальной точки происходит в пространстве и во времени.

=) для описания движения надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.

Тело отсчета: произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение других тел.

Система отсчета: совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета.

Декартовая система координат

Часто используемая система координат - прямоугольная декартовая система координат, которая задается тремя единичными взаимно-ортогональными векторами ( ортами) i; j; k, проведенными из начала координат:1

{

jij = jjj = jkj = 1	- единичная длина
i j = i k = j k = 0	- ортогональность

Положение произвольной точки M пространства характеризуется радиус-вектором r, проведенным из начала координат O в точку M:

r = xi + yj + zk;			(1.1)
Длина радиус-вектора равна
r jrj = √		:	(1.2)
	x2 + y2 + z2

M (X,Y,Z)

k	Z Y
i	j
i	X
	Y

1В лекциях векторы обозначаются жирными буквами!

v = ∆r

∆t

А.В. Король. "Механика". Лекция 1

Кинематические уравнения движение

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. Движение является полностью определенным, если известны зависимости координат точки от времени:

x = x(t); y = y(t); z = z(t) :

(1.3)

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. Они эквивалентны одному векторному уравнению движения точки: r = r(t).

Траектория, путь, перемещение.

Линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом) относительно выбранной системы отсчета называется траекторией. Уравнение траектории можно получить, исключив t из уравнений (1.3).

В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Длиной пути ( путем), пройденного материальной
точкой за интервал времени ∆t = t t0, называется длина
участка траектории ∆s (путь - скалярная величина !!!).
Перемещение ∆r – вектор, проведенный из начального
положения движущейся точки (r0 = r(t0)) в ее положение
в данный момент времени (r = r(t)):
∆r = r(t) r(t0) = ∆x i + ∆y j + ∆z k	(1.4)
=) перемещение = приращение радиус-вектора за проме-

жуток времени ∆t = t			t0.			и длина перемещения j	j	∆t 0 j	j совпадают:
В пределе ∆	t	! 0 путь d	s	=	∆t 0	и длина перемещения j	j	∆t 0 j	j совпадают:
	t		s		lim ∆s		dr	= lim	∆r
					!			!
					!			!

ds = jdrj :

1.2.2Скорость

Скорость = векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Вектором средней скорости за интервал времени ∆t называется отношение перемещения ∆r к ∆t:

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением ∆r:

v "" ∆r :

Единица скорости - м/с.

Мгновенная скорость v – скорость в данный момент времени. Она определяется как предел v при ∆t ! 0:

v = ∆t 0		∆t 0	∆t		dt	(1.5)
lim	v	= lim	∆r	=	dr
lim	v	= lim		=
!		!

А.В. Король. "Механика". Лекция 1

=) мгновенная скорость равна первой производной по времени от радиуса-вектора r рассматриваемой точки.

Компоненты мгновенной скорости. Вспоминая ур-ие (1.1), получаем:2

v =

d(xi + yj + zk)

i +

j +

(1.6)

dt dt

vx =

= v = vx i + vy j + vz k где

> vy =

– компоненты скорости :

(1.7)

)

> vz = dt

Компоненты мгновенной скорости = проекции вектора v на координатные оси X; Y; Z.


Связь компонент скорости с её величиной (модулем): v =		v2	+ v2	+ vz.
Свойства мгновенной скорости:	√ x		y

Вектор v направлен по касательной к траектории.

Если вектор v не изменяет направления =) прямолинейное движение.

Величина (модуль) мгновенной скорости = производной пути по времени:

j	j	!	=∆s	!
			z}\|{
v =	v	= lim	j∆rj	= lim	∆s	=	ds	(1.8)
			∆t		∆t		dt
		∆t 0		∆t 0

Из этого соотношения следует, что бесконечно малый участок пути ds равен ds = vdt).

Путь s, пройденный за промежуток времени от t1 до t2:

∫ t2

s =

v(t)dt

(1.9)

Геометрическая интерпретация: путь равен площади под кривой v = v(t) в интервале от t = t1 до t = t2:

1.2.3Равномерное и неравномерное движение

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется, v ≠ const.

2i; j; k – постоянные векторы!

А.В. Король. "Механика". Лекция 1

Можно ввести скалярную величину v – среднюю скорость неравномерного движения

(другое название: средняя путевая скорость) за промежуток времени от t1 до t2:

v =	s	;	где ∆t = t2 t1, а s – пройденный путь, см. ф. (1.9):
	∆t

При равномерном движении величина мгновенной скорости постоянна, v = const.

∫ t2 ∫ t2

Следовательно: s = vdt = v dt = v ∆t :

t1 t1

Если величина мгновенной скорости v возрастает =) ускоренное движение.

Если v убывает =) замедленное движение.

Ниже в лекциях, если не оговорено особо, термин ’скорость’ обозначает ’мгновенную скорость’.

1.2.4Ускорение

Ускорение = векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Единица измерения ускорения = м/с2.

Среднее ускорение a – векторная величина, равная отношению	a =	∆v
изменения скорости ∆v = v(t2) v(t1) к интервалу времени ∆t = t2 t1:	a =	∆t

Мгновенное ускорение материальной точки – векторная величина, равная первой производной по времени скорости рассматриваемой точки (второй производной по времени от радиуса-вектора этой же точки):

			a = lim		∆v	=	dv	1-я производная скорости;
					∆t		dt
			∆t!0
т. к.	v =	dr	=) a =	d2r	2-я производная радиус-вектора:
		dt		dt2

Ниже в лекциях, если не оговорено особо, термин ’ускорение’ обозначает ’мгновенное ускорение’.

Компоненты ускорения.

8 ax =

d2x

d2t2

a = a

i + a

j + a

dvy

где

> ay =

– компоненты ускорения

(1.10)

d z

> az =

dtz

= dt2

Компоненты ускорения =

проекции вектора a на координатные оси X; Y; Z.

Связь компонент ускорения с его величиной (модулем): a = √

ax2 + ay2 + az

Нормальное и тангенциальное ускорения.

Скорость материальной точки можно записать в виде:

v = v nv;

А.В. Король. "Механика". Лекция 1

где v – величина скорости, а nv = v=v – единичный вектор в направлении скорости, т.е. nv "" v и jnvj = 1.

Тогда для ускорения получаем:

a =

dnv

(1.11)

}

{z }

тангенциальное

нормальное

ускорение

Тангенциальное ускорение (другое название: касательное ускорение) учитывает изменение скорости по величине.

Свойства тангенциального ускорения:

nv направлено вдоль вектора nv, т.е. по

aτ

a =

касательной к траектории;

a "" v если

> 0 (ускоренное движение);

a "# v если

< 0 (замедленное движение);

a = 0 если

= 0 (равномерное движение).

Тангенциальное, нормальное и пол-

ное ускорения.

Нормальное ускорение (другое название: центростремительное ускорение) учитывает изменение скорости по направлению.

Свойства нормального ускорения:

an = v ddntv (можно показать, что) направлено к центру кривизны траектории;

величина нормального ускорения равна an = v2 , где R – радиус кривизны тра-

ектории (обратная величина, 1=R, называется кривизной траектории).

an = 0 для прямолинейного движения (для прямой линии R = 1 =) 1=R = 0).

Полное ускорения: a = a + an.

Т.к. a ? an, то величина полного ускорения равна a = a 2 + an2.

Зная полное ускорение, можно определить скорость точки и ее положение (радиус вектор):

a =	dv	=) v(t) = ∫	a(t)dt;	v =	dr	=) r(t) = ∫	v(t)dt:	(1.12)

	dt				dt

1.2.5Некоторые виды движения

an = a = 0 – прямолинейное равномерное движение: a = 0, v = const.

А.В. Король. "Механика". Лекция 1

an = 0, a = a = const – прямолинейное равноускоренное движение. Направив ось x вдоль a (=) a = ai ), находим

a =	dv	=) v = ∫	adt = v0 + at;	v =	dx	=) x = ∫	vdt = x0 + v0t +	at2
	dt				dt			2

где v0 и x0 обозначают скорость и координату в начальный момент времени (t = 0).

an = const = v2 , a = 0 – равномерное (v = const) движение по окружности.

an ≠ 0, a ≠ 0 – общий случай криволинейного движения.

1.3Кинематика вращательного движения

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Отдельные точки тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения.

Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R.

Описывать движение точки в плоскости (XY ) удобно введя

полярные координаты R и ϕ:

x = R cos ϕ	=)	r = R(cos ϕ i + sin ϕ j) :
{ y = R sin ϕ

При движении угол поворота ϕ изменяется =) r = r(t).

J Rφ

I X X

Определяем скорость точки:

Здесь учтено:

т.к. R = const

dϕ

(

)

= 0

= R

sin ϕ i + cos ϕ j

dϕ

> d sin ϕ

где

dϕ

nv =

sin ϕ i + cos ϕ j :

> d cos ϕ

sin ϕ;

Легко проверить: (a) jnvj = 1,

(b) nv r = 0, т.е. nv ? r.

Следовательно, nv - единичный вектор вдоль касательной к окружности.

Итак: v = R

dϕ

nv,

v = R

dϕ

Угловая скорость ! =

показывает, как быстро изменяется угол поворота ϕ.

А.В. Король. "Механика". Лекция 1

Единицы измерения: [!] = рад=с.

При равномерном вращении: ! = const =) ϕ = ! t.

Полный оборот совершается за время T = 2 vR = 2! , называемое периодом вращения.

Частота вращения, = 1=T = !=2 , определяет число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени.

Единица частоты вращения: [ ] = 1/сек = герц (Гц).

При неравномерном вращении: ! = !(t) = const

ϕ(t) = t !(t) dt.

Ускорение при вращении: a = an + a

)

∫0

8 an =

нормальное (центростремительное) ускорение

= !2R

> a

= dv

= Rd!

= Rd

тангенциальное ускорение

d2ϕ

угловое ускорение

Частный случай неравномерного вращения: равноускоренное вращение, = const.

Угловая скорость и угловое ускорение:

= const =) !(t) = ∫	dt = !0 + t; =) ϕ(t) = ∫		t2
		!(t)dt = ϕ0 + !0t +
		!(t)dt = ϕ0 + !0t +	2

где ϕ0 и !0 – угол поворота и угловая скорость в начальный момент времени, t = 0. Пройденный путь:

t2	t2	t2	t2 dϕ
s = ∫t1	vdt = ∫t1	!Rdt = R ∫t1	!dt = R ∫t1		dt = R∆ϕ
				dt

где ∆ϕ – угол поворота за интервал времени ∆t = t2 t1.

Литература: Т. И. Трофимова. "Курс Физики’, §§ 1-4.

Соседние файлы в папке Лекции Король А. В.

#
20.12.20231.1 Mб0Вводное занятие к лабораторным работам.pdf
#
20.12.2023286.39 Кб0Лекция 1.pdf
#
20.12.2023126.25 Кб1Лекция 10.pdf
#
20.12.2023191.74 Кб0Лекция 11.pdf
#
20.12.2023155.59 Кб0Лекция 12.pdf
#
20.12.20231.64 Mб0Лекция 2.pdf
#
20.12.2023250.36 Кб0Лекция 3.pdf