Король А. В. / Лекции Король А. В. / Вводное занятие к лабораторным работам
.pdf
Вводное занятие к лабораторным работам по теме ’Погрешность измерений’
1.1Введение
Измерение физической величины - экспериментальный процесс, в котором устанавливается количественное соответствие между измеряемой величиной и однородной с ней величиной, принятой за единицу.
Виды измерений:
Прямые измерения:
Значение физической величины находится непосредсвенно с помощью измерительного прибора.
Пример: "длина" (линейка), "температура"(градусник).
Косвенные измерения:
Значение физической величины находится по известной зависимости от других величин.
Пример: "объем" V = abc, "плотность" ρ = m/V .
Никакое измерение на может быть абсолютно точным.
Всегда имеется некоторая неопределенность в значении измеряемой величины.
Эта неопределенность характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения величины от ее истинного значения.
Некоторые причины, приводящие к появлению погрешностей.
•Ограниченная точность приборов.
•Влияние на измерение неконтролируемых изменений внешних условий (напр., напряжения в эл. сети, температуры и т.д.)
•Действия экспериментатора (включение секундомера с запаздыванием, различное размещение глаз по отношению к шкале прибора и т.п.).
•Неполное соответствие измеряемого объекта той абстракции, которая принята для измеряемой величины (напр., при измерении V тело считается параллелепипедом, в то время как у него могут быть закругления на ребрах).
•Нестрогость законов, которые используются для нахождения измеряемой величины или лежат в основе устройства прибора.
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
2 |
Можно улучшать точность (совершенствуя приборы, уменьшая влияние внешнего мира и т.д.) но нельзя исключить погрешность полностью.
Основная задача измерения: дать оценку истинного значения измеряемой величины и, поскольку отличие этой оценки от истинного значения неизбежно, необходимо найти количественную оценку этого отклонения – погрешность.
x = x˜ ± ∆x. |
(1.1) |
x˜ – оценка истинного значения, ∆x – (абсолютная) погрешность,
δx ≡ ∆x˜x – относительная погрешность.
Равенство (1.1) имеет вероятностный характер. Оно означает, что с некоторой вероятностью истинное значение x физической величины принадлежит интервалу:
hi
x x˜ − ∆x, x˜ + ∆x |
с вероятностью α. |
(1.2) |
hi
x˜ − ∆x, x˜ + ∆x – доверительный интервал, α – доверительная вероятность.
Цель/задача: научиться находить x˜ и ∆x.
1.2Вероятность (на примере игрального кубика)
Вероятность pi появления числа ”i” (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) равна 1/6: |
|
|||||||
pi = |
1 |
, |
|
i = 1 . . . 6. |
(1.3) |
|||
|
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• "априорная вероятность" некоторого события pсоб есть |
|
|||||||
pсоб = |
|
Nсоб |
, |
|
(1.4) |
|||
|
Nисх |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• как "измерить"вероятность: |
|
|||||||
pсоб = |
|
lim |
|
Nсоб |
, |
(1.5) |
||
|
|
N |
||||||
|
|
|
N→∞ |
|
|
|
||
N – число опытов. |
|
|
||||||
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
3 |
Некоторые свойства вероятности
•Абсолютно достоверное событие: pсоб = 1.
•Абсолютно недостоверное событие: pсоб = 0.
•Для произвольного события: 0 ≤ pсоб ≤ 1.
P
• Нормировка вероятностей: соб pсоб = 1.
P6
На примере кубика: i=1 pi = 1 – что-то да выпадет.
• Пусть pсоб1 и pсоб2 – вероятности событий 1 и 2.
(1) Какова вероятность, что произойдет и 1 и 2? pсоб1,2 = pсоб1pсоб2.
На примере кубика: Какова вероятность того, что при 2-х бросаниях кубика два раза выпадет двойка? p22 = p2p2 = 1/36.
(2) Какова вероятность того, что произойдет или 1 или 2? pсоб1,2 = pсоб1 + pсоб2.
На примере кубика: Какова вероятность того, что при бросании кубика выпадет 2 или 3?
1.3Виды погрешностей
Полная погр. = Приборная погр. + Случайная погр. + систематическая погр. +
промахи.
Промахи и систематические погрешности – "исключаем" .
•Промах – грубая ошибка в измерении.
•Систематические погрешности – такие погрешности, которые соответствуют отклонению измеряемой величины от ее истинного значения всегда в одну сторону - либо в сторону завышения, либо в сторону занижения (напр., при определении массы тела "забываем" о силе Архимеда.)
S
= Полная погрешность = Приборная погрешность Случайная погрешность
Случайные погрешности, ∆xсл, возникают в результате "случайного" (т.е., непредсказуемого) воздействия различных причин/явления на процесс измерения. Отклонения от истинного значения при этом могут быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, причем величина отклонения также может быть различной.
Приборные погрешности, ∆xпр, – связаны с точностью используемого прибора.
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Правило "сложения" в полную погрешность: |
|
|
||||
∆x ≡ ∆xполн = q |
|
|
|
(1.6) |
||
∆xсл2 + ∆xпр2 |
||||||
Приборная погрешность ∆xпр определяется одним из трех способов: |
||||||
• из указаний в инструкции к прибору; |
|
|
||||
• по классу точности γ прибора: |
|
|
||||
∆xпр = |
γXmax |
, |
(1.7) |
|||
|
||||||
100 |
|
|
|
|
|
|
где Xmax – наибольшее значение величины x, которое м.б. измерено прибором.
• ∆xпр = "половине цены деления шкалы".
Определение случайной погрешности ∆xсл основано на использовании теории вероятностей.
1.4 Алгоритм нахождения x˜ и ∆xсл для прямых измерений
Пусть величина x измеряется некоторым прибором, погрешность которого ∆xпр.
1.Производим n-кратное измерение величины x. Результаты измерений, xj (j = 1 . . . n) занесятся в таблицу (см. ниже).
2.Оцениваем истинное значения x˜ как среднее арифметическое:
n=1 xj |
|
x˜ ≡ x = Pjn . |
(1.8) |
3.Случайную погрешность, соответствующую доверительной вероятности α определям определяем следующим образом:
jn=1(xj − x)2 |
|
∆xсл = tα,nsP n(n − 1) |
(1.9) |
|
где tα,n т.н. коэффициент Стьюдента, определяемый по числу опытов n и по довери- |
|||||
|
тельной вероятности α. Значения tα,n даны в таблицах. |
|||||
|
|
|
p |
|
|
|
4. |
Вычисляем полную погрешность ∆x = ∆xсл2 |
+ ∆xпр2 . |
||||
5. |
Определяем доверительный интервал: |
|
|
|||
|
x = |
|
± ∆x. |
(1.10) |
||
|
x |
|||||
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
5 |
1.4.1 Пример представления результатов и проведения расчетов для прямого измерения
Рассмотрим измерение диаметра D маленького "шарика" .
Измерительный прибор – микрометр ( ∆Dпр = 10 мкм = 0.01 мм. 1 микрон (мкм) =10−3 мм).
Так как "шарик" не идеальный, то для определения диаметра разумно проделать несколько измерений. Пусть n = 6. Проведенные измерения дали результаты (в мм): 2.58, 2.57, 2.60, 2.54, 2.55, 2.58.
Таблица: Обработка результатов измерения диаметра
2
№ опыта |
|
Dj , мм |
∆Dj , 10−2мм |
∆Dj , 10−4мм2 |
|
1 |
2.58 |
1 |
|
1 |
|
2 |
2.57 |
0 |
|
0 |
|
3 |
2.60 |
3 |
|
9 |
|
4 |
2.54 |
-3 |
|
9 |
|
5 |
2.55 |
-2 |
|
4 |
|
6 |
2.58 |
1 |
|
1 |
|
|
D |
= 2.57мм |
|
P |
= 24 × 10−4 мм2 |
Порядок действий:
1.Первый столбец – номер опыта, второй столбец – результат измерения диаметра (не забудьте обозначить единицы измерения).
P6
2. Вычисляем D = j=1 Dj .
6
3.Третий столбец: вычисленные значения ∆Dj ≡ Dj − D (вынесение множителя 10−2 сильно упрощает жизнь!!).
4.Четвертый столбец: вычисленные значения (∆Dj )2 (без множителя 10−4, который отнесен к единицам измерения).
5.Вычисляем P ≡ P6j=1(∆Dj )2.
6.Выбираем доверительную вероятность α (преподаватель). Например, α = 0.9.
7.По таблицам (в лаборатории) находим коэффициент Стьюдента tα,n. Для α = 0.9 и n = 6 находим: t0.9,6 = 2.0.
8.Вычисляем случайную погрешность:
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||
∆Dсл = tα,ns |
P |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
||||||||
jn=1(Dj − D)2 |
= t0.9,6 |
|
|
|
= 0.018мм ≈ 0.02 мм. |
|||||||||
n(n |
− |
1) |
|
|
6 |
· |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Вычисляем полную погрешность:
q
∆D = ∆Dсл2 + ∆Dпр2 ≈ 0.025мм.
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
6 |
10. Записываем результат измерения диаметра:
D = D ± ∆D = 2.57 ± 0.025 мм (для α = 0.9).
1.5Приближенные вычисления
Обработка результатов измерений предполагает проведение вычислений с приближенными числами.
Некоторые правила приближенных вычислений.
• Значащие цифры (на примерах).
1.234 |
|
|
– 4 |
значащих цифр |
1.2340 |
× |
5 |
– 5 |
(!) значащих цифр |
0.0001234 = 1.234 |
– 4 |
значащих цифр |
||
|
10−4 |
– 6 |
значащих цифр |
|
123400 = 1.23400 × 10 |
||||
•При сложении и вычитании приближенных чисел следует сохранять в окончательном результате не больше значащих цифр, чем их имеется в наименее достоверном числе:
197.0 + 106.371 = 303.4 |
(правильно), |
197.0 + 106.371 = 303.371 |
(неправильно), |
•При умножении и делении приближенных чисел результат следует округлять до такого числа значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим числом значащих цифр.
12.853 × 3.5 = 45 |
(2 значащих цифры), |
1378 : 0.27 = 5.1 × 103 |
(2 значащих цифры) |
94.3 : 2.358 = 39, 995 = 40.0 |
(3 значащих цифры) |
327 × 23 = 7.5 × 103 (а не 7521)
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
7 |
1.6Косвенные измерения
При косвенных измерениях результат вычисляется по формуле, устанавливающей связь измеряемой величины y с другими величинами, a1, a2, . . . ak, измеренными прямым образом:
y = f(a1, a2, . . . ak). |
(1.11) |
Пример: V = abc (V - косвенно измеряемая величина, a, b, c - прямо измеряемые величины).
Задача косвенного измерения:
• Пусть в результате обработки прямах измерений для всех величин aj (j = 1, 2, . . . k) определены доверительные интервалы:
aj = |
|
j ± ∆aj . |
(1.12) |
a |
• По этим данным требуется определить доверительный интервал для y, т.е.:
y = |
|
± ∆y. |
(1.13) |
y |
1.6.1Вычисление y
Оценка истинного значения величины у производится по формуле
|
= f(˜a1, a˜2, . . . a˜k). |
(1.14) |
y |
1.6.2Вычисление ∆y
•Если в зависимости y = f(a1, a2, . . . ak) преобладают операции сложения и вычитания, то удобно использовать формулу
∆y = s |
∂f |
|
|
2 |
+ |
∂f |
|
|
2 |
+ . . . + |
∂f |
∆ak |
2 |
∆a1 |
|
∆a2 |
|
(1.15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
∂a1 |
|
∂a2 |
|
∂ak |
Частные производные ∂f/∂aj вычисляются при значениях aj = aj .
•Если в зависимости y = f(a1, a2, . . . ak) преобладают операции умножения и деления, то удобней воспользоваться выражением
∆y |
= s |
∂ ln f |
|
|
2 |
+ |
∂ ln f |
|
|
2 |
+ . . . + |
∂ ln f |
∆ak |
2 |
∆a1 |
|
∆a2 |
|
(1.16) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y˜ |
∂a1 |
|
∂a2 |
|
∂ak |
Здесь: ln f – натуральный логарифм функции f. Частные производные ∂ ln f/∂aj вычисляются при значениях aj = aj .
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
8 |
1.6.3Алгоритм нахождения y и ∆y для косвенных измерений
Пусть определяется величина у, зависящая от величин a1, a2, . . . ak, измеряемых прямым образом.
Пусть в результате обработки прямых измерений для всех величин aj (j = 1, 2, . . . k) определены доверительные интервалы:
aj = aj ± ∆aj .
1.Занести в протокол лабораторной работы расчетную формулу y = f(a1, a2, . . . ak) с указанием названий всех аргументов.
2.Вывести расчетную формулу погрешности одним из способов:
|
|
|
|
s |
∂f |
|
2 |
|
|
∂f |
|
|
2 |
|
∂f |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ . . . + |
∆ak |
|
|
|
|||||||||||||
(1) |
∆y |
= |
|
∆a1 |
|
|
∆a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂a1 |
∂a2 |
∂ak |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆y |
|
s |
∂ ln f |
|
|
|
2 |
|
|
∂ ln f |
|
|
|
2 |
|
|
∂ ln f |
|
|
|
2 |
||||
(2) |
= |
∆a1 |
|
|
+ |
∆a2 |
+ . . . + |
∆ak |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y˜ |
∂a1 |
|
∂a2 |
∂ak |
|
|||||||||||||||||||||
и занести полученную формулу в протокол лабораторной работы.
3.Вычислить y = f(a1, a2, . . . ak) и ∆y.
4.Определить доверительный интервал: y = y ± ∆y.
1.6.4Пример обработки результатов измерений
• Объём V цилиндра можно рассчитать по формуле:
|
πD2 |
(1.17) |
||
V = |
|
h |
||
4 |
||||
|
|
|
||
где D – диаметр основания, l – высота цилиндра. Обе эти величины измеряются прямым образом.
• Выведем формулу погрешности косвенного измерения объёма:
|
|
|
= s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆V |
|
∂ ln V |
|
2 |
|
∂ ln V |
|
2 |
|
∂ ln V |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∆π |
|
+ |
∆D |
|
+ |
∆h |
|
(1.18) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂π |
|
∂D |
|
∂h |
|
||||||||
V |
|
|
|
|
|||||||||||||
После вычисления производных, в правую часть формулы надо подствлять средние значения диаметра, высоты и π.
В расчёте π = 3.1415926 . . . всегда имеет приближённое значение, а значит, имеет место ошибка округления ∆π и её следует учитывать. Например:
π → π = 3.14 = ∆π = 0.0016
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
9 |
Чтобы определить относительную погрешность ∆V/V , необходимо сначала прологарифмировать формулу (1.17), а затем вычислить частные производные:
|
|
|
|
ln V = ln π + 2 ln D + ln h − ln 4 |
|
|||||||||||||||||
= |
|
∂ ln V |
|
1 |
|
|
∂ ln V |
|
2 |
|
∂ ln V |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
= |
|
|
, |
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|
= |
|
, |
||||
|
∂π |
|
π |
|
∂D |
D |
|
∂h |
|
|
h |
|||||||||||
Расчётная формула погрешности имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
V |
= s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
π¯ |
|
|
+ |
D¯ |
|
+ |
h¯ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∆V |
|
|
|
∆π |
|
|
2 |
|
2∆D |
2 |
|
∆h |
|
2 |
|
|
|
|
|||
(1.19)
(1.20)
(1.21)
Значение π можно выбрать так, чтобы (∆π/π)2 было существенно меньше остальных слагаемых в этой формуле и им можно было пренебречь. Таким образом, если это сделано:
∆V |
= s |
2∆D |
|
2 |
∆h |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
(1.22) |
|
|
|
|
D¯ |
|
h¯ |
||||||
V |
|
||||||||||
•Пусть измерение длины – прямое измерение стальной рулеткой с миллиметровыми делениями. Приборную погрешность оценим в половину цены деления:
∆lпр = 0.5 мм.
Измерение длины, проведённое тщательно с многократной проверкой, дало 552 мм, причём разброс не обнаружен, т.е. случайной ошибки нет. Запишем результат измерения длины
l = l ± ∆lпр = 552 ± 0.5 мм.
•Измерение диаметра – прямое измерение микрометром с приборной погрешностью
∆Dпр = 0.005 мм.
Многократные измерения диаметра, проведённые в различных местах под различными направлениями, дали следующие результаты (в мм): 2.58, 2.57, 2.60, 2.54, 2.55, 2.58. Наблюдаемый разброс результатов измерений свидетельствует о наличии случайной ошибки, возникновение которой вероятнее всего связано с отличием формы проволоки от идеальной.
Обработка полученных результов производится аналогично тому, как показано в §1.4.1.
Результат измерения диаметра
D = D ± ∆D = 2.57 ± 0.025 мм для α = 0.9.
А.В. Король. "Погрешность измерений" |
10 |
•После того как произведены и обработаны результаты прямых измерений, можно проводить расчёт объёма и его погрешности:
|
V |
|
u |
|
|
|
|
|
|
≈ s |
|
|
|
≈ |
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∆V |
|
u |
0.05 |
|
0.5 |
|
|
0.05 |
0.05 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= v |
2.57 |
+ |
|
552 |
|
|
2.57 |
|
= |
2.57 |
|
0.02 |
(1.23) |
||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
(0.05/2.57)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Расчёт объёма достаточно вести до трёх значащих цифр |
|
|
|||||||||||||||||||||
V = |
|
3.14 × (2.57 мм)2 |
|
|
|
552 |
|
|
286 |
|
10 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
× |
|
|
мм ≈ |
|
× |
|
мм |
|
(1.24) |
|||||
Запишем окончательный результат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
V = (2.86 ± 0.06) × 103 мм3 = (2.86 ± 0.06) × 10−6 м3 |
(для α = 0.9). |
|
|||||||||||||||||||||
1.7Отчёт по лабораторной работе
На лицевой стороне указывается название и номер лабораторной работы, фамилия исполнителя, номер группы и дата выполнения.
Отчёт содержит:
1.Цель работы
2.Схема установки или электрическая схема
3.Характеристика измерительных приборов: приборные погрешности, класс точности, предел измерения
4.Вывод рабочей формулы
5.Результаты измерений (в виде таблицы)
6.Вычисление результатов измерений, демонстрационный расчет: подставить в расчетную формулу все входящие в нее величины и показать какой получается результат, каков его порядок, вывести размерность вычисляемой величины
7.Вывод формулы для погрешности
8.Вычисление погрешности
9.Окончательный результат
10 Вывод