Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лекции мат. анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Примеры.

2n 3

lim 2

lim 2 lim

а)

lim

n n

;

n 3n 1

lim 3 lim

lim 3

n n

lim

б)

n n

lim

n 3n2 1

lim 3

2.2. Предел функции в точке

Пусть функция f (x) определена на некотором интервале D ,

содержащем точку x0 , за исключением быть может самой этой точки.

Определение 1. (на языке		последовательностей) Число A
называется пределом функции	f x	в точке x0 , если для любой по-
следовательности xn D ,	xn x0 ,		сходящейся к x0 , последова-
тельность значений функции f (xn ) сходится к A . Обозначения:
lim f x A или		f x A при x x0 .
x x0
Определение 2. (на языке « - δ »			( читается «эпсилон - дельта))
Число А называется пределом функции			в точке х0, если для

всякого числа ε>0 существует такое число δ >0 , что как только |x–x0| <

δ (x ≠ x0), то |f(x)–A| < .

Обозначение: lim f (x) A .

x x0

При вычислении пределов функций используются те же прави-

ла, что и при вычислении пределов последовательностей. В частности,
если существуют пределы lim f x a и lim g x b , то
x x0	x x0
lim f	x g x a b ;
x x0
lim f	x g x a b ;
x x0	f x g x ab ;
lim	f x g x ab ;
x x0

если, кроме того, b 0 (тогда g x 0 для всех x , достаточно

близких к x0 ), то

f x

lim

x x0 g x

Функция

называется бесконечно малой (б.м.) при

если lim f x 0.

x x0

Функция

называется бесконечно большой (б.б.) при

, если lim f x .

x x0

Пример. Найдем предел функции

f x x2

в точке

x 2 .

Для произвольной последовательности xn такой,

что lim xn 2 ,

xn 2 , на основании свойств пределов последовательностей имеем

lim f (x

) lim x2 lim x

lim x

2 2 4 .

Отсюда по определению предела функции получаем

lim x2 4 .

x 2

Задача 1. Найти

lim

3x2 5x 2

при:

4x2 9x 2

а) х 0 =1 ; б) х 0 =2 ; в) х 0 = ∞ .

Решение. а) lim(3x2 5x 2) 4 ,

lim(4x2 9x 2) 3 0 .

x 1

Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить

теорему о пределе частного (свойство 4). Тогда
	3x2		5x 2	lim(3x2 5x 2)	4	4
lim				x 1			.
lim	4x2		9x 2	lim(4x2 9x 2)	3	3	.
x 1	4x2		9x 2	lim(4x2 9x 2)	3	3
				x 1
б) lim		3x2 5x 2		.
б) lim		4x2 9x 2		.
x	2	4x2 9x 2

Имеем неопределенность вида , следовательно, теорему о пре-

деле частного применить нельзя. Но в окрестности точки х = 2 имеем 4х2 – 9х + 2 ≠ 0 (при х ≠ 2), и поэтому дробь можно сократить на х – 2.

Для этого разложим числитель и знаменатель на множители, восполь-

зовавшись формулой ах2+bх+с= а(х–х1)(х–х2), где х1 и х2 – корни урав-

нения ах2 + bх + с = 0. Тогда

5x 2

3 x 2 x

3x 1

lim 3x 1

lim

x 2

x 2 4x2

9x 2

x 2 4 x 2 x

x 2

4x 1

lim 4x 1

x 2

3 2 1

4 2 1

в) lim

3x2 5x 2

2 9x 2

x 4x

Имеем неопределенность вида

. Чтобы найти предел, разделим

числитель и знаменатель на х2, получим:

3 5

lim 3 lim 5

lim

lim 4 lim 9

x 4x2

9x 2

x 4 9

lim

3 0 0

4 0 0

Ответ:

;

б)1;

в)

Задача 2. Найти lim

x 1

x 3

1 x

Решение.

lim

x 3

1 x

x 3 lim

1 x

2 0

x 1

lim (x 1) 0 . Имеем неопределенность вида

, теорему о пределе

x 1

частного применять нельзя. Преобразуем данное выражение, помножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, по-

лучим: lim

x 1

lim

(x 1)(

x 3

1 x )

x 1

x 3 1 x

x 1 ( x 3

x )( x

1 x )

f (xn ) сходится к

lim

(x 1)(

x 3 1 x )

lim

(x 1)( x 3

1 x )

x 1

x 3 1 x

x 3

1 x

lim

(x 1)(

x 3 1 x )

lim

(x 1)( x 3

1 x )

2(x 1)

x 1

2x 2

x 1

lim

x 3

1 x

lim

x 3

1 x

x 1

2 2

2 2.

Ответ: 2 .

2.3. Предел функции на бесконечности

Данное выше определение предела функции можно распростра-

нить на случаи, когда x0

или a (по отдельности или вместе) являются

не числами, а символами

, или . Так, например, запись

lim f x a ,

где a - число, означает, что для любой бесконечно большой последовательности xn , стремящейся к , последовательность

a . Аналогично, запись

lim f x ,

означает, что для любой последовательности xn , стремящейся

к , последовательность f (xn ) стремится к .

Примеры.

а) lim

0; б) lim

; в) lim

4x 0;

x x

x 2

1 lim

г)

x 1

1 0

lim

x x

1 0

x x 1

1 lim

x x

2.4. Первый замечательный предел

Если угол х выражен в радианах, то lim		sin x	1;	lim	x	1 .
Если угол х выражен в радианах, то lim			1;	lim		1 .
	x 0	x		x 0 sin x
Первый замечательный предел можно применять в ряде случаев для
0
раскрытия неопределенностей вида	.
раскрытия неопределенностей вида	.
0

Задача 1. Найти предел функции lim

tg12x

x 0 sin 3x

Решение. Здесь неопределенность вида

. Преобразуем данную

функцию:

tg12x

sin12x

sin 3x cos12x

sin 3x

cos12x

12x

sin 3x

Обозначим 12х=U, причем

limU lim(12x) 12 lim x 12 0 0, т.е. при

х 0

U 0. Следова-

x 0

тельно,

lim

sin12x

lim

Аналогично, положив 3x=U, получим

x 0 12x

0 U

lim

1 .

Следовательно

0 sin 3x

U 0 sinU

x 0 cos12x

cos 0

limtg12x

lim12

sin12x

12x

sin 3x

cos12x

sin 3x

lim 1

cos12x

limsin12x

lim3x

1 1 1 4.

3 x 0

x 0

12x

x 0

sin 3x

Ответ: 4.

arctg 6x

Задача 2. Найти lim

. Имеем неопределенность вида

x 0

Решение. Обозначим arctg 6x = U, тогда 6х=tgU и при х 0 имеем

U 0. Следовательно,

arctg 6x

2 limU

lim

lim 2

tgU

3 tgU

U 0

tgU

limU

2 lim

cosU

sinU

limcosU 2 1 1 2 .

U 0 sinU

U 0

Ответ: 2.

2.5. Второй замечательный предел

Он имеет вид:	lim 1	1	x	lim 1	1	e ,
Он имеет вид:	lim 1		x	lim 1		e ,
	x			0

где е – иррациональное число, приблизительно равное 2,71828… . Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются log e x= ln x . С помощью этого предела раскрывают так же неопреде-

ленность вида {1∞}.

Исходя из определения числа e , можно получить более общую формулу:

											k	n					k ,справедливую для любой постоянной k .
					lim 1									e
					lim 1						n			e
				n							n
															4n 3			3n 1																∞
															4n 3																			∞
Задача. Найти											lim								. Здесь неопределенность вида {1																}.
Задача. Найти											lim								. Здесь неопределенность вида {1																}.
											n				4n 2
Решение. Преобразуем выражение в скобках.
	4n 3					4n 2 5											4n 2			5		1					5		.
							4n 2													4n 2		1							.
	4n 2						4n 2										4n 2			4n 2					4n			2
Обозначим										5			, тогда 4n 2										5	, 4n				5		2	,	n	5		1	,
Обозначим								4n					, тогда 4n 2											, 4n						2	,	n	4			,
								4n				2																					4		2
3n 1			15				1		, причем при n ∞, имеем α 0. Следовательно,
3n 1			4						, причем при n ∞, имеем α 0. Следовательно,
			4			2
4n 3					3n 1												15	1				15						1
4n 3					3n 1												15	1
lim									lim(1 ) 4									2	lim (1 ) 4 (1 ) 2
lim									lim(1 ) 4									2	lim (1 ) 4 (1 ) 2
n 4n 2										0											0

										1 15 4											15 4	15
																										4		4 15
																										4		4 15
	lim(1 )															lim(1 ) e						1 e							e .
		0														0

Ответ: 4e15 .

Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Определение производной и дифференциала функции

Определение. Производной функции у = f ( x ) в точке х называется

предел lim	f (x	x) f (x)	lim	y	, если он существует и конечен.
		x		x
x 0			x 0

Функция у = f ( x ) называется дифференцируемой в точке х. Она всегда будет и непрерывной в этой точке.

Производная обозначается					y / ,	f / (x),	dy	,	df (x)	.
							dx		dx
Имеем		y / lim	y	.	По	определению			предела функции
		x 0	x
		x 0
y	y /	, где 0 при			x 0 . Отсюда ∆y= y' · ∆ x+ α· ∆x.
x
При малых значениях ∆x и при						y 0 имеем			y y x .

Определение. Главная часть y'∆x приращения ∆y функции, линейная относительно ∆x, называется дифференциалом функции и обозначается d y= y' ∆ x .

Положив у = х, получим d x = ( x ) ' ∆ x = 1 ·∆ x= ∆ x и поэтому d y =y'd x . Эта формула верна и в том случае, если х есть функция новой пере-

менной t.

Теорема о зависимости между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция дифференцируема в точке то она в этой точке непрерывна. Обратная теорема, вообще говоря, неверна,

т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Так, например функция			непрерывна в точке	, но недиффе-
ренцируема в этой точке.
Геометрический смысл производной
Производная	равна
Производная	равна
угловому коэффициенту		(тан-
генсу угла наклона) касатель-
генсу угла наклона) касатель-
ной, проведенной к	кривой
в точке	, то есть
.
Задача. Составить уравнение
касательной и нормали к гра-
фику функции	, прохо-
дящей через точку М		.
Сделать чертеж.
Решение
		–
		–
общее уравнение касательной.

–искомое уравнение касательной.

–общее уравнение нормали.

–уравнение нормали.

–угол наклона касательной к

оси Оx.

Механический смысл производной

Производная пути по времени			равна скорости в момент		, то
есть
Задача. Тело движется прямолинейно по закону
. Определить скорость и ускорение тела при				.
Решение
Согласно механическому смыслу производной					.
Имеем
	Если	, то		⁄
				⁄ .
	Экономический смысл производной
Пусть	- издержки производства, а			- количество выпускаемой
продукции.
Тогда	- прирост продукции.

-приращение издержек производства.

-среднее приращение издержек производства на едини-

цу продукции.

Производная выражает предельные издержки

производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Задача. Функция издержек производства некоторой фирмы имеет вид: (ден. ед.). Найти предельные

исредние издержки производства и вычислить их значение при

Решение

(ед./мес.) предельные издержки

Средние издержки производства равны

Вывод: При данном уровне производства (количестве выпускаемой продукции) средние затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а увеличение объема на одну единицу продукции обойдется фирме приближенно в 11 ден. ед.

3.2. Вычисление производных

Основные правила дифференцирования

Пусть С – действительное число, U=U(x) и υ=υ(x) – дифференцируемые функции.

1.(С)' =0;

2.(С∙υ)' = Сυ' ;

3.( U ± υ )' = U '± υ '

4.( U · υ )' = U' υ + U υ ' ;

5.U U U .

Если y f (u) и u (x) , то у называется сложной функцией от х.

Если	y f (u) и	u (x)		дифференцируемы, то dy			dy		du
						dx		du	dx
или y f (u) u .
			Таблица производных
1. .(Un)'=n∙Un–1∙U'.					Следствие: (х)' =1.
2.	(au)'=au∙ln a∙U'.				Следствие: ( е u ) ' = e u u ' .
		1
3.	loga U		U	.	Следствие: lnU	1		U .
3.	loga U		U	.	Следствие: lnU	1		U .
	U ln a					U
4.	(sinU)'=cosU∙U'.
5.	(cosU)' = –sinU∙U'.

6.tgU 1cos 2 U U .

7.ctgU 1sin2 U U .

																U
		8.		arcsin U																	.

														1 U 2
														1 U 2
																			U
		9.		arccos U																						.

																	1 U 2
																	1 U 2
															U
		10.		arctg U																.
		10.		arctg U										1 U 2						.
																			U
		11.		arc c tgU																					.
		11.		arc c tgU															1 U 2						.
		Задача 1. Найти производные заданных функций:
					1		4				2								3
1)		y				x								2					.
1)		y				x								2					.
					4				3			x	2
												x
		Решение.							Применим													формулу																			n U n 1 U ,																здесь							n=3,
		Решение.							Применим													формулу												U n							n U n 1 U ,																здесь							n=3,
																																													3 1
			1		4			2																					1			4					2													1					4				2
U			1	x	4			2				2 . Тогда										y							1			4					2													1					4				2
U				x								2 . Тогда										y						3			x												2										x											2			.
			4				3	x	2																				4						3		x		2											4							3		x	2
								x																													x																						x
		Найдем U /.
				1					2										1																2												1														2
				1		4			2										1							4									3												1				4										3
																																			3																										3
U				4	x		3		x		2		2										x							2 x									2								4		x									2x
				4					x										4																												4
	1			4						2						1																2						2		1							4							5									4
	1			4												1					4 1											2								1				3			4											3					4
			x		2 x					3									4 x								2								x		3					x								x				3 x													.
			x		2 x					3									4 x								2								x		3					x								x				3 x													.
	4															4																3															3														3	3			x	5
	4															4																3															3														3				x
																					1								2							2												4
		Следовательно, y																			1						4		2														3					4
		Следовательно, y																	3					x									2									x														.
																					4							3		x	2															3	3			x		5
																					4									x																3				x
		Задача 2.							y ln 5									x5 1					.
		Задача 2.							y ln 5								5x 2						.
																	5x 2

Решение. Преобразуем сначала данную функцию, а затем найдем производную этой функции:

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.2019122.67 Кб14Лекции для СМ, ИМ, КМ.docx
#
25.09.2019481.28 Кб15лекции за 2008 год. я все брал отсюда восновном...doc
#
25.08.2019381.44 Кб7Лекции Инвест.doc
#
16.03.2015936.45 Кб379ЛЕКЦИИ корпоративные финансы.doc
#
16.03.20151.2 Mб112лекции КПК.pdf
#
16.03.20151.97 Mб19лекции мат. анализ.pdf
#
07.11.20184.53 Mб101Лекции Матан 2.doc
#
07.11.20183.52 Mб44Лекции Матан 3.doc
#
07.11.20185.12 Mб47Лекции Матан 5.doc
#
07.11.20182.42 Mб14Лекции Матан 6.doc
#
07.11.20181.94 Mб20Лекции Матан 7.doc