Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

Считается, что исчерпание несущей способности конструкции происходит при выключении из работы наиболее слабых мест и превращении ее в геометрически изменяемую систему, которая не может воспринимать дальнейший рост нагрузки.

Наименьшая нагрузка, при которой впервые произойдет превращение конструкции в геометрически изменяемую систему, считается ее несущей способностью.

Превращение стержневой конструкции в геометрически изменяемую систему может происходить по двум причинам. Во-первых, за счет выключения из работы отдельных стержней при их растяжении или сжатии. И, во-вторых, при выключении из работы отдельных сечений изгибаемых стержней.

Для определения несущей способности фермы определяется наименьшая нагрузка, при которой произойдет выключение из работы некоторого числа стержней, превращающее ее в геометрически изменяемую систему.

Вслучае статически определимой фермы предельное состояние достигается при выключении из работы хоты бы одного стержня. В случае статически неопределимой фермы для достижения предельного состояния число стержней, которые должны выключиться из работы, равно числу лишних связей плюс один стержень.

Для определения несущей способности изгибаемой стержневой конструкции необходимо выяснить, при какой наименьшей нагрузке произойдет выключение из работы некоторого числа сечений, вследствие образования в них пластических шарниров и превращения конструкции в геометрически изменяемую систему.

Вслучае статически определимой изгибаемой конструкции предельное состояние достигается при образовании в ней хотя бы одного пластического шарнира. В случае статически неопределимой изгибаемой конструкции для достижения предельного состояния число образовавшихся в ней пластических шарниров должно быть на единицу больше числа лишних связей.

13.6. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

– несущая способность;

141

–расчётные модели сооружений, применяемые при определении несущей способности;

–модели материала, применяемые при расчёте сооружений;

–суть метода разрушающих нагрузок;

–слабый элемент при растяжении-сжатии;

–пластический шарнир;

–пластический момент сопротивления;

–уравнение нейтральной линии в предельном состоянии при изгибе;

–формулы для предельного изгибающего момента при изгибе;

–типы механизмов разрушения статически неопределимых стержневых систем;

–статическая теорема для определения разрушающей нагрузки;

–кинематическая теорема для определения разрушающей нагрузки;

–уравнение для определения разрушающей нагрузки кинематическим методом.

Проверьте, как Вы умеете:

–находить предельную нагрузку для стержневых систем методом расчета по допускаемым напряжениям;

–находить предельную нагрузку для стержневых систем методом расчёта по разрушающим нагрузкам.

142

1. ВВЕДЕНИЕ

Изучение второй части курса строительной механики сопровождается решением задач и выполнением расчетно-проектировочных работ. Настоящее руководство предназначено для оказания помощи при решении задач на практических занятиях, самостоятельном решении задач и выполнении расчетно-проектировочных работ.

В руководстве рассмотрены типовые задачи, связанные с расчетами статически определимых стержневых конструкций, и даны их решения. Обращено особое внимание на последовательность выполнения расчетных этапов, форму представления конечных результатов и контроль их правильности.

Для приобретения устойчивых умений и навыков решения задач по второй части курса строительной механики необходимо самостоятельно решить все предлагаемые задачи в руководстве, а затем перейти к решению задач, имеющихся в различных учебных пособиях и задачниках по строительной механике.

2. ЦЕЛИ И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ

Тема № 1. Определение степени статическойнеопределимости плоских стержневых конструкций

Цель занятия: научиться:

1.Определять для плоских стержневых конструкций степень полной, внешней и внутренней статической неопределимости.

2.Делать вывод о разновидности статической неопределимости плоской стержневой конструкции.

144

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Степень ста-

тической неопределимости характеризует количество лишних или избыточных связей в конструкции, которые можно удалить, сохраняя ее геометрическую неизменяемость. Для ее подсчета используется формула

где W – число степеней свободы конструкции; K – число замкнутых контуров конструкции; Ш – число шарниров, врезанных в замкнутые контуры, с учетом степени их кратности. Наряду с формулой (1.1), для подсчета степени статической неопределимости может использоваться формула

контуров искусственной конструкции. Для её получения необходимо в заданной конструкции заменить все шарнирные соединения (внутренние узлы и опорные закрепления) жесткими, а также «замкнуть» ее диском «земля».

Величина Ш, входящая в формулу (1.2), определяет число шарниров, которые нужно ввести в искусственную конструкцию, чтобы получить из нее заданную конструкцию. Подсчет числа вводимых шарниров ведется с учетом их кратности.

Формулы (1.1) и (1.2) позволяют определить для произвольной плоской стержневой конструкции степень полной статической неопределимости, которая складывается из двух составляющих

Л Л1 Л2 .

Здесь Л1 – степень внешней статической неопределимости конструкции, характеризующая число лишних связей в опорных закреплениях конструкции; Л2 – степень внутренней статической неопределимости конструкции, характеризующая число лишних связей внутри конструкции.

Число внешних лишних связей определяется по формуле

(1.3)

где C0 – общее число опорных стержней конструкции; Cзам – число опорных стержней, заменяющих недостающие внутренние связи в конструкции отделённой от опорных закреплений.

Число внутренних лишних связей определяется по формуле

Л2 Л Л1 .

Пример 1. Для стержневой системы, показанной на рис. 1.1, определить степень полной, внешней и внутренней статической неопределимости

145

Для подсчета степени полной статической неопределимости по формуле (1.1) определим для рассматриваемой системы величины

Для подсчета степени полной статической неопределимости по формуле (1.2) преобразуем заданную конструкцию в искусственную систему, состоящую из замкнутых контуров (1.2, а).

Рис. 1.2

Число замкнутых контуров в искусственной системе равно

K 2 .

Тогда число шарниров, с учетом степени их кратности, которые нужно ввести в искусственную систему, чтобы получить из нее заданную конструкцию (рис. 1.2, б) будет равно

Ш 4 .

Следовательно, степень полной статической неопределимости по формуле (1.2) также равна

Л 3 2 4 2.

Так как, для рассматриваемой конструкции

C0 7; Cзам 2,

то величина

Л1 7-3-2 2 ,

а величина

Л2 2 2 0 .

Таким образом, на основании подсчета степени статической неопределимости и ее составляющих можно сделать вывод, что рассматриваемая стержневая конструкция два раза внешне статически неопределимая система.

146

Пример 2. Для стержневой системы, показанной на рис. 1.3, определить степень полной, внешней и внутренней статической неопределимости

При подсчете степени полной статической неопределимости по формуле (1.1) для рассматриваемой системы получим величины

W 2; K 1; Ш 1.

При преобразовании заданной конструкции в искусственную систему (рис. 1.4, а) число замкнутых контуров в такой системе равно

K3.

ачисло шарниров, с учетом степени их кратности, которые нужно ввести в

искусственную систему, чтобы получить из нее заданную конструкцию (рис.1.4, б) будет равно

Ш 5.

Рис. 1.4

Следовательно, степень полной статической неопределимости по формуле (1.2) также равна

Л 3 3 5 4 .

Так как, для рассматриваемой конструкции

C0 6 Cзам 1,

то величина

Л1 6-3-1 2 ,

а величина

Л2 4 2 2.

147

Таким образом, на основании подсчета степени статической неопределимости и ее составляющих можно сделать вывод, что рассматриваемая стержневая конструкция четыре раза статически неопределимая система. В том числе она два раза внешне и два раза внутренне статически неопределимая система.

Задачи для самостоятельного решения. Для стержневых систем,

показанных на рис. 1.5, определить степень полной, внешней и внутренней статической неопределимости.

Рис. 1.5

Тема № 2. Определение внутренних усилий в плоских статически неопределимых рамах от неподвижной нагрузки методом сил

Цель занятия: научиться:

1.Определять внутренние усилия от действия постоянной нагрузки.

2.Выполнять поверки правильности их определения.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. В основе рас-

чета стержневых конструкций методом сил лежит переход от заданной статически неопределимой системы к расчету основной статически определимой системы. Такая система получается из заданной удалением всех лишних связей.

Реакции удаленных связей называются основными неизвестными метода сил. Для их определения составляются канонические уравнения, которые при расчете на действие нагрузки имеют вид

11X1 ... 1n Xn 1P 0,

........................................

n1X1 ... nn Xn nP 0.

Канонические уравнения представляют собой систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно основных неизвестных

148

X1,..., Xn . Для решения канонических уравнений необходимо определить коэффициенты при основных неизвестных ij и свободные члены iP .

Для определения коэффициентов ij нужно образовать единичные состояния основной системы, загрузив ее последовательно безразмерными

ры называются единичными. Вычисление коэффициентов ij осуществля-

ется по формуле Максвелла – Мора, в которой удерживается одно слагаемое, учитывающее влияние изгибающих моментов

Для определения свободных членов канонических уравнений iP необходимо рассмотреть основную систему под действием нагрузки, найти внутренние усилия MP0 ,QP0 , NP0 и построить их эпюры. Такие внутренние

усилия и их эпюры называются грузовыми, а соответствующая им схема нагружения считается грузовым состоянием основной системы. Вычисление свободных членов iP осуществляется по формуле Максвелла – Мора, в которой удерживается одно слагаемое, учитывающее влияние изгибающих моментов

После решения канонических уравнений и нахождения основных неизвестных метода сил внутренние усилия, возникающие в заданной системе от нагрузки, определяются по формулам

Mm1X1 ... mn Xn M P0 , Q q1X1 ... qn Xn QP0 ,

Nn1X1 ... nn Xn NP0 .

Для проверки правильности найденных внутренних усилий выполняются статические и кинематические поверки. Статические поверки заключаются в проверке равновесия узлов, стержней и заданной системы в целом по тем же правилам, что и для статически определимых систем. Кинематические поверки заключаются в проверке выполнения условий

149

Пример 3. Для рамы, показанной на рис. 2.1, определить внутренние усилия, построить эпюры внутренних усилий и проверить их правильность

Рис. 2.1

Поперечные сечения всех элементов рамы имеют одинаковую изгибную жесткость EIZ .

Так как у рамы отсутствуют замкнутые контуры, то степень ее статической неопределимости определимости определяется по формуле

Л W

и равняется

Л 3 1 5 2.

Для образования основной системы метода сил отбросим два опорных стержня на левой опоре. Выбранный вариант основной системы показан на рис. 2.2.

Канонические уравнения метода сил для рассчитываемой рамы, с учетом ее степени статической неопределимости, имеют вид

11X1 12 X2 1P 0,

21X1 22 X2 2P 0.

Для определения коэффициентов и свободных членов образуем единичные и грузовое состояния и строим для них эпюры внутренних усилий как для статически определимых рам.

150