10380

- 50 -

Вычислим работу внутренних сил M1, Q1, N1 на перемещениях второго состояния системы (рис. 3.10, б):

dA12 = N1u2 + (N1 + dN1)(u2 + du2) + Q1v2 – (Q1 + dQ1)(v2 + dv2) M1 2 +

+ (M1+ dM1)( 2+d 2) +qxdx(u2 + du2/2) + qydx(v2 + dv2/2) = N1u2 + N1u2 + N1du2 + +{dN1u2}+ dN1du2 + Q1v2 Q1v2 Q1dv2 {dQ1v2} dQ1dv2 M1 2 +M1 2 + M1d 2 +

Рис. 3.10

Пренебрегая в (3.12) подчеркнутыми слагаемыми как бесконечно малыми второго порядка и воспользовавшись соотношением (1.10) для членов в фигурных скобках, получим:

dA12 = N1du2 – {Q1dv2} + M1d 2 – {qx dxu2}+ qx dxu2 + qxdxdu2/2 – {qy dxv2} +

Снова, отбрасывая в последнем выражении подчеркнутые слагаемые как бесконечно малые второго порядка и используя (1.11 ) для второго члена, заключенного в фигурные скобки, будем иметь:

Наконец, выражая в (3.14) деформации через внутренние усилия с помощью (1.12 ), найдем для элемента рамы длиной ds:

dA12 = ( M1M2/EJ + Q1Q2/GF + N1N2/EF ) ds.

Полная работа получается интегрированием по длине стержня и суммированием по всем участкам рамы. С учетом знака получим окончательное выражение работы внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния:

3.5.Интеграл Мора-Максвелла

Спомощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i-й точки упругой системы от приложенной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а

второе – возможным или виртуальным.

Pi =1

i'

Рис. 3.11

Обозначим через ip искомое перемещение точки i – в нашем примере на рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.

Пусть Mp, Qp, Np – внутренние усилия первого состояния, а Mi, Qi, Ni – внутренние силы второго состояния.

Воспользовавшись теоремой Бетти:

A12 = A21,

где

A21 = Pi ip = 1 ip = ip,

а

A12 = – W12,

получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений,

которая называется интегралом Мора-Максвелла:

Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:

-52 -

–построить эпюры Mp, Qp, Np в заданной системе от заданной нагрузки;

–построить эпюры Mi, Qi, Ni от единичной силы (единичного момента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;

–вычислить интеграл (3.16).

Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно воспользоваться формулой:

Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными деформациями:

где lk и EFk – соответственно длина и продольная жесткость k-го стержня фермы.

Примечания

1. Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр Mp и Mi и записывают это в виде: ip = (Mp Mi).

2.При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.

3.При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является

статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для последних систем формулу (3.16) можно упростить.

3.6. Формула Верещагина

Интеграл (3.17) можно вычислить аналитически, однако если жесткости стержней постоянны, удобнее воспользоваться другим способом, который обычно и применяют на практике.

Учитывая, что эпюра Mi от единичного силового фактора является кусоч- но-линейной, можно выбрать промежутки a,b , где она будет просто линейной. Тогда выбирая начало локальной системы отсчета так, как показано на рис. 3.12, б, ее уравнение можно записать в виде: Mi(x) = tg x. При этом интеграл в (3.17) примет вид:

- 53 -

Рис. 3.12

Обозначая через площадь эпюры Mp:

b

= d = Mp dx ,

a

и учитывая, что ее статический момент относительно оси Oy равен:

Sy = xd = xc,

представим (3.19) в виде:

где yc = tg xc.

Возвращаясь к формуле (3.17), получим:

Таким образом, чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является линейной, нужно вычислить площадь криволинейной эпюры – и умножить ее на ординату yc в линейной эпюре, вычисленную под центром тяжести криволинейной.

Для реализации формулы (3.20) остается рассмотреть геометрические характеристики стандартных эпюр (рис. 3.13), где две последние – соответствуют эпюрам от равномерно распределенной нагрузки. Поскольку любую нестан-

- 54 -

дартную эпюру можно представить комбинацией стандартных, с помощью последних можно перемножить произвольные эпюры.

Рис. 3.13

Примечания

1.При выводе формулы (3.20) криволинейная эпюра Mp с площадью предполагается однозначной. Если это условие не выполнено, ее представляют комбинацией двух или большего числа стандартных эпюр.

2.Для вычисления интеграла (3.17) можно применять формулы численного интегриро-

вания, в том числе – формулу Симпсона:

b

a f (x)dx = (b – a)/6 f(a) + 4f (a + b)/2 + f(b) ,

которая позволяет получить точный результат, если функция f (x) является многочленом до третьей степени включительно.

- 55 -

Таким образом, если на всем промежутке a,b эпюра Mi линейна, а эпюра Mp является квадратичной параболой, интеграл (3.17) можно вычислить по формуле:

ip= (lk/6EJk) Mp(ak) Mi(ak) +4 Mp (ak +bk)/2 Mi (ak+bk)/2 +Mp(bk) Mi(bk) . (3.21)

При этом однозначности эпюры Mp на промежутке a,b не требуется, а формулу можно, конечно, применять и для линейной функции Mp(x).

3.7. Примеры определения перемещений

Рассмотрим примеры определения перемещений в СОС от действующей нагрузки. Во всех случаях изгибная жесткость элементов системы – EJ и их продольная жесткость – EF предполагаются известными.

Пример 3.1. Определить максимальные прогибы балки (рис. 3.14, а).

Рис. 3.14

Решение. В соответствии с формулой (3.17) строим эпюру Mp от заданной нагрузки (рис. 3.14, б) и эпюру Mi от единичной силы, приложенной в середине балки (рис. 3.14, в).

Вычислим интеграл (3.17) по формуле Верещагина. На всем промежутке0,l эпюра Mp является однозначной, то есть отвечает предъявляемым к ней требованиям, а эпюра Mi на всем промежутке 0,l будет нелинейной. Поэтому область интегрирования делим на два участка: 0, l/2 и l/2, l , на каждом из

- 56 -

Для того чтобы получить тот же результат с помощью интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки нужно затратить примерно втрое больше усилий – хотя бы потому, что придется находить угол поворота балки в ее начальном сечении – 0.

Формально воспользовавшись для всего промежутка 0,l формулой Симпсона (3.21) и учитывая, что значения Mp и Mi на его концах равны нулю, получим:

vmax = (l/6EJ) 4(ql2/8) (l/4) = ql4/48EJ.

Найденный результат оказался неверным, поскольку на всем промежутке0,l подынтегральная функция f(x) = Mp(x) Mi (x) не отвечает требованиям, предъявляемым к ней этой формулой.

Пример 3.2. Найти линейное и угловое перемещения точки A на конце Г- образной консольной рамы, у которой жесткость стойки вдвое больше жесткости ригеля (рис. 3.15, а).

Pв=1

Рис. 3.15

Решение. Строим эпюру Mp от заданной нагрузки и эпюры Mi от единичных сил и моментов, приложенных в точке A (рис. 3.15, б–д).

Определяем вертикальное перемещение точки А, перемножая эпюры Mp и M в:

в = (Mp M в) = (1/EJ) 1 y1 + (1/2EJ) 2 y2 = (1/EJ) (1/3) l (ql2/2) (3/4)l + + (1/2EJ) l (ql2/2) l = (3/8)(ql4/EJ).

- 57 -

Находим горизонтальное перемещение точки А:

г = (Mp M г) = (1/2EJ) l (ql2/2) (l/2) = (1/8)(ql4/EJ).

Полное перемещение точки А составит:

А = ( в)2 + ( г)2 = ( 10 ql4)/8EJ.

Угол поворота сечения в точке А будет равен:

А = (Mp M у) = (1/EJ) 1 1 + + (1/2EJ) 2 1 = (1/EJ) (1/3) l (ql2/2) 1 + + (1/2EJ) l (ql2/2) 1 = (5ql3/12EJ ).

Рассмотренный пример наглядно показывает, почему при определении перемещений в рамах мы пренебрегаем продольными деформациями: вертикальное перемещение точки А от заданной нагрузки в основном определяется изгибом ригеля, изгибом стойки и только в очень незначительной степени – ее сжатием.

Пример 3.3. Найти угол поворота сечения на правой опоре рамы, рассмотренной в примере 2.5, полагая EJ = const (рис. 2.9, а).

Mi =1

Рис. 3.16

Решение. Воспользуемся уже построенной ранее эпюрой Mp от заданной нагрузки (рис. 2.9, б) и (рис. 3.16, а), и умножим ее на эпюру Mi от единичного момента (рис. 3.16, б). На левой стойке и ригеле эпюра Mp представлена тремя

- 58 -

треугольниками с равной площадью тр = (1/2) l (ql2/4), которые умножаются на три одинаковых треугольника в эпюре Mi.

Нестандартную эпюру Mp на правой стойке с площадью пар представим суммой стандартных эпюр: параболы с площадью 1 и треугольника с площадью

2 (рис. 3.16, в).

Поскольку перемножаемые эпюры расположены на разных волокнах, результат получится со знаком минус. Как и при определении опорных реакций это означает, что действительное направление угла поворота будет противоположно направлению, указанному на рисунке:

В = (Mp Mi) = (1/EJ) (–3) тр yтр – пар yпар = – (1/EJ) 3 тр yтр+ 1 y1+ + 2 y2 = – (1/EJ) 3 (1/2) l (ql2/4) (2/3) (1/2) + (2/3) l (ql2/8)

(1/2)(1/2+1) + (1/2) l (ql2/4) (2/3)(1/2) + (1/3) 1 = – (11ql3) / (48EJ).

Пример 3.4. Полагая EJ = const, найти взаимное сближение точек i и j рамы, взаимный угол поворота соответствующих сечений, а также построить деформированную схему рамы от заданной нагрузки (рис. 3.17, а).

Решение. Взаимное сближение точек i и j можно найти с помощью стандартной процедуры определения перемещений.

Для этого нужно построить эпюру MP от заданной нагрузки (рис. 3.17, б), а также эпюры Mi и Mj от единичных сил, приложенных в этих точках в направ-

Однако легче получить тот же результат, умножив эпюру MP на эпюруM от единичных сил, приложенных в этих точках и направленных навстречу

ij

друг другу, поскольку эпюра M от взаимно уравновешенной нагрузки будет

ij

проще каждой из эпюр Mi и Mj (рис. 3.17, д).

Аналогичным образом поступим и при определении взаимного угла поворота сечений θij, умножив эпюру MP на эпюру M θ от единичных моментов,

ij

приложенных в точках i и j и направленных навстречу друг другу (рис. 3.17, е). Таким образом, получим:

θij = (MP Mijθ) = (1/EJ) ((1/2) (l/2) (Pl/4)) 1 = (1/EJ) (Pl2/16).

Переходя к построению деформированной схемы рамы, отметим два обстоятельства.

Во-первых, эпюра моментов располагается на растянутых волокнах рамы, поэтому стойки рамы, на которых моменты равны нулю, остаются недеформированными.

Рис. 3.17