10364

направлению от неизвестного xj , а 0iP - перемещение в основной системе точки

13

11 x1 12 x2 13 x3 01P 0;

21 x1 22 x2 23 x3 02P 0;

31 x1 32 x2 33 x3 03P 0.

Эта система называется системой канонических уравнений метода сил. Коэффици-

енты при неизвестных представляют собой удельные перемещения двух видов:

-ii - главные удельные перемещения;

-ij - побочные удельные перемещения (i j).

Эти перемещения определяются по формуле Мора-Максвелла:

ских уравнений метода сил. MP0 - изгибающий момент в основной системе от заданной нагрузки. Таким образом, для определения удельных и грузовых перемещений необходимо в принятой основной системе построить эпюры моментов от единичных лишних неизвестных и от заданной нагрузки.

На рис. 2.2 показаны эпюры моментов от единичных лишних неизвестных и от нагрузки в принятой основной системе по рис. 2.1д.

15

NP NP0 Ni0 xi .

1

В этих выражениях n – число лишних неизвестных или степень статической неопределимости системы.

2.3. Канонические уравнения для расчета на действие температуры

Как уже было сказано выше, в статически неопределимых системах от изменения температуры возникают внутренние усилия Mt , Qt и Nt .

Алгоритм расчета статически неопределимой системы от изменения температуры следующий:

-определяют число лишних связей или степень статической неопределимости заданной системы;

-выбирают основную систему, устраняя лишние связи и заменяя их действием лишних неизвестных;

-накладывают на основную систему требования, чтобы она работала как заданная,

т.е. чтобы перемещение точек приложения неизвестных усилий по их направлениям от

этих неизвестных и от температуры равнялись бы нулю, т.е.:

x1o(x1 , x2 ,..., xn , t) 0;x2o(x1 , x2 ,..., xn , t) 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xno(x1 , x2 ,..., xn , t) 0.

- используя принцип независимости воздействий и принцип пропорциональности, составляют канонические уравнения метода сил:

11 x1 12 x2 ... 1n xn 01t 0;

21 x1 22 x2 ... 2n xn 02t 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 x1 32 x2 ... 3n xn 03t 0.

Коэффициенты при неизвестных – главные и побочные удельные перемещения в этих уравнениях определяются по тем же формулам, что и при расчете от нагрузки. Свободные члены канонических уравнений представляют собой перемещения точек приложения лишних неизвестных в основной системе по их направлениям от изменения температурного режима и определяются по формуле:

16

при условии постоянного изменения температуры по длине каждого стержня и однород-

ности материала.

Здесь

– коэффициент линейного расширения материала;

t1 – приращение температуры наружных волокон;

t2 – приращение температуры внутренних волокон;

t t1 –t2 – перепад температур;

Н – высота сечения в плоскости изгиба ώ;

На практике слагаемое it определяют по формуле

щейся температурой от силового фактора Хi =1;

m – число стержней, по длине которых происходит изменение температурного режима.

Каждое слагаемое считается положительным, если деформации, вызванные сило-

вым фактором Хi=1 и изменением температурного режима совпадают, и – отрицательным,

если эти деформации не совпадают.

2.4. Канонические уравнения для расчета рам на кинематические воздействия

Как уже было сказано выше, в статически неопределимых системах от кинематиче-

ских воздействий (осадка опор) возникают внутренние усилия Mc , Qc и Nc .

Алгоритм расчета статически неопределимой системы от осадки опор следующий:

-определяют число лишних связей или степень статической неопределимости заданной системы;

-выбирают основную систему, устраняя лишние связи и заменяя их действием лишних неизвестных;

18

2.5. Упрощение канонических уравнений метода сил

Канонические уравнения в самом общем виде представляют собой систему линейных уравнений, решение которых не представляет принципиальных трудностей. Однако при большом числе уравнений решение связано с большим количеством вычислений и, в первую очередь, с вычислениями значительного количества главных и побочных удельных перемещений. Если степень статической неопределимости системы равна “n”, то общее число главных удельных перемещений равно то же “n”. Общее число побочных удельных перемещений равно n.(n-1). С учетом же теоремы о взаимности удельных пере-

мещений 12 21 , 13 31 и т. д. Отсюда общее число различных побочных удельных

перемещений составляет n (n 1) . 2

Поскольку (см. п. 2.2) побочные удельные перемещения могут быть положительными, отрицательными и равными нулю, то это их свойство дает возможность упростить канонические уравнения метода сил путем рационального выбора основной системы. При этом наиболее простое решение получается в том случае, когда все побочные удельные перемещения обращаются в ноль и канонические уравнения принимают вид

11 x1 01P 0;

22 x2 02P 0;

. . . . . . . . . . . . .

nn xn 0nP 0.

Вэтом случае удается полностью разделить неизвестные и получить ряд самостоятельных решений, каждое из которых содержит лишь по одному неизвестному.

2.5.1.Симметричные системы

Симметричными будем называть такие системы, которые удовлетворяют следующим условиям:

-геометрическая схема системы симметрична, т.е. имеет одну или несколько осей симметрии;

-опорные закрепления и узловые сопряжения элементов системы симметричны относительно оси (осей) симметрии;

-жесткости элементов, симметрично расположенных относительно оси (осей) симметрии системы, равны.

Пример симметричной статически неопределимой рамы показан на рис. 2.5.

20

Дальнейшее упрощение при расчете симметричных систем имеет место тогда, когда и часть грузовых перемещений или свободных членов канонических уравнений также обращается в ноль. Рассмотрим симметричную систему, изображенную на рис. 2.8

инаходящуюся под действием следующих загружений:

-первый вариант – нагрузка по рис. 2.8a;

-второй вариант – нагрузка по рис. 2.8b.

___

симметричная, а эп. M10 - обратно симметричная). Тогда канонические уравнения примут вид: 22 x2 02P 0, а в ноль обратится неизвестное x1.

Выводы приведенного примера выражают собой следующую общую теорему:

при действии на симметричное сооружение симметричной нагрузки все обратно симметричные неизвестные обращаются в ноль. При действии на симметричное сооружение обратно симметричной нагрузки в ноль обращаются все симметричные неизвестные.

При действии на симметричную систему нагрузки произвольного вида, последнюю всегда можно представить в виде двух вариантов загружений – симметричного и обратно симметричного. Решение системы от каждого загружения отдельно приводит к существенному упрощению вычисления неизвестных канонических уравнений, так как при симметричной основной системе вследствие ортогональности эпюр часть побочных удельных перемещений и свободных членов уравнений обратятся в ноль.

Примеры разложения произвольной нагрузки, действующей на симметричную раму, на симметричную и обратно симметричную, показаны на рис. 2.9.