10297

19.4. Логарифмическое дифференцирование.Применим метод нахождения производной неявно заданной функции к выводу производной показательно-степенной функции вида

y u(x)v( x) .

Прологарифмируем обе части этого равенства, опуская для краткости аргумент

ln y v ln u .

Найдем теперь y (x) как производную неявно заданной функции

1y y v ln u v u1 u

и отсюда

y uv (v ln u v u1 u ) uv ln u v vuv 1u .

Этот прием, называемый логарифмическим дифференцированием,

применим также для упрощения нахождения производных. Например,

140

19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования.

Сведём в одном месте формулы производных элементарных функций

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

141

соответствующее число раз продифференцировать определяющее ее

Вслучае параметрического задания функции

x x(t) , t

y y(t)

продифференцируем это равенство по x , имея ввиду, что t есть функция x

где точка сверху обозначает производную по t . Например,

142

Аналогично можно найти производныеболее высоких порядков.

Лекция 20. Вектор-функция

20.1. Вектор-функция и её задание. К понятиювектор-функции или векторной функции скалярного аргумента мы приходим, изучая переменный вектор. С переменным вектором мы уже имели дело, когда записывали уравнение прямой в пространстве в векторной форме (см. рис.

20.1)

143

Суть в том, что координаты радиус-вектора r (t) есть некоторые функции

переменного t . Поэтому естественно следующее определение вектор-

функции: если каждому значению вещественного переменного t из

некоторого промежутка по определённому закону поставлен в соответствие вектор

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k ,

то будем говорить, что в промежутке t задана вектор-функция r (t) .

Вектор r (t) будем считать выходящим из начала координат, т.е. это радиус-вектор. При этом конец вектора M (x(t), y(t), z(t)) будет описывать

некоторую линию L(годограф), параметрические уравнения которой даются формулами

x x(t),

y y(t), t

z z(t),

Таким образом, задание вектор-функции эквивалентно заданию трёх скалярных функций, являющихся координатами её радиус-вектора. Название – годограф происходит от греческих слов hodos – путь и grapho – пишу. Началом всех векторов для построения годографа может служить любая фиксированная точка плоскости.

144

20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции.

Понятия предела, непрерывности и производной вектор-функции введём «покоординатно», а именно: вектор-функция

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k

в некоторой точке t0 имеет предел, непрерывна, дифференцируема, если

соответственно имеют предел, непрерывны и дифференцируемы в этой точке функции x(t), y(t), z(t) . При этом полагают

к нулю. В математической символике это определение записывается известным образом:

Геометрический смысл производной векторной функции скалярного аргумента близок к геометрическому смыслу производной числовой функции. Будем предполагать, что годограф вектор-функции в точке

M 0 (x0 , y0 , z0 ) M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))

имеет касательную, определяемую как предельное положение секущей M 0 M . Направление движения точки соответствующее возрастанию

параметра t обозначим на рисунке стрелкой (см. рис. 20.2). Рассмотрим два случая, когда значение аргумента t0 получает как положительное, так и

отрицательное приращение t . Вектор r r (t0 t) r (t0 ) – это хорда (греч. – струна). В случае положительного приращения t 0он направлен по секущей в сторону, соответствующую возрастанию аргумента

будучи коллинеарным вектору r в любом случае будет направлен вдоль секущей в сторону, соответствующую возрастанию параметра t .Поскольку секущая при t 0 примет положение касательной к годографу, то вектор

145

будет касательным вектором к годографу в данной точке.Итак, производная вектор-функции в данной точке – это вектор касательный к её годографу и направленный в сторону возрастания параметра.

Рис. 20.2

Пример.Годограф вектор-функции

r (t) (t sin t) i (1 cost) j

это циклоида, т.е. траектория фиксированной точки окружности единичного радиуса, катящейся по оси Ox без скольжения. Пусть t – время и окружность делает полный оборот за 2 секунд. Тогда вектор-функция

r (t) (t sin t) i (1 cost) j

задаёт не только траекторию движения точки, но и закон движения.

На рис. 20.3 в точках траектории через каждые 2 /10 сек. построены векторы скорости точки

r (t) (1 cost) i sin t j .

Самая большая скорость точки будет в момент времени t . Построен также годограф скорости точки. В одной из точек построен вектор ускорения. Это вектор касательный к годографу скорости в соответствующей точке.

146

Рис.20.4

У нас есть все данные, чтобы написать уравнения касательной, например в канонической форме

X x0 Y x0 Z x0 . x (t0 ) y (t0 ) z (t0 )

Соответственно, уравнение нормальной плоскости будет иметь вид

x (t0 )(u x0 ) y (t0 )(v x0 ) z (t0 )(w x0 ) 0

Пример.Написать уравнения касательной к кривой

Записываем уравнения касательной в канонической форме

2x z 0

Уравнение нормальной плоскости

1(x 0) 0( y 1) 0.5(z / 4) 0

или 8x 4z 0 (см. рис. 20.5)

Рис. 20.5

Лекция 21. Дифференциал

149