10289

Рис. 27.5

От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей. В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной заменяется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.

200

Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка, определяемым общим уравнением

Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0.

Каждая поверхность может быть построена по её уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мерестыковки разных сечений.

28.1. Эллипсоиды. Начнём с уравнения эллипсоида

По виду уравнения мы узнаём эллипс и можем изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 28.1).

201

эллипсом в плоскости xOy (рис. 28.2).

Рис. 28.2

Рассмотрим произвольную плоскость z h (где h – любое число), параллельную xOy . Сечение исходной поверхности (28.1) этой плоскостью

задаётся уравнением

«самый крупный» эллипс образуется в сечении координатной плоскостью xOy . Аналогичная картина получается в сечениях поверхности (28.1)

плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz . Отметим, что на плоскости нет точек, отвечающих условию z c . Т.е.

у поверхности, которую мы строим, нет пересечения с плоскостями z h

отражаем рисунком 28.2. Вполне естественно, что эта поверхность носит название «эллипсоид» – по названиям сечений.

Эллипсоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями эллипсоида. Если две из трёх полуосей одинаковы, то, эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Если a b c , то уравнение (28.1) определяет сферу.

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности,

определяемой этим уравнением, получаются гиперболы, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу – эллипсы. В целом

поверхность выглядит, как бесконечная трубка, расширяющаяся в обе стороны от горлового эллипса (рис. 28.3).

Рис. 28.3

Однополостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Если a b, то однополостный гиперболоид становится поверхностью

203

оси Oz , которую она не пересекает.

Однополостный гиперболоид обладает интересным геометрическим свойством, которое можно обнаружить, если представить уравнение (28.2)

В ней и - некоторые числа, не равные одновременно нулю. При фиксированных значениях и уравнения (28.4) задают в пространстве конкретную прямую как пересечение плоскостей. Меняя и , мы

получаем бесконечную систему прямых. Если перемножить уравнения (28.4), то получится уравнение (28.3) Это означает, что каждая из прямых лежит целиком на однополостном гиперболоиде. Можно доказать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит прямая, определяемая системой (28.4). То есть прямые (называемые прямолинейными образующими однополостного гиперболоида) покрывают его поверхность целиком. Поверхности, составленные из прямых, называют линейчатыми. Ясно, что конусы и цилиндры относятся к этому классу. Но для однополостного гиперболоида геометрически такое свойство не очевидно. Тем не менее, как мы убедились, однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью. Более того, он обладает двумя системами прямолинейных образующих. В этом случае говорят, что поверхность является линейчатой поверхностью второго порядка (рис.

28.3).

Вторую систему уравнений прямолинейных образующих однополостного гиперболоида можно получить по аналогии с системой

(28.4):

204

Знаменитый русский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853 - 1939) использовал в строительной технике возможность образования однополостного гиперболоида прямыми линиями. Ему принадлежит идея создания металлических конструкций из балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Эти конструкции обладают большой жёсткостью, прочностью и малым весом. Они применяются для устройства водонапорных башен и высоких радиомачт.

В 1896 году на Всероссийской промышленной и художественной выставке в Нижнем Новгороде были выставлены сетчатые конструкции, изготовленные по проекту В.Г. Шухова: павильоны с висячими покрытиями и павильоны с сетчатыми оболочками, а также гиперболоидная водонапорная башня. Это было моментом рождения рациональной архитектуры, использовавшей новаторские конструктивные формы. В Нижегородской области сохранились подлинные сооружения В.Г. Шухова, являющиеся памятниками инженерного искусства мирового уровня.

Рассмотрим далее уравнение двуполостного гиперболоида

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются гиперболы, пересекающиеся с осью Oz . В сечениях z h , параллельных координатной плоскости xOу ,

при h c будут эллипсы.

205

Рис. 28.4

Но если рассмотреть сечение координатной плоскостью xOу , то

что поверхность не пересекается с координатной плоскостью xOу , также как со всеми плоскостями z h при h c . Следовательно, она состоит из

двух отдельных «полостей», имеющих вид бесконечных выпуклых чаш

(рис. 28.4).

Двуполостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a b, то двуполостный гиперболоид становится поверхностью

определяемой этим уравнением, получаются пересекающиеся прямые, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу – эллипсы (рис.28.5).

Эта поверхность называется конусом.

Рис. 28.5

206

Если a b , то конус становится поверхностью вращения (в этом случае он называется круговым конусом) и может быть получен вращением вокруг

Особенностью конуса является то, что любое его сечение плоскостью, не проходящей через вершину, есть эллипс, гипербола или парабола (в зависимости от наклона секущей плоскости). Поэтому эти классические линии со времён Древней Греции называют коническими сечениями. Часто встречаясь в явлениях природы и деятельности человека, эти линии приобрели особое значение после открытия, сделанного из наблюдений И.Кеплером в 1609 году и теоретически обоснованного И.Ньютоном в 1687 году: планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце.

28.4. Параболоиды. Рассмотрим уравнение эллиптического

параболоида

2z x2 y2 , p q

где параметры p и q положительны. В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются параболы, а в сечениях z h при h 0 – эллипсы (рис. 28.6).

Рис. 28.6

207

Эллиптический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ). При p q параболоид становится поверхностью вращения (в

этом случае он называется параболоидом вращения) и может быть получен вращением параболы вокруг своей оси.

Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида

y2 2qz . Аналогично, каждая плоскость y h пересекает поверхность по

«восходящей» параболе, а каждая плоскость x h – по «нисходящей» параболе. В сечениях, параллельных координатной плоскости xOy ,

получаются гиперболы. Гиперболический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ) и имеет вид «седла» (рис. 28.7).

Поверхность гиперболического параболоида можно также получить

плоскости yOz . «Заставим» теперь нижнюю параболу скользить вершиной по верхней параболе, перемещаясь параллельно плоскости yOz . Эта скользящая парабола и образует гиперболический параболоид.

Рис. 28.7

208