9930
.pdf
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55i cos15isin15 |
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||||||
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5) |
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3cosisin 3 3i |
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||||||||||
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; 6) |
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. |
|
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|||||
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8 |
8 |
|
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3 3 |
||||||
7.13. |
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Выполнить |
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деление: |
1) |
10cosins :2 |
cossin |
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||||||||
|
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; 2) |
||||||||||
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4 4 4 4 |
|||||
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||||||
3 3 |
co210is210inco150: is150in; |
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|||||||||||||
3coisin:coisin |
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||||||||||||||
|
|
|
|
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|
; 3) |
|
||||||||
|
|
4 4 |
2 2 |
|
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||||
|
|
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|||||||
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|||||||
4) |
coisin:coisin co150is150in:cos120sin120 |
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; 5) |
|
|
|
|
. |
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|||||
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|||||||
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3 3 |
|
6 6 |
|
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7.14. |
Возвести |
в степень: 1) |
||
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8 |
12 |
|
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|
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||
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|
; 4) |
cos35isin35 . |
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||
2cos isin |
|
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|
8 |
8 |
|
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|
|
|
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|
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|
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|
10 |
|
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|
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|
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|
|
|
|
3 |
|
3 |
3 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 ; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||
cos isin |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
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|
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||||
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§4. Извлечение корней из комплексных чисел
7.15. Представить в показательной форме числа: 1) z 2i ; 2) z 1 i ; 3) 1; 4) |
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|||||||||||||
3 i |
|||||||||||||||
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|
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|
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; 5) 3 i 3 ; 6) 2 i 6 . |
|
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|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7.16. Представив числа z1 1 i и |
z2 1 i 3 в показательной форме, вычислить: |
||||||||||||||
|
z1 |
|
|
|
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||||||
1) z1 z2 ; 2) |
; 3) z16 ; 4) 4 z1 . |
|
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|||||||||
z |
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
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|
7.16. Извлечь корни из комплексных чисел: 1) i ; 2) 3 1 ; 3) 4 1 ; 4) 3i ; 5) 44 ; 6)
4 2 2i3 ; 7) 61 .
7.17. Найти корни многочлена второй степени (с комплексными коэффициентами) на множестве комплексных чисел и разложить его на
2
множители Q(x)ix2ix13i .
7.18. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если
известен один из его корней x 1 3i.
1
2
7.19. Решить на множестве комплексных чисел уравнение 4x 8x 130.
Глава 8
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1. Непосредственное интегрирование
В задачах 8.1 - 8.24 вычислить интегралы:
|
|
x 3dx |
|
2 |
|
|
x 1dx |
|||||
|
|
x 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.1. |
|
|
. |
8.2. |
3 dx. |
8.3. |
|
|
|
. |
||
|
3 |
|
|
|||||||||
2 |
||||||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
x |
x |
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
x 4 8.4. 2 x dx.
|
x 13 |
8.7. |
dx. |
|
x |
1 x2
8.10. 2 dx. x 1 x
8.13.21 dx.
x7
dx
8.16. x2 9.
2
8.19. ctgxdx.
8.22. 3xexdx.
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.5. |
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|||
x |
|
x |
|
|
|
1 x 2
8.8. dx.
x
8.11. 21 dx. x 27
8.14. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2x |
dx |
|||||
8.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 . |
||||||||||
|
|
|
cosxsinx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3tgx 3 |
||||||||||||
8.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
sinx |
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|||||||
8.23. |
|
2 |
|
5 |
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
3 2 4
x xdx.
x
2
12x
8.9.2 2 dx.
x1 x
8.12.2x2 dx.
x1
dx
8.15. 4 x2 .
8.18. tg2xdx.
|
|
x |
|
x |
|
e |
|
|
|
||
e 1 |
2 |
dx |
|
8.21. |
|
. |
|
|
cosx |
||
|
|
|
3 x 2
8.24. xe 3 x dx. x
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
8.25. |
Будет |
ли |
функция |
|
cos2x 1 2первообразной |
для |
функции |
|||||
sin2x 1? |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.26. |
Пусть |
F x |
- первообразная для функции |
|
1 |
|
|
и |
F 1 . |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
5 4x x |
|
||||
Найти |
F 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2. Интегрирование внесением под знак дифференциала или методом замены переменной
В задачах 8.27 - 8.64 вычислить интегралы:
2xdx
8.27. x2 1.
dx
2 3x . 8.31.
1 3x
8.34. dx.8.35. 3 2x
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3xdx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
8.30. |
||||||
|
|
2 3x dx.8.29. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 5xdx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8.33. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
. |
8.32. |
|
3 |
. |
x4 |
1 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
|
2x 3dx |
|
|
x 1 |
dx |
|
|
|
|
|
x2 |
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x 1 |
. |
8.36. |
x2 1 . |
|
8.37. |
|
x3 1 |
71
|
|
6x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x lnx |
|
|
|
lnx |
||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
8.38. |
2 |
|
|
|
8.40. |
|
dx.8.41. |
||||||||
|
|
. 8.39. |
|
x |
|
. |
|
||||||||
|
23x 5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xdxln x .
8.45. ex dx.
x
e 1
1 sinx
2 dx. cosx
cosx dx
3 2 .
sinx
8.42. |
e3x dx. |
|
|
|
|
8.43. e xdx.8.44. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
dx |
|
|
sinx |
dx |
|||
8.46. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2x |
.8.47. |
2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
9 e |
|
|
|
|
||||||
|
|
sinx |
|
|
|
|
sin2x |
dx |
||||||||
|
e |
|
|
cosxdx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8.49. |
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
.8.50. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
5 2
8.52.cosxsin2xdx. 8.53. xsin1xdx.
e x dx.
x
8.48.
8.51.
8.54.
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
arcsinx |
||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
. |
8.55. 2 dx. 8.56. |
|
2 dx. |
8.57. |
2 |
|
|
||||||||||
|
cosx |
|
|
sinx |
|
|
1 x |
|
|
|
1 x |
.
.
8.58. |
|
dx |
|||
|
|
|
|
||
|
2. |
||||
|
|
|
4 2x 3 |
||
8.61. |
|
|
dx |
||
|
|
.8.62. |
|||
2 |
|
||||
|
x |
2x 2 |
dx 4x x2 .
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
3x arcsinx |
||||||
|
|
8.59. |
|
|
|
|
|
|
. |
8.60. |
|
|
|
dx |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
arccosx 1x |
|
|
1 x |
||||||||||
|
|
dx |
. 8.63. |
|
|
|
dx |
|
8.64. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2. |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
4x 3 x |
|
|
|
|
|
|
1 2x x |
|
|
|
§3. Интегрирование по частям
В задачах 8.65 - 8.92 вычислить интегралы:
8.65. x sinxdx.
8.68. exx dx.
x
8.71. 2 dx. sinx
8.74. x sinxdx.
8.77. lnxx dx.
8.80. arcsinxdx.
8.66. x cos2xdx.
2x
8.69. 3 x e dx.
8.72. x2 dx. cosx
8.75.ln xdx.
8.78.lnx3xdx.
arcsinx 8.81. dx.
1 x
8.67.5x 6sin3xdx.
x
8.70.x 2 dx.
x cosx 8.73. 2 dx.
sinx
8.76.xlnx 1dx.
2
8.79.lnx 1dx.
8.82.arctgxdx.
72
8.83. xarcctgxdx.
2
8.86. x sinxdx.
2 x
8.89. x 2 dx.
8.92. Вычислить разность функции x ln x .
8.93. Вычислить разность функции x 6cos3x.
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
arcsinx |
|
|||||||||||
8.84. |
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
8.85. |
|
1 x |
dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
||
8.87. |
|
ln xdx |
|
|
|
|
|
8.88. |
|
x |
e dx |
|
||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
8.90. |
e sinxdx |
|
|
8.91. |
e cosxdx |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
F2 F1, если |
F x - первообразная для |
|||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
F x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F2 F |
|
|
|
|
|
- первообразная для |
||||||||||||||
|
|
|
, если |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Интегрирование рациональных функций
В задачах 8.94 - 8.113 вычислить интегралы:
x
8.94. x 2dx.
dx
8.97. x 2x 3.
2x 7dx
8.100. 2 . x x 2
x3 1
8.103. 3 dx. x x
8.106. |
x3 1 |
dx |
||
|
||||
|
3 |
. |
||
|
x |
|
x |
dx
8.109. x x2 1 .
8.95.x2 dx.
x3
dx
8.98. x 12x 3.
xdx
8.101. 2 .
2x 3x 2
|
|
|
dx |
|
|||||
8.104. |
|
|
|
. |
|
||||
x x 12 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
8.107. |
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
x x |
|
||||
8.110. |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
8.112. |
|
x 2 |
dx |
8.113. |
|
x 2 |
dx |
||
|
|
|
|
||||||
4 |
. |
3 2 |
. |
||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
x 2x x |
|
8.96.
8.99.
8.102.
8.105.
8.108.
8.111.
x4
2 dx. x 2
x 4dx
.
x 2 x 3
3x 2x 3
2
3 dx. x x
|
|
x 2 |
dx |
||
|
|
|
|||
3 |
x |
. |
|||
|
|
x |
|
||
|
|
x 1 |
dx |
||
|
|
|
|||
4 |
2 . |
||||
|
x |
x |
|
xx3dx1 .
§5. Интегрирование тригонометрических функций
73
В задачах 8.114 - 8.131вычислить интегралы:
sin3xsin7xdx |
sin2xcos6xdx |
|
x |
x |
||
coscodxs |
||||||
8.114. |
. 8.115. |
|
. |
8.116. |
3 |
2 . |
8.117.
8.120.
8.123.
8.126.
8.129.
3
sinxdx.
3
cosx
2 dx. sin x
tg4xdx.
4 cosxdx.
dx
.
5cosx 3
8.118.
8.121.
8.124.
8.127.
8.130.
5
cosxdx .
3
sincosxxdx.
|
2 x |
. |
||
sin |
|
dx |
||
|
|
2 |
|
3sindxx .
dx
1 sinx.
2 3
8.119. sinxcosxdx.
3
8.122. ctg xdx.
2 x
8.125. cos2dx.
dx
8.128. 5cos2x.
dx
8.131. . 1 sinx cosx
§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
В задачах 8.132 - 8.148 вычислить интегралы
8.132.
8.135.
8.138.
8.141.
8.144.
8.147.
x x 5dx.
x1 xdx.
x 1 dx
2x 1 .
1 dx
4x x .
3 2
x1 xdx.
|
1 |
|
|
2 . |
|||
|
|
|
dx |
x x 1
|
1 |
|
|
|
dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.133. |
1 x . |
|
8.134. |
|||||||
|
1 |
|
|
dx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.136. |
1 x 1 . |
8.137. |
1
8.139. dx. 8.140. x x 1
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.142. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.143. |
||||||
3 2 . |
|
||||||||||||||
|
|
x x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.145. |
x1 x dx. |
8.146. |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.148. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
x x |
1 |
|
|
1
dx x 1 .
x 2dx. x
x2 dx. x 1
1
dx
1 3x 2 .
2
9 x dx.
§7. Смешанные примеры
74
8.149. Найти ту первообразную от функции |
1 |
x , которая принимает значение 3 |
|||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
График первообразной F x |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.150. |
для функции |
|
|
|
|
|
|
проходит через |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 4 x 4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
точку |
A 5; 0 . Найти F 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах 8.151 - 8.198 вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4x |
|
dx |
||||
|
|
2 |
|
|
4 4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8.151. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x1 x 2xdx. 8.152. |
x 1 6xdx. 8.153. |
|
7x 1 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3dx |
||
8.154. |
2 |
. |
|
x 4 |
|
xdx
8.157. x4 1.
dx
8.160. x 2x. e 1 e
|
|
|
|
|
|
|
1 xdx |
||
8.163. |
|
|
|
. |
|
x |
|
||
|
|
|
|
x 1 8.166. dx.
1 x
2
8.169. xsinxdx.
2
8.172. x 1dx.
3 2
x x
8.175. sinxcos3xdx.
dx
8.155. 1 9x2 .
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.158. |
|
|
e dx |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2x |
||||||||||
|
|
e |
4 |
||||||||||
8.161. |
|
|
|
|
dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
3 lnx |
|||||||||
8.164. |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x 1 x . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
arccosx |
||||||||
8.167. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
2
8.170. x tg xdx.
4
8.173. x 1dx.
3 2
x x
dx
8.156. 2x2 9.
x x
8.159. e 1 e dx.
lnxdx
8.162. 2 . x 1 lnx
3 5 4
8.165. x 1 5xdx.
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
sin |
|
dx |
||
8.168. |
|
|
x |
. |
|||
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
8.171. |
|
arctgxdx |
|
||||
|
|
|
. |
|
|||
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
sin2x 8.174. dx.
5 cos2x
|
4 |
5 |
|
cos5xcosxdx |
|
sinxcosxdx |
|||||
8.176. |
|
|
. 8.177. |
. |
8.178. |
|
lnx |
dx. |
|
|
|
8.179. |
|||||
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
||||
8.181. |
|
|
|
|
|
|
8.182. |
|||||
|
|
|
x |
. |
||||||||
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
||
8.184. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.185. |
|||
3 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
8x |
27 |
|
tgx dx
cosx
.
3
1 tg xdx.
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
||
|
2 x |
|||
|
||||
2 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.180. |
lnx |
dx. |
|||||
x2 |
|||||||
8.183. |
|
|
2x |
dx. |
|||
|
|
|
|
|
|||
1 4x |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
lnx 2 |
|||||
8.186. |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
75
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.1887 |
|
. |
|
8.188. |
|
|
||||||
|
|
2 2 . |
||||||||||
|
|
|
x 1 x |
|
|
|
cosx |
|
||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
sincosdx |
tg 4xdx. |
||||||||||
8.190. |
2 |
2 |
. |
8.191. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.193.
8.196.
dx
x x .
e 3 e
|
dx |
|
|
|
|
2 . |
||
|
1 2x x |
|
|
|
dx |
||
8.194. |
|
2. |
|||
|
|
2 6x 9x |
|||
|
|
|
x 2 |
|
dx |
8.197. |
|
|
|||
2 . |
|||||
|
|
|
2x x |
dx
8.189. cosx x.
8.192. |
|
|
sin5x |
dx |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
5 cos5x |
. |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
x 1 |
|
dx |
|
|
8.1965 |
|
|
|
|
|||
|
2x 1 . |
|
8.198. tg7xdx.
Глава 9
Определенный интеграл
§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и внесение функции под знак дифференциала
В задачах 9.1 - 9.12 вычислить интегралы:
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
dx |
|
|
|
|
|
9.1. 5x2dx. |
|
9.2. |
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
cos |
2 x |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
dt |
|
|
|
5 |
dx |
|
|
|
|
|||
9.5. |
|
|
|
|
. |
9.6. |
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
||||||||||
|
3t 4 |
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
dx |
|
2 x 3 |
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.9. |
|
2 |
|
|
|
|
. 9.10. |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
. |
||||||||||||
|
1x |
5x 4 |
0 x |
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||
9.3. 1 e4 |
dx . |
9.4. |
|
|
|
dx. |
||||||||||||
|
xe |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|||||
9.7. |
|
|
|
|
|
. |
9.8. |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
0 2x 1 |
|
|
1 x |
|
x |
|
|||||||||||
|
e ln2 xdx |
|
3 |
|
|
dx |
|
|||||||||||
|
e |
|
|
|||||||||||||||
9.11. |
|
|
|
. |
9.12. |
|
|
|
1 lnx. |
|||||||||
|
x |
x |
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
§2. Замена переменной в определённом интеграле
В задачах 9.13 - 9.24 вычислить интегралы:
4 1
9.13. dx.
01 x
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.14. 1 2x 1 . |
||||
0 |
|
|
|
1xdx
9.15.15 4x .
76
13 x 1
9.16. 3 dx.
0 2x 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
dx |
||||||||
9.19. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|||||||||
|
2 x x 4 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
e41 lnx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
9.22. |
|
|
|
|||||||
x |
. |
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
dx |
||||
9.17. |
|
|||||
1 3 |
x 1. |
|||||
1 |
|
|
|
|
||
ln2 |
|
|
|
|
||
x |
1dx |
|||||
|
|
|||||
9.20. |
e |
|||||
|
|
. |
||||
0 |
|
|
|
|
9.23. 4 2tgx 7dx.
2 2
0cosx 9sinx
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
9.18. |
4 x dx |
||||||
|
|
|
|
|
. |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ln8 |
|
dx |
|
|
|
||
9.21. |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|||||
ln3 |
1 e |
|
3 x
9.24.0 6 xdx.
§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле
В задачах 9.25 - 9.36 вычислить интегралы:
1
9.25. xe x dx.
0
1
9.28. arctgxdx.
0
4 |
xdx |
|||
9.31. |
||||
|
. |
|
||
sin 2 3 x |
||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x cos xdx |
|||
9.34. |
|
. |
||
sin 3 x |
||||
4 |
|
|
|
2
9.26. . x 1cosxdx
0
e lnxdx
9.29. x3 .
1
1
9.32. x2e 2xdx.
0
2
9.35. x22 xdx.
1
9.27. xsinxdx.
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
xdx |
|
9.30. |
0 |
|
. |
cos 2 x |
1
9.33. x arctgxdx.
2
0
e
9.36. 1 lnx2dx.
1
§4. Несобственные интегралы
В задачах 9.37 - 9.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами интегрирования (1 рода) или установить их расходимость:
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9.37. |
|
|
|
|
. |
|
|
9.38. |
|
|
|
|
. |
|
|
9.39. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
1 x2 |
|
|
xdx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
9.40. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
9.41. |
|
|
|
|
|
dx. |
9.42. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
1 |
|
|||||||||||||
|
2 x 1 |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
lnxdx |
|
|
|
|||||||||||||||||
9.43. |
|
|
|
|
. |
9.44. |
|
|
|
|
|
. |
9.45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
2x |
2x 3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
9.46. e 4xdx.
0
9.49. e x3 x2dx.
0 |
|
|
|
|
|
xdx |
|||
9.52. 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
x2 33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x |
|
|
e x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9.47. |
xe |
dx |
|
9.48. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||
|
arctgxdx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9.50. |
|
|
|
|
|
. |
9.51. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
x |
1 |
|
|
e x ln x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||
9.53. |
|
|
|
. |
|
|
9.54. |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
0 x 1 |
|
|
|
|
x 2x 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 9.55 - 9.63 вычислить интегралы от разрывных функций (2 рода) или установить их расходимость:
3dx
9.55.9 x2 .
0
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.58. 4 |
dx |
. |
||
|
||||
0 |
|
x ln x |
2 dx
9.61.03 x 12 .
|
2 |
|
xdx |
|
|
|
||||
9.56. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 1 |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|
|||
9.59. |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
01 cos2x |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.62. |
e x dx |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1
9.57. ln xdx.
0
2 dx
9.60.x 1 2 .0
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
9.63. |
e x dx |
. |
|||
|
|
|
|
||
|
x 2 |
||||
|
0 |
|
|
§5. Приложения определённого интеграла
В задачах 9.64 - 9.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
|
y x2 x |
|
|||
9.64. |
|
|
|
|
. |
|
y x 1 |
|
|||
|
y sinx 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2x . |
|||
9.67. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
||
|
y x |
|
|||
9.70. |
|
2 . |
|||
|
y x 2x |
2
9.65.y 4x x .
y x 0
y x 12
9.68..y x 1
y cosx
9.71. x y .
2 2
y x2 1 9.66. y 3 x2 .
y x2
9.69. .
y 22x
|
y |
|
|
|
|
x 3 |
|
||
|
|
x 3 |
|
|
9.72. |
|
. |
||
|
y 0 |
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
78
|
|
y tg x |
||
|
|
|||
|
|
y |
0 . |
|
9.73. |
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
y x
9.76.y 4 3x .
y 0
|
y x 2 |
|
|
|
|
lg x lg y 0 |
|
|
9.79. |
y 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
y x 3 |
|
|
|
|
y 2 x |
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
9.74. |
|
|
. |
|
9.75. x 2y 2 0. |
||||
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 0 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x2 3x |
|
|
y e 2 x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.77. |
y 6 2x . |
9.78. |
y e 2 x . |
|
|||||
|
|
x 0 |
|
|
x 3 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 1 2 |
|
|
y 4 x x 2 |
|
||||
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
||
9.80. |
|
. |
9.81. |
|
. |
||||
|
y |
0 |
|
y 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x 5 |
|
|
|
y 3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
В задачах 9.82 - 9.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями в полярных координатах:
9.82. |
3,0 2 |
9.83. |
2cos |
|
9.84. |
2sin |
||||||||||
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
. |
|||||
9.85. cos2 . |
|
9.86. 2sin2 . |
|
9.87. 4cos3 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
21 sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.88. |
1 sin |
|
9.89. |
|
9.90. 21 cos. |
|||||||||||
|
|
. |
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
9.91. 21 sin. |
9.92. |
|
|
9.93. |
|
|
|
|||||||||
2cos. |
|
2sin. |
||||||||||||||
|
В задачах 9.94 - 9.102 вычислить площади фигур, ограниченных линиями: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 3cost |
|
|
x 2 2cost |
|
|
x 2cost |
|||||||||
9.94. |
|
|
. |
9.95. |
. |
|
9.96. |
|
|
|
. |
|||||
|
y 3sint |
|
|
y 3 2sint |
|
|
y 4sint |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 2 3cost |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x cost |
|
|
|
|
||||
9.97. |
|
|
|
|
. |
9.98. астроидой |
|
3 , t 0;2 . |
|
|||||||
|
y 3 2sint |
|
|
y sin t |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x t sint |
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.99. Одной аркой циклоиды |
|
и осью x. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y t cost |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x t sint |
|
|
1 |
( 0 x 2 ). 9.101. |
|||||
9.100. Первой аркой циклоиды |
и прямой y |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y t cost |
|
2 |
|
|
|
|
||||
x 2cost |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x 8cost |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, y 3 y 3 . |
9.102. |
|
3 , x 1 x 1 . |
|
|
|
|
|||||||
y 6sint |
|
|
|
|
|
y 8sint |
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 9.103 - 9.111 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси x фигур, ограниченных линиями:
79