Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9869

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

	a x	0	x	0	x	b	x
	0				0
				Рис. 64
Необходимое условие перегиба функции							y f x в точке x0 : если
x0 – точка перегиба функции			y f x и			функция y f x имеет в
некоторой	– окрестности точки x0				вторую производную, непрерывную
в точке x0 , то	f x0 0 .
Достаточное условие перегиба функции y f x в точке x0 : если
функция y f x непрерывна в – окрестности точки x0 , имеет в точке
x0 конечную или бесконечную определенного знака производную f x0 ,
а функция f			–		окрестности точки x0 , кроме быть
	x определена в

может самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то x0 –

точка перегиба функции y f x .

Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции y x3 3x 1.

Решение. Область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D R .

Находим:

y x3 3x 1 3x2 3 ; y y 3x2 3 6x .

Используя необходимое условие перегиба, находим:

y 0 6x 0, откуда x 0 – точка «подозрительная» на точку

перегиба.

Используем достаточные условия перегиба:

Отметим точку x 0 на области D и определим знаки y слева и справа от точки x 0.

y
y		0	x
Так как x 0 D и при переходе через эту точку y меняет знак, то
x 0 – точка перегиба данной функции.						;0
Так как для любого	x 0		то	в	интервале
		y x 0 ,
функция y выпукла вниз.						0;
Так как для любого	x 0		то	в	интервале
		y x 0,

функция y выпукла вверх.

Основные требования к результатам исследования и построения графика:

1) все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;

2) все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;

3) масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;

4) на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;

5) обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;

6) обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;

7) обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными осями.

y x 3 2

Пример. Построить график функции . x 1 3

Решение.

1. Областью определения D данной функции y является множество всех действительных чисел R , кроме x 1, то есть D R \ 1 .

2. Поскольку y x	x 3 2	x 3 2	и y x y x и
	x 1 3
		x 1 3
y x y x , то функция	y не является четной и нечетной, то есть

данная функция y общего вида.

3. Находим асимптоты кривой.
Поскольку lim	x 3 2	1 3 2	4	, то	x 1 – уравнение
Поскольку lim	x 1	1 1	0	, то	x 1 – уравнение
x 1	3	3
x 1

вертикальной асимптоты графика данной функции y .

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y kx b :

y x

x 3 2

k lim

lim

x 3 2

x x 1

x x 1 3

lim

2 x 3 1

lim

2x 6

x 3 3 x 3 x 1 2 1

x 1 3x

x x 1 2

2x 6

lim

2x 6

x 1

x 1 2 4x 1

lim

;

2 x 1 4x 1 x 1 2 4

x 3

y x kx lim

b lim

0 x

lim

x 1

2 x 3

lim

3 2

lim

x 1 3

3 x 1

lim

x 3

lim

0 0.

x 1 2

2 x 1

Следовательно

y 0 –

уравнение

горизонтальной

асимптоты

графика

данной функции y .

4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.

	2	2	3	2	3
	2	2	3	2	3
y	x 3	x 3	x 1 x 3		x 1
	3		3	2
	x 1		x 1

2 x 3 x 1 3 x 3 2 3 x 1 2
x 1 6
x 1 6
2x2 8x 6 3x2 18x 27	x2 10x 21
x 1 4		x 1 4
73

x 3 x 7

x 1 4

Используя необходимое условие экстремума, находим

y 0

x 3 x 7 0,

откуда

x1 3

или x2 7 ;

y не существует

x 1 4

0, откуда x3

Используем достаточные условия экстремума. Найденные три

критические точки наносим на область определения D и определяем знак

y в каждом из четырех интервалов.

0 3 0 7

y 0

0 1 4

21 0

Так как

3 D

и при переходе через эту точку

y меняет знак

минус

на

плюс,

то

–

точка

минимума

функции

y ,

y 3

3 3 2

0 .

3 1 3

Так как

7 D и при переходе через эту точку

меняет знак

плюс

на

минус,

то

–

точка

максимума

функции

y ,

y 7

7 3 2

7 1 3

216

Так

как

при

x 1,

1 x 3,

x 7

интервалах

y x 0 , то

;1 , 1;3 ,

7; функция y монотонно убывает.

Так как при 3 x

функция y

y x 0, то в интервале 3;7

монотонно возрастает.

5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки

перегиба.
		x 3 x 7
		x 3 x 7
y y			4
		x 1
			4	4
	x 3 x 7 x		1	x 3 x 7 x 1
			x 1 4 2
			x 1 4 2
				74

x 7 x 3 x 1 4 x 3 x 7 4 x 1 3

x 1 8

2x 10 x 1 4 x2 10x 21

x 1 5

2x2 12x 10 4x2 40x 84

2x2 28x 74

x 1 5

Итак,

2 x2 14x 37

x 1 5

Используя

необходимое условие перегиба,

находим

y 0

x2 14x 37 0 ,

196 148

7 2

или x

, откуда

3 ;

1, 2

1,2

y не существует x 1 5 0 , откуда x3 1.

Используем достаточные условия перегиба.

7 2 3

74 0 .

y 0 1

Так как точки x1,2 7 2

D и при переходе через эти точки

меняет знак, то x1,2 7 2

3 – точки перегиба графика функции y .

Так

как при

x 1,

7 2

3 x 7 2

то

x 0 ,

интервалах ;1 ,

7 2

функция y выпукла вниз.

3;7 2

Так

как при

1 x 7 2

3 ,

x 7 2

то

x 0,

1;7 2

, 7 2

интервалах

функция y выпукла вверх.

6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными

осями:

x 3 2 0, откуда x 3;

Ox :

y 0

0 3 2

Oy : x 0 y 0 1 3

9 .

7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).

	2
y 0	27
	0 1 3 7 2 3 7	7 2 3	x

-9

x 1	Рис. 65

Контрольные задания

				Задание 1
Найти матрицу C AT B , если:
	2	3		1	0
1.01. A			, B			.
	4	5		2
	4	5		2		3
	0	2		4	1
1.02. A			, B			.
	3	1		0	6
	3	1		0	6
	3	2		4	3
1.03. A			, B			.
	0	4		2
	0	4		2	1
3		0		2	1
1.04. A			, B			.
	2	1		0
	2	1		0	3

		4	1			0		1
1.05.	A		,		B				.
		0				1		6
		0	5			1		6
		2	0		2				1
1.06.	A			, B						.
		0	4				0		5
		0	4				0		5
1.07.		0	2				1		2
1.07.	A			, B							.
		1	3				1			2
		1	3				1			2
1.08.		3	4				0		6
1.08.	A			, B							.
		5	1				2
		5	1				2		3
	2		0		4				0
1.09.	A			, B						.
		3	1				1		6
		3	1				1		6
	4		1				2			1
1.10.	A				, B							.
		0	5					0		1
		0	5					0		1

Задание 2

Решить систему по правилу Крамера.

3x1 x2 3x3 6
	x1 x2		x3	0 .
2.01.
		3x2	4x3 2
2x1
4x1 x2 x3 3
	x1	x2 5x3		2 .
2.02.
		3x2	x3	1
2x1

x1 x2 5x3 5

2.03. 2x1 3x2 2x3 3.

x1 2x2 3x3 0

x1 3x2 x3 2
	2x1 x2 2x3 0 .
2.04.
3x x			2	5x 2
	1			3
	x1 x2 4x3 2
		2x2 x3 3.
2.05. x1
	x1 3x2 x3 4

	3x1 x2 x3 0
	x1 x2			3x3				4 .
2.06.

2x1 x2 3x3 4
	x1 x2 x3 1
							3x3 2 .
2.07. 2x1 x2
	2x1 x2 2x3 1

x		4x				x		0
	1		2				3
2.08. 2x1 x2					2x3			0 .
								4
2x1 2x2 x3
4x1 x2 x3 3
		2x2			x3 1.
2.09. x1
								0
x1 x2 3x3
x1 x2 x3 0
	2x1 x2 x3							1 .
2.10.
3x 3x				2		2x 5
	1							3

Задание 3

Дана пирамида ABCD . Найти:

1)угол ABC грани ABC ;

2)площадь грани BCD ;

3)объем пирамиды ABCD , если

3.01. A 1; 2;3 , B 0; 1;1 , C 1;0; 2 , D 2;3;0 . 3.02. A 4;3;1 , B 0; 2;3 , C 3;0; 3 , D 1;1;0 . 3.03. A 2;3; 4 , B 0; 1;1 , C 3;0; 2 , D 2;3;0 . 3.04. A 3; 4;1 , B 0; 1;3 , C 2;0; 1 , D 1; 2;0 . 3.05. A 4;5; 2 , B 0; 2;1 , C 1;0; 3 , D 2; 2;0 . 3.06. A 3; 2;1 , B 0;1; 2 , C 2;0; 1 , D 3;3;0 . 3.07. A 1;3;5 , B 0; 2; 1 , C 2;0;3 , D 2; 1;0 . 3.08. A 1; 4;6 , B 0;1; 1 , C 2;0; 2 , D 1; 2;0 .

3.09.A 2; 4;1 , B 0; 1; 2 , C 1;0; 2 , D 2;1;0 .

3.10.A 3;1; 2 , B 0; 1; 3 , C 1;0;1 , D 1;3;0 .

Задание 4

Дан ABC . Найти:

1)уравнения его сторон;

2)уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ;

3)уравнение медианы AM ;

4)уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной

медиане AM , если
4.01. A 0; 2 ,	B 1;0 , C 2;1 .
4.02. A 0; 1 , B 2;0 , C 3; 4 .
4.03. A 0;1 ,	B 1;0 , C 4;3 .
4.04. A 0;3 ,	B 1;0 , C 2;1 .
4.05. A 0; 2 , B 1;0 , C 3; 4 .
4.06. A 0; 4 ,	B 4;0 , C 2; 3 .
4.07. A 0;3 ,	B 3;0 , C 2; 3 .
4.08. A 0;1 ,	B 3;0 , C 2; 3 .

4.09.A 0; 1 , B 3;0 , C 4; 2 .

4.10.A 0; 2 , B 2;0 , C 1;1 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.37 Mб09864.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09865.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09866.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09867.pdf
#
25.11.20233.37 Mб09868.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09869.pdf
#
21.11.2023167.3 Кб0987.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09870.pdf
#
25.11.20233.38 Mб09871.pdf
#
25.11.20233.38 Mб19872.pdf
#
25.11.20233.39 Mб09873.pdf