9807
.pdfЛекция 37. Производные сложных функций
37.1. Дифференцирование сложных функций. Будем предполагать,
что функция z = f ( x, y) |
имеет непрерывные частные производные в об- |
||||||||||||
ласти D , а функции x(t ) |
и y(t ) |
имеют непрерывные производные в про- |
|||||||||||
межутке α ≤ t ≤ β . Тогда функция |
z = f ( x(t), y(t)) – сложная функция од- |
||||||||||||
ной переменной t . Для производной |
dz |
|
этой функции справедлива сле- |
||||||||||
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дующая формула |
|
|
|
∂f |
|
+ ∂f |
|
|
|
||||
|
|
dz |
= |
dx |
dy |
. |
(37.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dt |
∂x dt |
∂y dt |
|
||||||||
Для доказательства рассмотрим приращение |
|
||||||||||||
z = f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) = f ( x, y ) − f ( x0 , y ) + f ( x0 , y ) − f ( x0 , y0 ) . |
|||||||||||||
В первой из разностей изменяется только |
x , а во второй – |
только y , т.е. |
каждая из этих разностей – это функция одной переменной. Применим к ним формулу Лагранжа (формулу конечных приращений)
z = fx′(ξ, y)(x − x0 ) + f y′(x0 ,η)( y − y0 ) ,
где ξ |
лежит в интервале между x и x0 , а η – между y |
и y0 . К разно- |
стям |
x − x0 и y − y0 опять применим формулу Лагранжа |
|
|
x − x0 = x(t ) − x(t0 ) = x′(t1 )(t − t0 ) = x′(t1 ) t |
|
|
y − y0 = y (t ) − y (t0 ) = y′(t2 )(t − t0 ) = y′(t2 ) t , |
|
где t1 , t2 расположены между t и t0 . Таким образом, |
|
|
|
z = fx′(ξ, y)x′(t1) + fy′(x0 ,η) y′(t2 ) . |
|
|
t |
|
Переходя в этом равенстве к пределу и замечая, что при |
t → 0 имеем |
t → t0 t1 , t2 → t0 x → x0 , y → y0 ξ → x0 ,η → y0 ,
с учетом непрерывности всех, входящих в это равенство функций, получаем
260
dz |
= fx′(x0 , y0 )x′(t0 ) + f y′(x0 , y0 ) y′(t0 ) . |
||
|
|
|
|
|
|||
dt t0 |
|
В силу произвольности значения t0 приходим к формуле (37.1). Заметим, что это естественное обобщение формулы производной
сложной функции одной переменной. В случае большего числа переменных, например, если z = f (u(t), v(t), w(t)) , то
dz |
= |
∂f |
du |
+ |
∂f |
dv |
+ |
∂f |
|
dw |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
dt |
∂u dt |
∂v dt |
∂w dt |
37.2. Вычисление производной по направлению. Теперь мы можем получить формулу для вычисления производной по направлению. В самом деле, согласно определению (37.1) производная по направлению совпадает
с |
производной от |
сложной |
функцией |
z = f ( x( s), y( s)) , |
где |
||
x( |
s) = x0 + s cos α, y( |
s) = y0 + |
s sin α . Применяя формулу (37.1), |
полу- |
|||
чаем |
|
∂z |
∂f |
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= ∂x cos α + ∂y sin α . |
(37.2) |
|||
|
|
|
∂l |
Обратим только внимание на тот факт, что в определении производной по направлению мы приближаемся к данной точке с одной стороны, т.е. имеем односторонний предел. Например, частная производная по отрицательному направлению оси абсцисс отличается знаком от частной производной по переменной x .
Аналогичным образом вводится понятие производной по направлению для функции трёх переменных u = F ( x, y, z)
∂u |
= |
∂F |
cos α + |
∂F |
cosβ + |
∂F |
cos γ, |
∂l |
∂x |
∂y |
∂z |
где e = cosαi + cosβ j + cosγk – единичный вектор заданного направления l , а α, β, γ – углы между осями координат и этим вектором.
Приведём без доказательства формулы для производной сложной функции z = f (u,v) , u = u( x, y), v = v( x, y) . В итоге
z = f (u( x, y), v( x, y)) = Φ( x, y)
будет функцией двух переменных и ее частные производные находятся по формулам
∂z ∂f ∂u |
|
∂f ∂v |
|
∂z |
|
∂f ∂u |
∂f ∂v |
∂x = ∂u ∂x |
+ |
∂v ∂x |
, |
|
= |
∂u ∂y |
+ ∂v ∂y . |
∂y |
|||||||
|
|
261 |
|
|
|
|
37.3. Дифференцирование неявных функций. Полученные нами правила дифференцирования сложных функций позволяют более просто, чем ранее, находить производные функций, заданных неявно. Пусть урав-
нение F ( x, y) = 0 определяет |
y = ϕ( x) |
как некоторую дифференцируемую |
||||||||
функцию. Тогда имеем тождество F ( x, ϕ ( x)) ≡ 0 . |
|
|
||||||||
Дифференцируем его по переменной |
x , рассматривая левую часть |
|||||||||
как сложную функцию одной переменной, где |
x = x . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ϕ(x) |
|
|
∂F |
dx |
+ |
∂F |
dy |
= 0 |
|
dy |
= − ∂F |
∂F . |
(37.3) |
|
|
dx |
||||||||
∂x dx |
∂y dx |
|
∂x ∂y |
|
||||||
Пусть теперь уравнение |
F ( x, y, z) = 0 |
определяет |
z = z( x, y) |
как не- |
которую функцию двух переменных, у которой существуют частные производные. Как их найти?
Продифференцируем тождество F ( x, y, z( x, y)) ≡ 0 по переменной x , рассматривая его левую часть как сложную функцию F (u, v, w) , где «про-
межуточные» функции имеют вид: |
u = x , |
v = y , z = z( x, y) : |
||||
∂F |
dx |
+ |
∂F |
dy |
+ |
∂F ∂z = 0 . |
|
|
|||||
∂x dx |
∂y dx |
∂z ∂x |
Поскольку x и y независимые переменные, то dy = 0 и, следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
∂z |
∂F |
∂F |
||||
|
∂x = − ∂x |
∂z . |
|||||
Аналогично, из равенства |
|
|
|
|
|||
∂F |
dx |
+ |
∂F |
dy |
+ |
∂F ∂z = 0 |
|
|
|
|
|||||
∂x dy |
∂y dy |
∂z ∂y |
|||||
получаем |
|
|
|
|
|||
|
|
∂z |
= − ∂F |
∂F . |
|||
|
|
∂y |
|||||
|
|
|
∂y |
∂z |
37.4. Градиент. При исследовании поведения функции двух переменных в данной точке естественно задаться вопросом: в каком направлении производная самая большая? Другими словами, в каком направлении у поверхности z = f ( x, y) в данной точке самый крутой склон?
Для ответа на этот вопрос введем следующий вектор
|
|
∂f |
|
+ |
∂f |
|
gradz = |
∂x |
i |
∂y |
j , |
||
|
|
|
|
|
||
|
262 |
|
|
|
|
называемый градиентом. Предполагаем, что этот вектор не нулевой. Тогда согласно (37.2) производная по направлению в данной точке равна скалярному произведению градиента в этой точке на единичный вектор заданного направления
∂z |
∂f |
∂f |
|
|
= ∂x cos α + ∂y sin α = (grad z,e) . |
||
∂l |
Из равенства
∂z = (gradz,e) = gradz × e cos j,
¶l
где ϕ – угол между векторами, видно, что направление наибольшего возрастания функции должно совпадать с направлением градиента функции в данной точке, т.к. наибольшее значение правой части этого равенства достигается при ϕ = 0 . Теперь становится понятным геометрический смысл градиента.
Градиент – это вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке. Название происходит от латинского
gradior – идти вперёд. Термин и обозначение ввёл Максвелл, позаимствовав его из метеорологии. При первом появлении (1873г.) он намеревался дать название «скат» или «склон» скалярной функции f , используя слово slope, чтобы указать направление наиболее быстрого убывания функции f . Это свойство градиента применяется для численного поиска экстремумов функции многих переменных.
В трёхмерном случае градиент определяется как вектор, координаты которого есть частные производные скалярной функции u = F ( x, y, z)
|
∂F |
+ |
∂F |
+ |
∂F |
gradF = |
i |
j |
k . |
||
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
Выясним геометрический смысл модуля градиента функции двух переменных. Пусть e – единичный вектор направления наибольшего возрастания функции в данной точке. Тогда производная по этому направлению равна
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (gradz,e) = |
gradz |
= z¢2 |
+ z¢2 . |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
x |
y |
|||
¶e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда следует, что модуль градиента – это «скорость» изменения функции в направлении наибольшего возрастания функции в данной точке. Как характеризует величина этой «скорости» поверхность z = f ( x, y) в окрестности данной точки? Рассмотрим сечение поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через точку M ( x0 , y0 ) и вектор e (см. рис. 37.1).
263
z = f ( x, y)
M 1
e
αM 0 ( x0 , y0 )
B
|
|
|
|
|
Рис. 37.1 |
|
|
|
|
|
|
Касательная |
BM 1 к сечению поверхности в точке M 1 ( x0 , y0 , z0 ) составляет |
||||||||||
с вектором |
e , а значит и с плоскостью |
xOy , |
угол |
|
α , тангенс которого |
||||||
равен |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
′ |
2 |
′ |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
tgα = |
= |
|
gradz |
= |
|
|
|
|||
|
|
zx |
|
+ zy . |
|||||||
|
|
∂e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту величину называют крутизной подъёма поверхности в данной точке. Теперь убедимся в том, что в каждой точке градиент направлен по нормали к линии уровня f ( x, y) = C , проходящей через данную точку. Пусть функция z = f ( x, y) имеет непрерывные частные производные, а её линия уровня, проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 ) , имеет касательную в этой точке. Обозначим направление этой касательной единичным векто-
ром e . Тогда производная по этому направлению в точке |
M 0 из интуи- |
||||||||
тивных соображений должна быть равна нулю. Убедимся в этом. |
|||||||||
Угловой коэффициент k1 касательной к линии уровня |
f ( x, y) = C с |
||||||||
учетом формулы (1.4) дифференцирования неявно заданной |
функции ра- |
||||||||
вен |
|
|
|
|
= − ∂f |
∂f . |
|
||
|
|
|
k = |
dy |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
dx |
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С другой стороны, угловой коэффициент |
k2 прямой «в направлении гра- |
||||||||
диента» равенk = |
∂f |
∂f . Так как |
k k = −1, то эти прямые взаимно пер- |
||||||
|
2 |
∂y |
∂x |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пендикулярны (см. рис. 37.2), т.е. производная в направлении касательной к линии уровня равна нулю
264
|
∂z |
|
|
|
|
= (gradz,e) = 0 . |
|
|
∂e |
|
|
|
e |
|
grad z |
f ( x, y) = C |
90o |
|
|
|
M 0 |
|
k1 = tg α |
k2 = tgβ |
|
|
|
β |
|
α |
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 37.2
Пример. Найти направление наибольшего возрастания функции
z= 4 − x2 − 0, 25 y2
икрутизну подъёма её графика в точке M 0 (1, 2) .
Искомое направление будет указывать градиент этой функции в данной точке. Находим его (см. рис. 37.3)
|
|
|
|
|
grad z =-2x×i |
-0,5y× j |
x=1 |
= -2i |
- j |
|
|
y=2 |
|
|
|
|
|
|
y
β
α
M 0 (1, 2)
x
Рис. 37.3
Крутизна подъёма поверхности в данной точке равна (см. рис. 37.4)
tgϕ = −2i − j = 5 ϕ ≈ 66 .
265
z
x
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.4 |
|
|
|
|
37.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Пусть по- |
|||||
верхность задана уравнением |
F ( x, y, z) = 0 . Будем предполагать, |
что в |
||||
точке |
|
|
∂F |
|
∂F |
|
поверхности M 0 ( x0 , y0 ,z0 ) частные производные |
, |
|
, |
|||
|
∂F |
|
|
∂x 0 |
|
∂y 0 |
|
существуют, непрерывны и хотя бы одна из них отлична от нуля. |
|||||
|
|
|||||
|
∂z 0 |
|
|
|
|
|
Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L , проходящую через |
||||||
точку |
M 0 . Пусть она задана параметрическими уравнениями |
|
|
|||
|
|
x = x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
0 ( x0 , y0 , z0 ) = M 0 ( x(t0 ), y(t0 ), z (t0 )) . |
|
|
|
|
|
y = y(t) , M |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z(t) |
|
|
|
|
Будем предполагать, |
что функции x(t), y(t), z(t) дифференцируемы при |
|
значении параметра |
t = t0 , соответствующем точке |
M 0 . Поскольку кри- |
вая L принадлежит поверхности, то имеем тождество |
F ( x(t), y(t), z(t)) ≡ 0 , |
|
левая часть которого дифференцируема в точке t = t0 |
как сложная функ- |
ция. Дифференцируя это тождество, получаем
∂F |
dx |
+ |
∂F |
dy |
+ |
∂F |
dz |
≡ 0 . |
(37.4) |
|
|
|
|||||||
∂x dt |
∂y dt |
∂z dt |
|
||||||
|
|
|
266 |
|
|
|
|
Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух переменных
38.1. Дифференцируемость функции двух переменных. Диффе-
ренциал. Вспомним, что дифференцируемость функции одной переменной y = f ( x) в данной точке означает существование производной функции в этой точке. Если функция y = f ( x) дифференцируема в точке x0 , то её приращение в этой точке может быть представлено в виде
Dy = f ′(x0 ) × Dx + a(Dx)Dx ,
где α( x) → 0 при x → 0 . Более подробная запись этой формулы
y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) + α( x) x
«раскрывает» и геометрическое содержание свойства дифференцируемо-
сти: в окрестности точки |
x0 кривая |
y = f ( x) отличается от своей каса- |
||
тельной в этой точке |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = y0 + f (x0 )(x − x0 ) |
|
||
на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x |
(см. рис. |
|||
38.1). |
|
|
|
|
y |
|
|
y = f ( x) |
|
|
( x, y) |
|
касательная |
|
|
|
( x,Y ) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x0 |
x + |
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
Рис. 38.1 |
|
|
|
Как перенести это свойство на функции двух переменных? |
Нельзя |
|||
ли функцию z = f ( x, y) , |
имеющую в точке |
(x0 , y0 ) непрерывные частные |
производные, представить приближённо в виде линейной функции двух переменных, т.е. чтобы её приращение в точке (x0 , y0 ) имело вид
269