9805

17.3. Непрерывность функции. Понятие предела функции позволяет сформулировать такое важное свойство функции как ее непрерывность в данной точке. Интуитивно ясно, что непрерывной зависимости соответствует ситуация, когда «малое» изменение аргумента вызывает «малое» изменение значения функции. Геометрически это означает, что график этой функции рисуется, не отрывая карандаша от бумаги, т.е. непрерывно. Математически это понятие определяется следующим образом.

Функция f (x) непрерывна в точке x0 , если эта точка вместе с некоторой ее окрестностью входит в область определения функции и

x→x0

120

Фактически условие (17.3) означает, что

т.е. при нахождении предела непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами. Пример использования этого свойства непрерывной функции рассмотрим в связи с отысканием следующего предела

Здесь мы поменяли местами порядок взятия предела и вычисления функции и применили второй замечательный предел.

Условие (17.3) также может быть записано в эквивалентном виде

lim [ f (x) − f (x0 )] = 0 ,

x−x0 →0

означающее, что приращение непрерывной функции f = f (x) − f (x0 )

стремится к нулю, когда приращение аргумента x = x − x0 стремится к нулю, т.е.

lim f = 0 .

x→0

Из определения следует, что для непрерывной в точке функции предел слева равен пределу справа и равен значению функции в этой точке

Если нарушается хотя бы одно из этих равенств и оба односторонних предела существуют и конечны, то говорят, что в данной точке функция имеет разрыв первого рода. В остальных случаях нарушения условий непрерывности, т.е. когда хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, у функции в этой точке разрыв второго

рода. Например, функция y = x непрерывна во всех точках области оп- | x |

ределения, а в точке x0 = 0 «терпит» разрыв первого рода.

Отметим так называемый устранимый разрыв, когда односторонние пределы в точке конечны и равны, а в самой точке функция или не определена или ее значение не совпадает с односторонними пределами. В

121

17.4. Свойства непрерывных функций. Функция называется непре-

рывной в данном интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения. Соответствующие свойства предела функции позволяют утверждать, что сумма, произведение, частное (когда знаменатель не равен ну-

лю) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Покажем, что сложная функция, представляющая собой суперпози-

Очевидно также, что обратная к непрерывной функции тоже непрерывна (напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла).

122

Если непрерывная функция на концах замкнутого промежутка принимает значения разных знаков, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна точка, в которой функция обращается в ноль (см. рис.17.5).

Рис. 17.5

Это свойство применяется для поиска решения уравнения f (x) = 0 в заданном промежутке. Обычно задают допустимую погрешность ε , с которой этот корень нужно вычислить. Это значит, что нужно найти такой промежуток [a,b] , содержащий корень ξ ( f (ξ) = 0 ), что его длина b − a < ε. Предполагается, что вычисление значений функции f ( x) проблемы не составляет. Рассмотрим метод поиска корня на примере уравнения

f ( x) = x3 − 3x2 + 3 = 0 .

Функция f (x) всюду непрерывна. То, что это уравнение имеет, по крайней мере, один корень, видно из следующего представления этой функции

при x → + ∞ , f (x) > 0 . Значит, график непрерывной функции, по крайней мере, один раз пересечёт ось абсцисс. Сделаем попытку графического решения уравнения, представив его следующим образом: x3 = 3( x2 − 1) .

Видно, что в пределах чертежа обнаружились два корня, являющиеся абсциссами точек пересечения графиков функций y = 3( x2 − 1) и y = x3 (см. рис.17.6). Так как при x > 0 растет быстрее, чем y = 3( x2 − 1) , то графики этих функций пересекутся еще раз. Действительно, вычислив

123

Рис. 17.6

Вычислим с точностью до 0,1 корень уравнения из промежутка [1;1,5]. Воспользуемся так называемым методом деления пополам. Под-

находится в промежутке 1,3 < x < 1, 4 . Таким образом, поставленная задача решена. В дальнейшем мы познакомимся с более совершенными методами вычисления корней, где для достижения цели не требуется столь частого вычисления значений функции.

y

M

Рис. 17.7

Непрерывная функция ограничена на замкнутом промежутке и принимает свои наименьшее и наибольшее значения в этом проме-

жутке m = f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) = M .

124

Если функция определена на открытом промежутке, то она может быть неограниченной в этом промежутке. Например, функция f (x) =1/ x не ограничена в промежутке (0,1) . В открытом промежутке функция, будучи даже ограниченной, может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений. Например, функция f (x) = x в промежутке (0,1) (см. рис. 17.8 a ).

Если промежуток замкнут, но функция имеет разрыв в некоторой точке x0 , то функция может быть как неограниченной (в случае разрыва второго рода), так и может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений в заданном замкнутом промежутке (см. рис. 17.8 b).

y

Рис. 17.8

Если непрерывная функция положительна (отрицательна) в некоторой точке, то существует окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак.

На рис. 17.7 в точке x1 функция отрицательна и существует некоторая окрестность этой точки, в которой знак функции сохраняется. Для разрывной функции, как это видно из следующего рисунка, это не так.

x0 f (x0 )

Рис. 17.9

Значение функции в точке x0 положительно, но в любой малой окрестности этой точки функция принимает только отрицательные значения.

125

Лекция 18. Производная

18.1. Физический, геометрический и математический смысл про-

изводной. Одним из основных понятий математического анализа является понятие производной функции. Прежде чем привести его математическое определение, рассмотрим несколько задач, приводящих к этому понятию.

Первая задача связана с определением мгновенной скорости движущейся точки. Пусть известен закон движения точки x(t ) , движущейся по прямой O x . Если точка движется равномерно, т.е. за равные промежутки времени она проходит одинаковые расстояния, то ее скорость равна

= x(t) − x(0) =

v(t) const . t

Если точка движется неравномерно, то что мы будем понимать под скоростью точки?

За промежуток времени [t,t + t] точка проходит расстояние x = x(t + t) − x(t) . Если величина t достаточно мала, то можно считать, что в этом промежутке точка движется равномерно и тогда приближенно ее скорость равна

Величина v(t) тем ближе к скорости в момент времени t , чем меньше

Вторая задача связана с понятием плотности массы тонкого неоднородного стержня. Пусть поперечное сечение стержня мало по сравнению с его длиной. Тогда плотность массы ρ( x) этого стержня в точке с координатой x определим как предел отношения массы m = m( x + x) − m( x) части стержня [ x, x + x] к ее длине x , т.е.

126

Третья задача связана с проведением касательной прямой к заданной кривой.

понимать предельное положение секущей M 0 M , когда точка M движет-

щую через данную точку перпендикулярно касательной. Пусть касательная образует с положительным направлением оси O x угол α0 , а секущая – α( x) . Тогда по определению

т.е. тангенс угла наклона касательной равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента.

Отвлечемся теперь от конкретных задач и для произвольной функции

ния функции y к приращению аргумента x , когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

Если этот предел существует, то он называется производной функции f ( x) в точке x и обозначается f ′(x) . Поскольку производная в точке x является функцией x , то, чтобы подчеркнуть этот факт, пользуются термином производная функция ( f ′(x) – производная функция функции f ( x) , кратко: f ′(x) – производная f ( x) ).

127

Согласно этому определению скорость движения точки есть произ-

тельным направлением оси O x и касательной к графику функции в данной точке равен значению производной функции в этой точке

f′(x0 ) = tgα0 .

18.2.Вычисление производных. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Пример недифференцируемой в точке x = 0 функции y =| x | приведен на рис. 18.2

y

x

Рис. 18.2

Действительно, для этой функции имеем

вольным образом.

Если производная в данной точке существует и конечна, т. е. отно-

точке функция будет непрерывной в этой точке. Обратное утверждение не верно, как показывает приведенный выше пример (см. рис. 18.2). В точке x = 0 функция y =| x | непрерывна, но недифференцируема.

Итак, непрерывность функции в данной точке – необходимое условие её дифференцируемости. Другими словами, если функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в этой точке. Ввиду важности этого утверждения приведём его формальное доказательство.

128

lim y = 0 , означающее непрерывность функции в данной точке.

x→0

Согласно определению теперь мы можем находить производные различных функций. Например,

Здесь мы использовали первый замечательный предел и свойство непрерывности функции y = cos x , перейдя к пределу под знаком функции. Итак,

тельно.

Несколько сложнее найти производную логарифмической функции

геометрического смысла производной, можно получить уравнение касательной к кривой в данной точке. Задача сводится к выбору из уравнения пучка прямых y − y0 = k (x − x0 ) конкретного значения углового коэффи-

129