9789
.pdfлу: {=СТАНДОТКЛОН(LN(Ц2:Ц31/Ц1:Ц30))*КОРЕНЬ(250/h)} Адреса ячеек Ц2:Ц31/Ц1:Ц30 у вас будут другие). Ввод формулы осуществляется одновре-
менным нажатием трех клавиш ctrl+shift+enter.
5) На исторические данные накладывается «окно» фиксированной длины (например, 6 измерений). Это окно перемещается по ряду данных,
и для данных, попавших в окно, вычисляется оценка волантильности.
Вычислите ряд оценок волантильности и проследите за изменениями графика.
Указание: В новую ячейку введите табличную формулу: {=СТАНДОТКЛОН(LN(Ц2:Ц7/Ц1:Ц6))*КОРЕНЬ(1/h) и скопируйте ее в этом же столбце.
Задание 5. Моделирование демографических процессов
Целью данной работы является изучение модели изменения численности населения, а также приобретение навыков имитационного моделирования и модификации моделей на примере моделирования динамики численности двух
популяций с учетом возможности миграции. |
|
|||
Программное обеспечение: Microsoft Excel. |
|
|||
Теоретическое введение. |
|
|||
Простейшая модель |
изменения численности |
населения, предложенная |
||
|
|
dx |
kx |
|
|
|
|
|
|
Мальтусом, имеет вид |
|
dt |
(1), |
где x – численность населения, зависящая от времени, k – коэффициент прироста населения, представляющий в самом простом варианте разность коэффициентов рождаемости и смертности. Эта модель имеет точное решение
x(t) x0ekt , где x0 – значение численности населения в момент времени t=0. Эта модель не учитывает ограниченности ресурсов, которая не позволяет населению расти неограниченно. Простейший способ учета такой
|
dx |
kx(1 |
x |
) |
|
dt |
M |
||
ограниченности приводит к модели Ферхюльста |
|
(2), |
||
171 |
|
|
|
|
где емкость популяции M задает максимальное количество населения, для нормального существования которого хватает ресурсов. График решения этого уравнения, представляющего собой уже более сложную зависимость,
называется логистической кривой. В случае же, если коэффициенты и не являются константами, а некоторым образом зависят от времени, получение аналитического решения данного уравнения может быть затруднительно или вообще невозможно. Для моделирования такой динамики представим данное уравнение в виде простейшей разностной схемы и преобразуем его к виду
x(t h) x(t) h k(t)x(t)(1 |
x(t) |
) |
|
M (t) |
|||
|
(3) |
||
|
|
||
Сделав адекватные предположения о характере зависимостей k(t) и M(t), |
можно получить численное решение уравнения Ферхюльста, в том числе в случае меняющихся коэффициентов.
Рассмотрим теперь возможность миграции. В самом простом случае речь идет о двух популяциях, каждая из которых будет описываться уравнением Ферхюльста. Пусть первая по каким-то причинам оказалась более привлекательной для жизни человека, чем вторая. Логично предположить, что количество переселенцев из второй популяции в первую должно быть
пропорционально |
доле свободного |
«жизненного пространства» |
в первой |
|||||
|
1 |
x1 |
|
|
|
|
x2 |
|
популяции |
M1 |
, |
доле занятого «жизненного пространства» во второй M 2 , |
|||||
населению |
второй |
популяции x2 и |
периоду времени, в течение |
которого |
происходит миграция, и является случайно величиной.
Таким образом, используя для каждой популяции формулу (3), вычитая количество переселенцев из населения второй популяции и прибавляя его в
первую, получаем:
|
|
|
|
|
x1 |
(t) |
|
|
x1 (t) |
|
x2 (t) |
|
|
|
|
|
x1 |
(t h) x1 |
(t) h k1 |
(t)x1 (t)(1 |
|
|
|
) (1 |
|
|
) |
|
|
x2 |
(t) |
|
|
M1 (t) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M1 (t) M2 |
(t) |
|
|
, |
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
172 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
(t) |
|
|
x1 (t) |
|
x2 (t) |
|
|
|
|
x2 (t h) x2 |
(t) h k2 |
(t)x2 (t)(1 |
|
|
) (1 |
|
|
) |
|
x2 |
(t) |
|
|
|
M2 (t) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
M1 (t) M2 (t) |
|
|
, |
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где α – |
постоянный |
коэффициент, |
|
характеризующий |
интенсивность |
миграции, ξ – случайная величина, распределенная на отрезке [0;1].
Задания для самостоятельного выполнения. Номер варианта включает три номера пунктов. Например, если Ваш вариант 321, Вы должны выбрать значение коэффициентов модели номер 3, интенсивность миграции номер 2 и
переменный параметр номер 1.
В следующих расчетах примите шаг по времени равным 1 году.
Проследите на модели Ферхюльста динамику выхода на постоянное значение
населения двух популяций, заданных коэффициентами:
1. |
k1 |
0, 03 |
k2 0, 08 |
M1 30000 |
M2 20000 |
|||
2. |
k1 |
0, 04 |
k2 |
0, 06 |
M1 35000 |
M2 25000 |
||
3. |
k1 |
0, 07 |
k2 |
0,15 |
M1 45000 |
M2 50000 |
||
4. |
k1 |
0,1 |
k2 0, 2 |
M1 60000 |
M2 60000 |
Начальное значение численности обеих популяций примите 10000.
Укажите, через какое время численность населения в каждой из популяций можно считать постоянной.
Добавьте в модель возможность миграции. Считайте, что ξ распределена равномерно, а коэффициент интенсивности миграции возьмите равным
1.0, 08
2.0, 06
3.0,12
4.0,18
Как изменилась динамика численности популяций?
Наконец, пусть один из параметров модели
1. k1
173
2.k2
3.M1
4.M 2
не является постоянным, а меняется по линейному закону с коэффициентом прироста 0,3. Как изменится динамика модели?
Раздел 8. Обработка результатов имитационного моделирования.
Надежность методов имитационного моделирования.
Задача 1.
174
Задача 2.
175
Задача 3. Модель управления запасами. (Дж. Мур. Экономическое мо-
делирование в MS Excel, стр. 688-699.)
Мэри Форд руководит отделом, занимающимся оптовыми закупками по-
суды для компании. Некоторые подразделения, которыми руководит Форд, уже второй год подряд испытывают определенные трудности, не приносят прибыль.
Мэри хочет разобраться в сложившейся ситуации и переломить негативный ход развития бизнеса. Она реорганизовала убыточные подразделения, открыла при своем отделении магазин посуды и решила провести месячник «Международ-
176
ные столовые приборы». В течении этого месяца будут продаваться пять спе-
циальных наборов посуды, все из разных стран. Наборы необходимо заказать не позднее, чем за 6 месяцев до начала этой акции. Мэри отвечает за ценовую политику месячника. Если какой-нибудь товар не будет продан до конца меся-
ца, он будет реализован со скидкой. Кроме того, если закончится специально заказанный товар, то вместо него будет продаваться «обычная посуда».
Особые сковородки компания будет закупать по цене $22 и продавать по $35. Если они не будут проданы в течении месяца, то как уцененные товары будут реализованы по цене $15 за штуку. Если закончатся особые сковородки,
то вместо них будут продаваться обычные также по цене $35. Эти сковородки обычно продаются по цене $ 65 при закупочной цене $32.
Мэри должна определить, сколько надо заказать особых сковородок, не зная будущий спрос на них. Нужно определить какой объем заказа увеличит ожидаемый доход, если
А) вероятности спроса заданы в таблице:
спрос |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
вероятности |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
Б) спрос распределен по нормальному закону со средним 1000 и стандарт-
ным отклонением, равным 100.
Указания:
1.Сгенерировать случайный спрос, вероятностное распределение которого задано в таблице А);
2.Имитируйте 50 раз продажи сковородок¸ предполагая, что каждый раз на начало продаж имеется 10 сковородок.
3.По результатам имитации вычислите средний доход и сравните его с ис-
тинным ожидаемым доходом.
4.Определите, сколько раз спрос будет превышать предложение.
5.Имитируйте 50о раз продажи сковородок¸ предполагая, что каждый раз на начало продаж имеется 10 сковородок.
177
6. Сравните средний доход по 500 прогонам с истинным (мат.ожиданием)
доходом. Сделайте вывод.
7. Найти объем заказа, который принесет максимальную прибыль.
4.5. Задания к расчетно-графической работе.
Задание 1. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок
Пусть в производстве 4-х видов продукции участвуют 4 вида ресурсов. Из-
вестны нормы расхода ресурсов на производство единицы продукции (матрица А), цены ее реализации (матрица С) и запасы ресурсов (матрица В). В задаче требуется определить:
1.Определить план производства продукции, максимизирующий выручку от реализации продукции.
2.Ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличе-
ния запаса ресурсов.
3.Максимальный интервал изменения запасов каждого ресурса, в пределах которого структура оптимального решения, т.е. номенклатура выпускае-
мой продукции, остается без изменений.
4.На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не при-
вело к уменьшению прибыли?
5.Суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производ-
стве единицы каждого изделия. Выпуск какой продукции нерентабелен?
6.На сколько нужно снизить затраты каждого вида сырья на единицу про-
дукции, чтобы сделать производство нерентабельного изделия рента-
бельным?
178
7.На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принуди-
тельном выпуске единицы нерентабельной продукции?
8.Интервалы изменения цен на каждый вид продукции, при которых сохра-
няется структура оптимального плана.
9.Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увели-
чении запасов сырья I и II видов на и ед. соответственно и умень-
шении на ед. сырья III вида?
10.Оценить целесообразность введения в план еще одного изделия, ценой 10
ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?
Вариант 1.
4 |
2 |
5 |
2 |
|
550 |
|
4 |
|
|
|||||||
|
3 |
0 |
3 |
1 |
|
|
400 |
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
0 |
5 |
2 |
6 |
, |
B |
650 |
, |
C |
7 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
|
520 |
|
|
9 |
|
|
50, =100, 80. |
|||
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||
Вариант 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
2 |
5 |
2 |
|
|
550 |
|
|
9 |
|
|
|||||
|
3 |
0 |
3 |
1 |
|
|
400 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
0 |
5 |
2 |
6 |
, |
B |
650 |
, |
C |
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
|
650 |
|
|
4,5 |
|
80, =60, 100. |
||||
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
2 |
5 |
2 |
|
|
550 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
3 |
0 |
3 |
1 |
|
|
350 |
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
0 |
5 |
2 |
6 |
, |
B |
650 |
, |
C |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
|
520 |
|
|
|
5 |
, 30, =90, 120. |
Вариант 4.
179
4 |
2 |
5 |
2 |
|
|
|
3 |
0 |
3 |
1 |
|
|
|
||||
A |
0 |
5 |
2 |
6 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
Вариант 5.
4 |
2 |
5 |
2 |
|
|
|
3 |
0 |
3 |
1 |
|
|
|
||||
A |
0 |
5 |
2 |
6 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
Вариант 6.
1 |
7 |
5 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
0 |
4 |
|
|
|
||||
A |
0 |
3 |
6 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
5 |
2 |
|
|
|
Вариант 7.
4 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
5 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
A |
2 |
3 |
5 |
6 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
|
|
550
B 350 ,
600520
550
B 400 ,
650520
400
B 500 ,
300800
400
B 500 ,
1200650
Вариант 8.
4 |
5 |
2 |
3 |
|
220 |
|
||
|
3 |
2 |
3 |
4 |
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|||||
A |
1 |
0 |
5 |
1 |
, |
B |
190 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
0 |
2 |
|
|
200 |
|
|
|
|
|
Вариант 9.
4 |
5 |
2 |
3 |
|
|
350 |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
4 |
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|||||
A |
1 |
0 |
5 |
1 |
, |
B |
250 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
0 |
2 |
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
=50, 40. |
|
, 100, |
|
6 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
C |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
150, =300, 200. |
|
, |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
C |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
40, =60, 20. |
|
, |
|
3 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
C |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
50, =100, 200. |
|
, |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||
C |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
50, =200, 10. |
|
, |
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
C |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
20, =30, 80. |
|
, |
180