9522

Рис. 5.1. Многоугольник распределения

Получается так называемый многоугольник распределения вероятностей дискрет-

ной случайной величины (на рис. 5.1 этот многоугольник изображается ломаной жирной линией).

_______________

Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

Решение. Прежде всего, разберём, сколько значений может принимать случайная величина X в данном случае. Можем совсем промахнуться ( X будет равно 0 ), попасть один раз из четырёх ( X 1), попасть два раза из четырёх ( X 2 ), попасть три раза из четырёх ( X 3 ), попасть четыре раз из четырёх ( X 4 ).

Теперь о вероятностях. Нас интересует вероятность: 0 раз попасть при четырёх выстрелах. Иными словами, вероятность того, что в 4 независимых испытаниях

Причём легко подсчитать, что:

4

p0 p1 p2 p3 p4 pi 1 .

i 0

Поэтому закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах имеет вид

2. Пример распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение

Пусть мы по-прежнему находимся в рамках действия схемы независимых испытаний: проводится n независимых испытаний, вероятность появления события A во всех испытаниях одинакова и равна p .

Можно рассмотреть случайную величину X , число появлений события A в этих испытаниях. Понятно, что мы находимся в области действия схемы Бернулли, и значение X m соответствует вероятности

pn (m) Cnm p m q n m , где

Поэтому появляется закон распределения, который получил название - биномиаль-

ное распределение (рис. 5.2):

Рис. 5.2. Многоугольник биноминального распределения

Название закона происходит от разложения суммы двух чисел в n ой степени, предложенного великим Ньютоном (бином Ньютона):

n

( p q)n Cnk pk qn k qn npqn 1 Cnm pmqn m pn . k 0

Кстати, последняя запись (формула) означает, что просуммированы все используемые в биномиальном распределении вероятности, а т.к. p q 1, то сумма всех вероятностей равна 1:

n

pk 1 ,

k 0

т.е. у нас действительно выполняется необходимое условие существования закона распределения!

3. Пример распределения дискретной случайной величины. Распределение Пуассона

Пусть мы по-прежнему находимся в рамках действия схемы независимых испытаний: проводится n независимых испытаний, вероятность появления события A во всех испытаниях одинакова и равна p . Пусть к тому же n - велико, а p - мало.

Пример. Пусть между двумя населёнными пунктами A и B протянута телефонная линия. Расстояние между ними равно SAB . Точку возможного обрыва линии будем характеризовать случайной величиной X , которая принимает значения на интервале от нуля до SAB .

Тогда точка обрыва, точка x (то есть случайная величина X примет значение X x ), не может являться вероятностной характеристикой произошедшего обрыва: вероятность P(X x) 0 .

На самом деле, по геометрической вероятности:

принимает на отрезке [ 0,1], т.к. вероятность любого события находится именно в этих пределах.

Функцией распределения можно характеризовать и дискретные случайные ве-

Найдём функцию распределения F(x) P(X x) . При значении x 5 функция F(x 5) 1, т.к. событие X 5 можно составить из пяти несовместных событий:

X 0 , X 1, X 2 , X 3 , X 4 ,

вероятности которых в сумме дают 1. И это будет справедливо для тех значений x , которые удовлетворяют неравенству x 4 . Поэтому F(x) 1 при значениях x 4 .

Но как только x принимает значение x 4 , сразу из перечисленного выше множества событий исключается событие X 4 (т.к. F(4) P(X 4) ). Поэтому:

P(X 4) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3) 1 0,0001 0,9999.

И так будет справедливо только для тех значений x , которые удовлетворяют неравенствам для тех значений x , которые удовлетворяют неравенствам 3 x 4 . И так далее.

Последним в этом списке будет значение x 0 , которому не соответствует ни одно из событий (т.е. переменная i принимает значения от 0 до 4 с ша-

гом равным 1). Поэтому для значений x 0 значение функции распределения равно

F(x) 0.

Итак, для рассматриваемой здесь случайной величины функция распределения имеет вид:

линии y 0 (x 0) и горизонтальных стрелок» (рис. 6.1), которые говорят о том, что предел справа у функции не достигается в пяти случаях:

Рис. 6.1. Функция распределения дискретной случайной величины

2. Свойства функции распределения

P(X x2 ) P(X x1) P(x1 X x2 ) .

Поскольку первые две вероятности, участвующие в последнем равенстве, суть функции распределения, постольку получается такое равенство:

F(x2 ) F(x1) P(x1 X x2 ) ,

откуда и получается:

P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1) .

Что и требовалось доказать.

Свойство 2o . Функция распределения равна: от минус бесконечности - нулю, а от плюс бесконечности - единице. Иными словами:

F( ) 0, F( ) 1.

Доказательство. Поскольку F( ) P(X ) - есть вероятность пустого множества, постольку F( ) 0 , а т.к. F( ) P(X ) - есть вероятность достоверного события, то F( ) 1.

Что и требовалось доказать.

Свойство 3o . Функция распределения (любой случайной величины) - неубывающая функция.

Доказательство. Поскольку (свойство 1o )

P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)

при x2 x1 , а вероятность всегда

P(x1 X x2 ) 0 ,

постольку

F(x2 ) F(x1) 0, т.е. F(x2 ) F(x1) при x2 x1 .

Что и требовалось доказать.

Таким образом, функция распределения F(x) не убывает, её значения расположены на отрезке [0,1]. При стремлении x функция распределения обращается в ноль, а при стремлении x функция распределения обращается в единицу. Примерный график функции распределения F(x) приведён на рис. 6.2:

Рис. 6.2. Функция распределения непрерывной случайной величины

Предел слева равен самому выражению, а справа запишем выражения (обозначения) для пределов:

P(X C) F(C 0) F(C 0) .

Поскольку предел справа F(C 0) равен (для непрерывной функции)

F(C 0) F(C) ,

вероятностей всегда неотрицательна (по свойству 2o ). Она стремится к нулю при стремлении x и x (т.к. по свойству 3o площадь между графиком функции (x) и осью абсцисс равна единице). Примерный график функции (x) плотности распределения вероятностей изображён на следующем рис. 6.3.

Рис. 6.3. Иллюстрация свойств 1-3 функции плотности распределения

Свойство 4o . Функция распределения F(x) равна

а по свойству 1o для плотности распределения вероятностей:

x (t) dt P( A X x) .

A

По следствию из свойства 4o для непрерывной функции распределения:

x (t) dt P( A X x) F(x) F(A) .

A

Поэтому, переходя к пределу, получим: