Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9173

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

	2		y 0,		dxdy		y 12x,
11.100. e x		dxdy , где	D : x 1,		dxdy		y 12x,

				11.101.		,	где D :	2
				11.101.		,	где D :	2
D				D	x		y 3x		.
			y x.

12.102.

D : yy

y D : x

	y 0,
(x y)dxdy ,	где D : x 0,
D
D		x 4.
	y	x 4.

x2 ,

y x,

11.104.

xydxdy , где D

x 0,

y 2 x

y2 4,

2, 11.106 ydxdy ,

где

D :

x y 2.

11.103. x 2 y dxdy , где

	x 2
11.105.			dxdy , где
	y	2
D

11.107. 15 y 2 dxdy ,

y x3 ,

0 x 1,

где

11.108.

y cos xy dxdy ,

где

D : x

D :

0 y

11.109. x 2

4 y 2 dxdy ,

где

D : y x 2 ,

11.110.

xdxdy ,

где

x y 2 .

x2 y2

sin y

dxdy ,

2x,

D :

11.111.

где

D : x

y x

y 2,

11.112. x sin xy dxdy ,

где

11.113. ex dxdy ,

D :

x 0,

где

11.114. ydxdy ,

где

D :

x y 2.

y e

y x,

11.115. (x y)dxdy ,

где

D : x 1,

y 6.

В задачах 11.116 –11.137 вычислить двойные интегралы f x , y dxdy по заданной

области D , перейдя к полярным координатам.

11.116.

11.117.

11.118.

11.119.

11.120.

11.121.

11.122.

11.123.

11.124.

11.125.

11.126.

x 2

y 2

dxdy ,

где

D :

x 2

y 2

dxdy ,

где

D :

x 2

y 2

dxdy ,

где

D :

0, y 0.

x 2

y 2 3,

dxdy ,

где

D :

0, y 0.

y x,

dxdy ,

где

D :

y x,

1 y

y 1,

D: x 0,

y 2

2 dxdy ,

где

2 y.

x 2 y 2 3y,

dxdy ,

где

D :

y 2

где

D : x

π .

dxdy ,

x 2 y 2 1,

dxdy

где

D: x

D x

x y x.

ln x 2

y 2 dxdy

x 2

y 2 4,

где

4 x dxdy ,

где

D : x 2 y 2

4x .

11.127.

dxdy

где

1 x2

y 2

11.128.

x2 y 2 dxdy ,

где

11.129. x2

y 2

2 dxdy ,

где

11.130. x2

y 2 dxdy ,

где

11.131.

1 x2

y 2 dxdy ,

где

11.132.

R2 x2

y2 dxdy ,

где

11.133.

y 2

2 dxdy ,

где

11.134.

dxdy

где

1 x 2

y 2

11.135.

dxdy

где

11.136.

ydxdy

где

y 2

11.137.

где

dxdy .

y 0,

D:x 0,

x 2 y 2 1.

x 2 y 2 3x,

D: x 2 y 2 9.

D : x2 y 2 2x 0 .

x 2 y 2 2x, D: x 2 y 2 4.

y 0, D: x 0,

x 2 y 2 1.

D : x2 y 2 Rx .

x 2 y 2

2x,

x 1.

y x,

D: y

1 y 2 .

y 1,

x 0,

2 y.

1 x 2

y 2 4,

0 y

π2 ,

§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объёмов фигур

В задачах 11.138 – 11.150 вычислить площади фигур, ограниченных кривыми.

11.138.

xy 4,

x y 5 0 .

11.139.

x 4 y y 2 ,

x y 6 .

x, y 4 x 1

, x 0

11.140.

11.141.

x 4,

y x ,

y 2 x .

11.142.

xy 1,

x y ,

x 2 .

11.143.

y x2 ,4 y x2 , y 4 .

11.144.

xy 1,

x 4,

y 2 .

11.145.

x y 1,

y 2 x 1 .

11.146.

4x y 2

4, 16x y 2 64 .

11.147.

x y 2 2 y ,

x y 0 .

11.148.

2 y x2 , y 0, xy 4, x 4 .

11.149. x y 2 , y 2 x , y 2, y 2 .

11.150.

y sin x, y cos x, x 0, x 0 .

11.151.

y 2x, x y 2 0, y 0 .

В задачах 11.152 – 11.158 вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми или удовлетворяющих данным неравенствам (от декартовых координат целесообразно перейти к полярным координатам).

x2 y 2

x, x2 y 2

x 2 y 2

11.152.

2x, ( y 0) .

11.153.

3x ,

x 2 y 2

11.154. x2 y 2 3y, y

x 2 y 2

3y .

3x, x 0 .

11.155.

4x ,

2 1 cos .

( y x) .

11.156. x 0, x

4 y y 2 , y 2 .

11.157.

11.158.

2 1 cos , 2cos .

11.159.

Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью 2 из кардиоиды

2 1 sin и расположенную вне круга.

Взадачах 11.160. – 11.172. вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями.

11.160.

x y 2z 4 ,

x 0 ,

y 0 ,

z 0.

11.161.

z x2

3y 2

x y 1 , x 0 ,

y 0 ,

z 0.

11.162.

z 4 x2 ,

y 0 ,

y 5 ,

z 0 .

11.163.

z y 2

, x y 2 ,

x 0 ,

y 0 ,

z 0.

z 0 ,

x z 6 , y

y 2

11.164.

x ,

x .

11.165.

z 9 y 2 , x 2 y 6

x 0 , y 0 , z 0 .

11.166.

x 2

, 2x y 6 0 ,

x 0 ,

y 0 ,

z 0.

11.167.

z x2

y 2 2, x y 3 ,

x 0 ,

y 0 ,

z 0 , x 3 , y 3.

11.168.	z x2 y 2 1 ,					y 6 x , z 0 , y 1 , y 2x .
11.169.	z	x3	,	x2 y 2		9 , x 0 , z 0

	3
11.170.	x2 y 2			16	, y 0 , z y , z 0.
11.171.	x y z 4				,	x2 y 2 4 , z 0 .
11.172.	x y z 10				,	2x y 4 , x 2y 8 , z 0 .

§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических величин

11.173. Найти массу фигуры, ограниченной прямыми: x 1,

x 2 ,

2x 3y 1, y 0 , если плотность x, y в каждой точке равна квадрату абсциссы,

умноженному на ординату этой точки.

11.174.	Найти массу однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями:
y x2 ,	y 3x2 ,	y 3x .
			ограниченной кривыми y x2 , y
11.175. Найти массу пластины,				x , если
плотность её ρ в каждой точке			x , y равна x , y x 2 y .
11.176. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность её				x, y в
каждой точке равна расстоянию от этой точки до центра окружности.

11.177. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: y x2 1, y 2 .

11.178. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограни-

ченной линиями: y 4 x , y 0 , (x 0) .

11.179. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: y x2 , y x 2 , y 0 .

11.180. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: x y 2 , 4x y2 , x 4 , y 0 .

11.181. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: y 2x2 , y 4x2 , x 4 .


11.182.	Найти статический момент относительно оси										ОХ однородной пластинки
(ρ 1) ,	ограниченной линиями:					xy 4 , xy 1 , x 2 , x 4 .
11.183.	Найти статические моменты относительно осей координат мень-шей части
эллипса		x2		y 2	1,отсекаемой прямой		x		y	1	1 .

	4		9			2		3

11.184. Вычислить моменты инерции относительно осей координат одно-родной пластинки (ρ 1) , ограниченной прямыми: y 2 x , y 1, x 2 .

11.185. Найти момент инерции однородной пластинки (ρ 1) относительно оси

OX , ограниченной линиями:	y2 x , y2 4x ,		y 1, y 3.
11.186. Найти момент инерции относительно оси		ОУ однородной плас-тинки
(ρ 1) , ограниченной линиями:	y2 x , y2 4x ,		y 1, y 3.
11.187. Найти момент инерции относительно оси			ОХ однородной плас-тинки
(ρ 1) , ограниченной линиями:	x2 4 y , y 0 .

Глава 12

РЯДЫ

§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость

В задачах 12.1- 12.15 написать общий член ряда.

12.1.					2			4			6	.						12.2.					2			4					6				.							12.3.			2			4			6		.
12.1.												.						12.2.																	.							12.3.			2					3!			.
			3					5		7													3		9					27																	2!			3!
12.4.			1							1			1		.				12.5.					1			1 2								1 2 3					.				12.6.					1				3!
12.4.															.				12.5.					1																.				12.6.					1				3!
				1 3						3 5		5	7													1 3								1 3 5															2 2 4
		5!					.					12.7.			1		1		1	.				12.8.								1					1				1		.			12.9.						1 1
							.					12.7.			1					.				12.8.								1											.			12.9.						1 1
	2	4 6															2		3																		2					3
													1		1		.											2				4							8		.									1
1			.						12.10. 1												2.11.																							12.12.
														4		7												5					25					125
														4		7												5					25					125														ln 2
	1					1				.								1		1			1					1								1			1			.
													12.13.																																12.14					1 x


	ln 3 ln 4																	2		3			4					9								8 27
	x 2					x3													x3			x	5		x7																			x2		x	4			x6
									.			12.15.					x												.								12.16.					1											.
	2!					3!			.			12.15.					x		3!			5!			7!				.								12.16.					1		2!		4!				6!			.
	2!					3!													3!			5!			7!																			2!		4!				6!

12.43.

12.17.		1	1			1		.	12.18.	x	1	x2		1	x3	1	.
		x 1	x2 4		x	3	9				x			x2		x3

12.19.	1 32 x 52 x2			72 x3			.		12.20.	x 1			x 1 2		x 1 3		.
													2 4		3 42

В задачах 12.2112.26 выписать три первых члена ряда.

	3n 1				1 n 2 .			2n 1
12.21.			.	12.22. 2		12.23.					.
	3						3
									n3
n 1		n		n 1		n 1				1

					xn										x 2 n												x 2 n 1
12.24.							.		12.25.										.						12.26.									.
12.24.							.		12.25.										.						12.26.									.
			n 1 n2										n 0					n!								n 1				n
В задачах					12.2712.34 написать формулу частичной суммы																						S n , и вычислить её
предел при n .Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
		1				1			1	.							1		1				1		.						1
12.27.											12.28.																12.29.
			1 2			2 3			3 4							1 3					3 5			5 7
			1 2			2 3			3 4							1 3					3 5			5 7							1 4
	1			1			.		12.30.		1	1		1			1		.				12.31. 1			1		1	1			.
	7						.		12.30.		1								.				12.31. 1									.
4	7	7		10							2 4 8														3 9 27
					3n		2n										2		1														1
12.32.								.			12.33.											.			12.34. ln 1									.
12.32.						6n		.			12.33.						3			2n 1		.			12.34. ln 1								n	.
			n 1			6n								n 1			3			2n 1							n 1						n

В задачах 12.3512.43 проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда.

12.35.		1			3							5		.	12.36.	1		1					1						1	.
	2		22									23					42						72					102
	2			3				4				.									n
12.38.				3				4							12.39.											.
			2				3


																n 1			n	2		1
																n 1			n			1
						2
					n															n
12.41.					n						.				12.42.					n					.
12.41.											.				12.42.										.
	n 1 n2								1							n 1	3 n			9		1

12.44.	1		2!							3!			.		12.44.	e	e 2							e			3	.
			22						33
																	2										3
																	2										3

				n		3

12.37.								.
12.37.			3n	3			2	.
	n 1		3n				2
			n		4

12.40.									.

		2n		1 4
	n 1	2n		1 4

2n 1

n 1 n n 1 n 4 .

	2n
12.45.			.

n 1n		1

§2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов

В задачах 12.4612.61 исследовать ряды на сходимость, применяя признаки сравнения ( при необходимости использовать эквивалентность

следующих бесконечно малых последовательностей :

	1				1		1
arctg		,	ln 1			,		(при n ) ).
arctg		,	ln 1			,		(при n ) ).
	n				n		n
				n					ln	2		ln	3	ln	4	.
12.46.				n	.		12.47.		ln	2		ln	3	ln	4
12.46.					.		12.47.
	n 1 n 1 3n							2			3				4

	1			1			1
sin		,	tg		,	arcsin		,

	n			n			n

12.48.		1		1
	2	5			6
			3

	1	.			2.49.							2				3					n 1			.							12.50.					1					1
		.			2.49.																			.							12.50.
4	7									3 8										n n 2															1 2				1 2 3
	1		. 12.51.							sin					1		sin	1	sin			1						12.52.			tg	π		tg	π	tg					π		.
1 2 3 4														2				4				8										4			8						8
12.53.		sin 1 sin						1	sin				1		.							12.54.						1				1						1					.
12.53.		sin 1 sin							sin						.							12.54.																					.
					2					3																				4 1 2			4 2 3				4 3 4
																																						3
					1																	1																3		n	3	1
12.55.					1		.							12.56.								1						.				12.57.								n		1			.
12.55.							.							12.56.														.				12.57.													.
		n 1	2n n															n 1n2 4n 5																		n 1			n2 1
					n n 2																		n		2		1														2 1
12.58.											.			12.59.							ln								.		12.60.				arcsin											.
12.58.											.			12.59.							ln					2			.		12.60.				arcsin											.
				n6 2n 2																					n	2																		n
		n 1		n6 2n 2																	n 1				n										n 1									n
						3
12.61.		n5			tg	3			.
12.61.		n5			tg				.
		n 1				n3

В задачах 12.6212.71 исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера.

12.62.	1	2		3	. 12.63.	2	2	2	23	. 12.64.	2	2	2	23	.
			2	23			22		32
	2	2										1 2		1 2 3


		3n n2
12.65.				.
12.65.			5n	.
	n 1		5n
			5n 1
12.68.			5n 1			.



	n 1		n 1 3n

		5n 1 n2			3
12.71.							.
12.71.			n 1 !				.
	n 1		n 1 !

	72n					3n 1
12.66.			.	12.67.						.
12.66.			.	12.67.						.
n 1 2n		1 !			n 1			n
n 1 2n		1 !			n 1		3	n
	3n n!				3n
12.69.			.	12.70.					.
n 1	nn			n 1 n		1 ! 2n

В задачах 12.7212.83 исследовать ряды на сходимость, применяя радикальный признак Коши.

				n				n


12.72.							.
12.72.							.
	n 1 5n 1
		1				2n				n
12.75.										.
12.75.										.
	n 15n			n 1
				3n		2					3n
				3n


12.78.									.
12.78.					2				.
			4n		2	1
	n 1		4n			1

	n

12.81. arctg			.

n 1		5n

12.73. n n .

n 1 n 1

3n 1

12.76. .

n 1 n n

				n
		2n 10
				3
12.79.				3		.

		3n 1
	n 1	3n 1

			n	1
12.82.	arcsin		n	1		.
12.82.	arcsin				n	.
	n 1				n

	n	2n 1


12.74.		.

n 1	3n 1

	n			n2

12.77.			.

n 1 8n 4
2n 1		n
12.80.		.
	7n 1
n 1 n

	2n 1
12.83.		.
12.83.	(3n) n	.
n 1	(3n) n

В задачах 12.8412.91 исследовать ряды на сходимость, применяя интегральный признак Коши.

	1			1		1	.							1			1			1	.					1
12.84.	1			1		1					12.85.			1			1			1			12.86.			1					.
12.84.											12.85.												12.86.								.
	3	5			7									4	7					10			n 1 n						n

					1																			e				n
					1								ln 2			ln 3			ln 4			.		e				n
12.87.								.		12.88.													12.89.							.
12.87.			n ln 2					.		12.88.			2		3					4			12.89.							.
	n 2		n ln 2				n						2		3					4				n 1			n
12.90.	3		12						3n2			.			12.91.			1			1		1		.
12.90.									n3			.			12.91.								2n 1 2		.
	6	13							n3		5							8		24			2n 1 2	1

В задачах 12.92 — 12.106 исследовать ряды на сходимость и указать применяемые признаки.

				n								1 2			2 4			3 8								3	n
																				.
12.92.							.		12.93.															12.94.						.
12.92.			n 2				.		12.93.				9		27			81						12.94.	2n 2n 1					.
	n 13		n 2										9		27			81						n 1	2n 2n 1
	1		4		7			.						2		3			4			.							3n
12.95.										12.96.														12.97.						.


	5 9 13													1			8		27							n 1			n !
			1			3 1				3
																				5n 4						n
		1	2						5	2	.									5n 4						n
12.98.														12.99.									.	12.100.						.
																					2n

		8				9			10									n 1						n 1		n2		3

12.101. 64 167 648 .

	n n 2
		.	12.104.
	5n	.	12.104.
n 1	5n

12.102.		2		1	2		2


		5		2	5
		1
		1				.

	n 1 ln		n		1
n 1	n 1 ln		n		1
			29

1	2	3
		.	12.103.

3	5

12.105. 3n 1 n .

n 1 4n

12.106.	1		1		1		.

	sin 2		sin 2 2		sin 2
1		4		9		3

§3. Знакопеременные ряды. Условная и абсолютная сходимость

В задачах 12.10712.112 доказать, что ряд сходится условно.

													n 1							n 1
		1			1			1	.			1								1
12.107.	1	1			1			1		12.108.		1		.			12.109.			1	.
12.107.	1									12.108.				.			12.109.				.
		3	5			7				n 1		n 1						n 1ln n 1
													n 1							n
	1			1			1		.		1				2n 1				1 ln n .
12.110.	1			1			1			12.111.					2n 1	.	12.112.
12.110.										12.111.						.	12.112.
	8		11 14							n 1					n n 1			n 2		n 1

В задачах 12.11312.120 доказать, что ряд сходится абсолютно.

12.113.

12 12

12.118.

		1 n 1							1 n 1										n 3n 1		n
						.		12.114.	n n2		.	12.115.				1					. 12.116.
						.		12.114.			.	12.115.				1					. 12.116.
n 1 2n				1				n 1							n 1					5n 2
1	2			1		3		.	12.117.				3	5			7		.
22				23				.	12.117.										.
22	3			23		4						1 2		4 3 9				4

1			8		27					1	n							sin		2n 1
1			8		27		. 12.119.			1		. 12.120.									2	.
							. 12.119.					. 12.120.								n n 1		.
2! 3! 4!									n 2 n 1 !						n 1					n n 1

В задачах 12.12112.132 исследовать ряд на сходимость.

12.121.		1								1								1				.							12.122.								ln 2 ln 3 ln 4 .
12.121.		2																				.							12.122.								ln 2 ln 3 ln 4 .
	1	2					2 2												3 2
12.123.	ln		4	ln					5		ln					6		.						12.124.										1				1			1		.
12.123.	ln			ln							ln							.						12.124.																			.
		3					5									7															2 ln 2 2 3ln 2								3 4 ln 2 4
12.125.		1											1							1			. 12.126.											2				8			18		.


	2			1				4							2			6			3											1		2			1 2 3			1 2 3 4
		1				n 1				n														1	n	n			2 .														5			n2
12.127.		1								n				.				12.128.						1		n									12.129.				1 n 1				5				.
12.127.														.				12.128.																	12.129.				1 n 1					nn			.
	n 1 2n 1 5n																						n 1 3n 2					n											n 1					nn
																																										cos
					n 1								1														n 1			cos 2n												cos			n
12.130.	1						tg										.	12.131.							1											.		12.132.									.
12.130.	1						tg										.	12.131.							1											.		12.132.					1				.
	n 1											n n												n 1									5n								n 1n n		1

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.36 Mб09169.pdf
#
21.11.2023162.34 Кб0917.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09170.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09171.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09172.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09173.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09174.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09175.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09176.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09177.pdf
#
25.11.20232.36 Mб09178.pdf