9013

x x1

y y1

z z1

(3)

x2 x1

y2 y1

z

2 z1

A1 x B1 y C1z D1

0

(4)

A2 x B2 y C2 z D2

0

x x0

y y0

z z0

,

x x0

y y0

z z0

.

m1

n1

p1

m2

n2

p2

Если

m1

n1

p1

, что

означает коллинеарность направляющих

m2

n2

p2

l

и l

векторов

p

и

p

2

,

то

прямые

2

параллельны и угол между ними

1

1

между их направляющими векторами p1

и

p2

, если он острый, и угол

в противном случае. Следовательно

m m

n n

p p

p

p

cos

cos

1

2

1

2

1

2

1

2

(4)

p1

p2

2

2

2

2

2

2

m1

n1

p1

m2

n2

p2

Прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися

прямыми. Определим понятие угла

между скрещивающимися

прямыми. Под

углом

между двумя прямыми l

и l

2

будем понимать наименьший из углов

1

между пересекающимися прямыми

L

и

L

, им параллельными (см. рис. 1).

1

2

L

2

p1

p2

l

L

1

1

l2

p2

Рис. 1

p1

В частности, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид

l1 || l2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0.

Задания для самостоятельной работы:

1.

Написать уравнения

прямой,

проходящей через точку

A4;3;0

параллельно вектору

u 1;1;1

.

y 3

y 2

x 4

3. Построить прямые: 1)

; 2)

; 3)

.

z 3

z x 1

z y

x1 y 2 z 1

1) вектору

a 2; 3;5

;

3) оси

OX

;

; 2) прямой

5 2 1

1)

1; 2;1 и

3;1; 1 ;

2) 3; 1;0 и

1;0; 3 ;

3)

2; 1; 3 и

2; 15 ;

4) 4;4;4 и

4;4; 2

1)

3; 1;2 и

2;1;1 ;

2) 1;1; 2 и

3; 1;0 ;

3)

2; 1; 3 и

2; 15 ;

4) 2; 1; 1 и

2;1;1 .

7. Через точки

M 6;6;5

и

M 12;6;1

проведена прямая.

1

2

вершины C .

9. Проверить, будут ли данные прямые параллельны:

x 2 y 1 z

x

y 1 z

1)

и

;

3 2 1

1

2 3

x 2t 5

x 2 y z 1

y t 2

2)

и

2 3 4 .

z t 7

x 3 y 2 z

10. Найти

острый угол между прямыми:

и

1

1 2

x2 y3 z 5

.

1

1

2

x 3t 2

x 2t 1

11. Найти тупой угол между прямыми y 0

и y 0 .

3

z t 3

z t

sin | cos |

| mA nB pC |

.

(1)

A2

B2 C 2

m2 n2 p2

l П

A

B

C

;

l || П Am Bn Cp 0.

m

n

p

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

Ax0 By0 Cz0 D 0,

которое означает, что точка M0 ( x0 , y0 , z0 ) прямой l

x 3t 2

4x 3y 6z 50

3. Доказать, что прямая y 4t 1

параллельна плоскости

.

z 4t 5

x1 y 4 z 3

4. Показать,

что прямая

параллельна плоскости

2

1

5

2x y z 0

x1 y1z 3

2 1 3 - лежит в этой плоскости.

,

а прямая

x 2 y 3z 1

и точку 3; 4; 0 .

1 2 1

7.

Написать уравнение плоскости,

проходящей через параллельные прямые

x 3 y z 1 x 1 y 1 z

и

.

2 1 2

2

1 2

8. Найти точку пересечения:

x 2t 1

3x 2y z 3

1) прямой

y t 2 с плоскостью

;

z 1 t

x y 1 z 1

x 2y 3z 290

2) прямой

с плоскостью

;

2 1

1

9.

Прямая проходит через точки

A 0;0;4 и

B 2;2;0 . Найти точку

пересечения этой прямой с плоскостью x y z 0 и угол между ними.

10.

Найти проекцию точки

M5;2; 1

на плоскость

2x y 3z 230

.

x 3t

M2; 1;3 на прямую

11.

Найти проекцию точки

y 5t 7 .

z 2t 2

12. Найти точку

P , симметричную точке Q1;3; 4 относительно плоскости

решения систем линейных уравнений…………………………………….

6

Элементы векторной алгебры

§ 1. Векторы и линейные операции над ними..…………………………..

9

§ 2. Проекция вектора на ось ………………………………………………

14

§ 3. Координаты вектора и их свойства ……………………………………

18

§ 4. Деление отрезка в заданном отношении …………………………….

24

§ 5. Скалярное произведение векторов…………………………….…….

25

Элементы аналитической геометрии на плоскости

§ 1. Прямая на плоскости…………………………………………..........

29

§ 2.

Линии второго порядка на плоскости…………………………….

47

Элементы аналитической геометрии в пространстве…………………

72

§ 1.

Плоскость в пространстве………………………………………….

72

§ 2.

Прямая в пространстве…………………………………………….

80

§ 3.

Прямая и плоскость в пространстве………………………………..

85

Литература……………………………………………………………......

89