7833

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

× log5 x .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

5.241. lim

arcsin 2x

lim

arctg x

lim

sin 4x

5.242.

5.243.

+ 2 -

x→0

sin 3x

lim

- x

× tg x

5.244.

lim

sin 2x

5.245.

lim

5.246.

x→

x→π

x→0

sin x

tg x

1 − sin x

lim

sin x

1 − cos x

5.247.

5.248. lim

5.249.

lim

x × (

1 + x -1)

x→ 2

- x

x→0

x→ 6

- cos x

5.250.

lim

(1 - x)× tg πx .

5.251.

lim

1 − cos x

x→1

x→∞

x -1

Вычислить пределы 5.252-5.272 применяя второй замечательный предел:

1 x

(1 + x)1 x

5.254. lim

5.252.

lim

1 -

5.253.

lim

1 −

x→∞

x→0

1 x

1 1+ x

2 x

5.255. lim(1 − x) .

5.256.

lim

5.257.

lim 1

x→0

x→∞

2x−1

x + 3

2 x

2x +1 x

x + 1

5.258.

lim

5.259.

lim

5.260.

lim

- 2

x→∞

x→∞ x

2 +1

x 2

+ 1 x

x + 1 x2

5.261.

5.262 .

lim

5.263.

lim

-1

x→∞ x

x→∞

− 1

x→∞ x -

5.264.

lim (1 + tg x)ctg x .

5.265. lim (1 + tg 2

)

5.266. lim

ln(1 + ax)

2 x

x →0

x→0

→0

lim

ln(a + x) − ln a

lim {x × (ln(x + a) - ln x)}.5.269. lim

ln x − 1

5.267.

. 5.268.

- e

x→0

x→∞

x→e

− 1

ln cos x

e2x - e 2

lim

5.270.

lim

5.271.

5.272.

lim

x→0

sin 2x

x→0

5.273.

Первоначальный вклад

в банк

денежных

единиц.

Банк

выплачивает ежегодно

p% годовых. Найти размер вклада через t

лет при

непрерывном начислении процентов.

Указание:

Найти

размер вклада An

через

t лет

при начислении

процентов по вкладу n раз в году и перейти к пределу при

n → ∞ .

5.274. Дан правильный треугольник со стороной a . Из трёх высот этого треугольника строится новый правильный треугольник и так n раз. Найти предел суммы площадей всех треугольников при n → ∞ .

5.275. В круг радиуса R вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг опять вписан квадрат и так n раз. Найти предел суммы площадей всех кругов и площадей всех квадратов при

§4. Сравнение бесконечно малых

В задачах

5.276-5.287 определить порядок малости функции

β (x)

относительно x

при x → 0 :

β (x ) = 1 − cos x .

β (x) = x3 + 100x 2 .

β (x) = 3

−

5.276.

5.277.

5.278.

5.279.

β (x) =

x(x +

)

5.280.

β (x ) = sin x − tg x .

5.281.

β (x) = 3sin3 x − x4 .

1 +

β (x) = e

−1 .

β (x) = esin x − 1.

β (x) = e x2 − cos x .

5.282.

5.283.

5.284.

β (x) = sin(

−

5.286. β (x) = cos x − 3

5.285.

x + 2

cos x

5.287.

β (x ) = arcsin x .

1 − x

При x → 1 функции

y =

и y = 1 −

5.288.

бесконечно малые.

1 + x

Какая из них более высокого порядка малости ?

5.289. Убедиться в том что при

x → 1 бесконечно малые 1− x

1 − 3

будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны ?

5.290. Доказать, что при

x → 0 :

1) sin mx ≈ mx ;

2) tg mx ≈ mx ;

3) 3

− 1 ≈

x ;

4) ln(1 + x ) ≈ x .

1 + x

5.291. Какой из функций

x 2 ,

, x3 ,

при

x → 0 :

эквивалентна бесконечно малая

1+ x3

5.292. Какой из функций

2x2 , x3 , x2 , 2x3 ,3x

при

x → 0

эквивалентна

бесконечно малая

tg 2 x − 2 tg x

5.293. Исходя из эквивалентности при x → 0

− 1

функций

1 + x

вычислить приближённо

105

§5. Непрерывность функции. Точки разрыва

Найти точки разрыва и построить графики функций:

5.294.	y =	3		.
5.294.	y =			.
		x
	y =		x +1
5.297.			x +1			.


5.300.	y =	x3			+ x		.
				2	x

5.295.	y = tg x .
5.298.	y = x +			x −	1		.

				x −	1
				x −	1
	y =	4 − x 2
5.301.		4x	− x 3			.

5.296.	y =	1		.
		− x 2
	1
5.299.	y = 2 -		x		.



			x

В задачах 5.302 - 5.304 найти точки разрыва функций:

1			1				x
5.302. y = 1 − 2		.	5.303. y = 2		.	5.304. y = 3		.

	x			x−2			x + 3

В задачах 5.305-5.306 построить графики функций и указать точки разрыва. Какие из условий непрерывности в них выполнены и какие не выполнены?

2 ,

x = 0, x = ±2

x ¹ 2

4 − x

0 <

< 2

при

5.305. y =

5.306. y =

x = 2

> 2

0 ,

при

4 ,

5.307. Исследовать функцию на непрерывность

−

arctg

, x < −

x +

f (x) =

ectg x ,

− π

≤ x ≤ 0 .

x > 0

1 − ln x

При каком значении a функции непрерывны на всей числовой оси:

	2	- 5x + 6,	x ¹ 2 .		x − 1,			x ≤ 1
5.308. f (x) = x		- 5x + 6,	x ¹ 2 .	5.309.	f (x) =	2	−	2, x > 1	.
a ,			x = 2		ax		−	2, x > 1

Глава 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§1. Производная функция

В задачах 6.1-6.9, пользуясь определением производной, найти

производные следующих функций:
6.1.	y = 3x + 5.					6.2.	y = x2 - 2x .										6.3.	y = x3 .
							y =		1									y =	1
6.4.	y = x .					6.5.			1		.						6.6.		1			.

																			x		2
									x										x
6.7.	y = sin x .					6.8.	y = ln x .										6.9.	y = cos x .
	В задачах 6.10-6.27, пользуясь формулами и правилами
дифференцирования, найти производные следующих функций:

		x2								x3			3		+	x3					1		.
6.10.	y =	x2	−	2	+ 3 .	6.11.	y =	3		x3		−	3	2		x3	. 6.12.	y =			1


		3 x						5 x 2					3 x5			x				3 - x

6.13. s = 2t4 . t2 + 3t +1

6.16. y = x2 ( x + tg x) .

6.19. y =10x × log7 x .


6.22.	y =	e x - ln x		.
6.22.	y =	e x + ln x		.
		e x + ln x
6.25.	y =	2x − 2	.
6.25.	y =		.
		arcsin x

6.14. y =	5	+	ln x	.
	sin x
			x 2

6.17.y = x3 × 3x + ctg3 .

6.20.y = x × (log5 x - 1).


6.23.	y =		arctg x	.
6.23.	y =			.
		arcctg x
	y =		arccos x
6.26.	y =		e x + 3x .
6.26.			e x + 3x .

6.15. y =					x	-			x	3		.
		- cos x

	3					7
6.18.	y = ex × arcsin x .
	y =		3x2 + ctg x
6.21.											.
		1 - 3

							x
6.24.	y =				arccos x				.

					ln x
6.27.	y =			arcctg x				.

					log2 x

В задачах 6.28-6.69 найти производные сложных функций:

6.28.	y = sin4x .								6.29.	y = tg 4 x .										6.30.	y = arcsin					.
6.28.	y = sin4x .								6.29.	y = tg 4 x .										6.30.	y = arcsin				x	.
																					y = 4						.
										y =							.						(x2 - 1)5
	y = 5 × 5			.							1 + 4x − x2
6.31.	y = 5 × 5		4 x + 3	.					6.32.		1 + 4x − x2									6.33.
																					y =	x						.
	y = 3 2x3 +1 + 4								6.35. y = x ×							+								49 − x 2
6.34.							3	.				1 + 5x							ln 2 . 6.36.
6.34.							3	.				1 + 5x							ln 2 . 6.36.
																					2
		2												2	- 3
6.37.	y =	2				.			6.38.	y = 2 arctg			x	2				.		6.39. y = 3 (1 + sin 2 x)5 .


		1 + x + x			3

															6
															6

	y =			1 - x3											y =	lnsin3x													y =					x
6.40.												.		6.41.									.					6.42.											.
6.40.		arcctge2 x										.		6.41.									.					6.42.			cos3 e2 x								.
		arcctge2 x														lncos4x															cos3 e2 x
6.43.	y =					cos x							.	6.44.	y = e		1			.								6.45.	y =			2		×10		1		.
																	ln x														x					x
				+ lnsin 3x													ln x																			x
	1			+ lnsin 3x
									x						y = 2x				2	× tg		4							y = x3 × ctg										2
6.46.	y = x		9		×						.			6.47.												.		6.48.															.
							9	ln x
								ln x																													3x 2
																						x															3x 2
					1
					1															1													1 - sin x

6.49.	y =									x .				6.50.	y =												.	6.51.	y =											.
																arccos4

		cos6 e								2												2x										1 + cos x

	y =														y =													6.54. y = 2 × 3 x5 +								1 +					5			.
6.52.				arcsin2x .										6.53.				x +						.
																					x
																					x
																																										x
							2					x										1
							2					x										1								2 (3					9 - 5x ).
6.55.	y = ln									+ tg			.	6.56.	y = ln arctg													. 6.57. y = ln
6.55.	y = ln									+ tg		2	.	6.56.	y = ln arctg												+ 1	. 6.57. y = ln
				x3								2													x		+ 1

6.58.	y = arccos						1 − x2 .					6.59.	y = arctg 3 2 x .
			4
6.61.	x 2	ctg	4			.						6.62.	y = 2x x −1 .

				3x
	y = e
								2x		2						2x		2
								2x								2x

6.64.	y = arcsin tg										.	6.65. y = arccos					+ x		4
					3								1				+ x
					1
		3			1										1 + tg x
6.67.	y = arctg								.			6.68.	y = ln


							x							1 - ctg x

6.60.y = 3x arctgsin x .

6.63.y = 5− x2 tg2 x .


		3 - x		2
. 6.66.	y = arcctg		.
. 6.66.	y = arcctg		.
		x - 5

. 6.69.	y = log	1 - e− x	.

	6	ex

В задачах 6.70-6.81 найти производные неявно заданных функций:

6.70.

xy = y3 - 2x2 .

6.71.

x 2

y 2

= 1 .

6.72. x2 - 5y2 + 4xy -1 = 0 .

a 2

6.73.

y = 1 + xe y .

6.74.

x 2 + e xy

= y 2 .

6.75.

y = sin x + cos(x - y) .

ln y = arcsin

6.76.

x + y = ex + e y .

6.77.

6.78.

+ e

− 3

= 0 .

6.79.

2 xy = x 2 − y 2 .

6.80.

y = cos(2x + y) .

6.81.

sin(x × y) = x .

В задачах 6.82-6.85 найти производные неявно заданных функций в указанных точках:

						−		2			2
	2	+ y	2	= 1									x = y + sin y	в точке ( 0 ; 0 ) .
6.82. x									;
					в точке		2			2		. 6.83.

6.84. x2 + xy + y2 = 3 в точке (0 ; −										). 6.85. (x - 1)y = ye y - xe x									в точке (1;1) .
6.84. x2 + xy + y2 = 3 в точке (0 ; −									3	). 6.85. (x - 1)y = ye y - xe x									в точке (1;1) .
	В задачах 6.86-6.94 найти производные функций, используя метод
логарифмического дифференцирования:
6.86.	y = x x .						6.87.	y = (sin x)cos x .							6.88.	y = xln x .
				x	x						sin x							arcsin x
6.89.	y =				.		6.90.	y = (x2 + 1)						.	6.91.	y = x					.
6.89.	y =			+ x	.		6.90.	y = (x2 + 1)						.	6.91.	y = x					.
	1			+ x
																y =	(x +			1)3 × 4			.
																						x - 2
6.92.	y = x		1 − x			.	6.93.	y = x arcsin				x	.		6.94.							x - 2
			1 − x									x

		1 + x						3											5 (x - 3)2

В задачах 6.95-6.106 найти производные функций, заданных параметрически :

x = t 2 + 2

6.95.y = 1 t3 − t .3

t + 1

x =

6.98.

t − 1 .

y =

1 + t

x =

1 + t

6.101.

3at

2 .

y =

1 + t

x =

+ 1

6.104.

t × e

y =

6.96.	x = e− 3t		.
6.96.			.
	y = e2t
6.99.	x = a cos3 t
6.99.			.
	y = a sin		3 t
		t

6.102.		2 .
6.102.	x = sin	2 .

	y = cost
	x = sin t - t
6.105.			- t	.
	y = cos t		- t

	x = a(t - sin t)
6.97.						.
	y = a(1 - cost)
6.100.	x = et	sin t
6.100.		.
	y = et	cos t
	x = arccos
	x = arccos			t
6.103.					.
6.103.			t − t 2		.
	y =		t − t 2
6.106.	x = ln(1 + t 2 )					.
6.106.						.
	y = t - arctg t

В задачах 6.107-6.122 найти производные указанного порядка от

заданных функций:
6.107. y = x3 + 2x2 − 4x , y ′′′ = ?	6.108. y = ln x , y (4) = ?

6.109.

y = x5 ,

y (5)

= ?

6.111.

y = ex 2

y ′′′ = ?

6.113.

y = (1 + x 2 )× arctg x ,

y′′ = ?

6.115.

y = tg(x + y ),

y′′ = ?

6.117.

s = 1 + te s ,

d 2s

= ?

dt2

x = a cost

= ?

6.119.

y = bsin t

dx3

x = a(ϕ − sinϕ )

= ?

6.121.

− cosϕ )

y = a(1

dx2

6.110.	y = sin2 x ,								y (6) = ?
	y = ln(x +															) ,			y′′ = ?
6.112.	y = ln(x +							1 + x2								) ,			y′′ = ?
6.114.	x3 − 3xy + y3 = 0 ,																	y′′ = ?
6.116.	xy = e x + y ,											d 2 y					= ?
6.116.	xy = e x + y ,											dx2					= ?
	x = at 2											dx2
	x = at 2									d 2 x							= ?
6.118.					,
6.118.					,						dy 2
	y = bt			3							dy 2
		x = ln t											d	2		y		= ?
6.120.			2	−		,							d			y
6.120.			2		1	,							dx2
	y = t				1								dx2
	x = arcsin t								)						d 2 x				= ?
6.122.					− t		2				,
6.122.							2				,				dy 2
	y = ln(1														dy 2

§2. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближённых вычислениях

В задачах 6.123-6.125 найти приращение функции

f и её

дифференциал df

(используя определение дифференциала) :

6.123.

f (x) = x3

в точке

x = 0 ,

если

x = 0,3 .

6.124.

f (x) = 6x2 + x

в точке

x =1,

если

x = 0,01 .

6.125.

f (x) = x2 − 2x

в точке

x = 3,

если

x = −0,01 .

В задачах 6.126-6.127 найти

приращение функции

и её дифференциал

(используя формулу

′

dy = y dx ) :

6.126.

y =

в точке x = 4 ,

x = 0,41 .

если

6.127. y =

в точке x = 9

если

x = −0,01 .

В задачах 6.128-6.151 найти

дифференциалы следующих функций:

6.128.

y = 2sin x .

6.129.

s =

gt 2

6.130.

s = a cos (ω × t + ϕ 0 ).

6.131.

6.134.

6.137.

6.140.

6.143.

6.146.

6.149.

v =		1				2
v =						2
	1 - u2 .				6.132.	ρ = a cos 2ϕ .
y =	x			.
	x		49 − x2		6.135.	y = 2sin x .
			49 − x2		6.135.	y = 2sin x .
2
		1				1

y = eln x .

		1		1
y = 3x			+				.

					22x
y =			1			.

	sin		3
				2x

6.138.

6.141.

6.144.

y =

1 arctg3 5x .

	π			. 6.147. y = 4ln sin 2 x .
y = ln sin		2	- x


y = arctg x2 + 1.			6.150. y = x2 × sin	x	.

6.133.

6.136.

6.139.

6.142.

6.145.

6.148.

6.151.

y = x2 ×10 x .

y = 10x×arcsin x .


				x
y = x9 × 9						.
y = x9 × 9				ln x		.
y = arctg3					1
y = arctg3					x .
					x .
			1 - e− x
y = log6								.
y = log6								.
					e x
y =	1 x − 5
		ln					.
	2	ln	x + 5				.

y =	cos x
		.
	1 - sin x

6.152.		Вычислить			f (1,05 ) , если				f (x ) = e0,1x(1− x) .
6.153.		Вычислить приближенно :

				;	2)			;	3)			;	4)	3	7,98	;
1)		70					5				17
						(1,11)9 ;				(0,98)8 ;
5)	4	15,8	;		6)				7)				8)	e 0,1 ;
9)	e −0,03			;	10)	ln0,984 ;			11)	tg 45030¢ ;			12)	tg 440 ;
13)	tg 460			;	14)	sin1,55;			15)	arcsin0,54 ;			16)	arctg 0,96 .

§3. Применение производной в геометрии и физике

В задачах 6.154-6.167 написать уравнения касательной и нормали				к
кривым в заданной точке:
6.154.	f (x ) = x 2	+ 4 x − 3 ,	точка (1 ; 2 ).
6.155.	f (x ) = x 3	+ 2 x 2 − 4 x − 3 ,	точка (1 ; − 4 ).

6.156.	f (x ) = x 2 − 2 x + 5				в точке с абсциссой			x 0 = 2 .
6.157.	y = 3				точке с абсциссой x 0 = 9 .
		x − 1		в
6.158.	y = ln x			в точке с абсциссой			x 0	= e .
6.159.	y = 2x − ln x			в точке с абсциссой			x 0	= 1 .
6.160.	y = arcsin		x − 1	в точке пересечения кривой с осью OX .

	2
6.161.	y = arccos3x			в точке пересечения кривой с осью OY .
6.162.	f (x) = tg 2x ,			в начале координат .
6.163.	y = x 3 + 2 x 2 − 1				в точке	пересечения этой кривой с параболой
y = 2 x 2 .
6.164.	y 4 = 3x3 в точке				( 3 ; 3 ) .
6.165.	x5 + y 5 − 2 xy = 0				в точке	(1 ; 1 ) .

6.166.

x 4 + 2 y 3 − 3xy = 0

в точке (1 ; 1 ) .

6.167.

−

= 1

точке M (− 9 ; − 8 ).

6.168.

Написать уравнение касательной

к кривой

y = x ln x в точке, в

которой нормаль к этой кривой параллельна прямой

2 x − 2 y + 3 = 0 .

В задачах 6.169-6.172 написать уравнения касательной и нормали к

кривой, заданной параметрически :

6.169.

x = t 2

в точке с координатами ( 4 ; 8 ) .

y = t

6.170.

x = 2e t

точке,

соответствующей значению параметра t = 0 .

−t

y = e

x = sin t

при t = 0 .

6.171.

y = a

x = t − sin t

t = π .

6.172.

− cos t

в точке , для которой

y = 1

6.173.

Написать уравнения касательных

к кривой

x 2

−

y 2

= 1 , которые

перпендикулярны

прямой

2 x + 4 y − 3 = 0 .


6.174. В какой точке касательная к кривой							y 2 = x 3	перпендикулярна
прямой	4x − 3y + 2 = 0			?
6.175. На линии		y =		1		найти точку, в которой касательная параллельна


оси абсцисс.			x 2 + 1

6.176. На кривой		y = x 3				найти точку, в которой касательная параллельна
биссектрисе первого координатного угла.
6.177. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии:
1) y = x 2 и y = x 3 ;				2) y = x 2 и y = kx ;			3) x 2 + y 2 = 4 и x + 2 y = 2 .
6.178.	Точка движется				прямолинейно по		закону	s = 3t 2 + t − 1 . Найти
скорость и ускорение точки для моментов времени t0 = 0 , t1 = 1 , t2 = 2
( s дается в метрах, t				- секундах).

6.179. Точка совершает колебательное движение по оси абсцисс по закону x = cosω t . Найти момент времени, когда скорость равна нулю. Чему в это время равно x ?

6.180. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента t = 0 , определяется формулой Q = 2t 2 + 3t + 1 . Найти силу тока в конце десятой секунды.

§4. Правило Лопиталя для вычисления пределов

В задачах 6.181-6.198 вычислить пределы, раскрыв неопределенности

вида 0 :

6.181.

6.184.

6.187.

6.190.

6.193.


lim	sin3x			.

x→0		x
			− 1
lim		x
					.

x →1	3	x − 1

lim	x − 1
lim	ln x .
x →1	ln x .
lim	tg x − sin x
lim	x − sin x .
x →0	x − sin x .
	eax − ebx
lim		.
lim		.
x →0	sin x

6.182.

lim

tg2x

6.183.

lim

x7 − 1

x→0 x

x →1 x9 − 1

6.185.

lim

1 + cos x

6.186.

lim

e x − 1

x →π

x − π

x→0 sin2x

6.188.

lim

1 − cos x

6.189.

lim

x − sin x

x →0

lim

x − arctg x

lim

1 − 2 sin x

6.191.

6.192.

cos 3x

x →

x →0

lim

3 − 1

6.195. lim

x2 − 16

6.194.

x→1 ln x

x →4 x2 − 5x +

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.24 Mб07829.pdf
#
21.11.2023152.32 Кб0783.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07830.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07831.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07832.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07833.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07834.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07835.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07836.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07837.pdf
#
23.11.20231.24 Mб07838.pdf