Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7758

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

7.93. Вычислить разность	F (2) − F (1) ,	если F (x) -	первообразная для
функции x ln x .
7.94. Вычислить разность	π	, если F (x)	- первообразная для
7.94. Вычислить разность	F (2π ) - F	, если F (x)	- первообразная для
	3

функции (x + 6)cos3x .

§4. Интегрирование рациональных функций

В задачах 7.95-7.115 вычислить интегралы

∫

dx .

∫

7.95.

7.96.

dx .

x -

x + 2

∫

7.98.

7.99.

(x + 2)(x + 3)

(x + 1)(2x - 3)

7.101. ∫

(2 x + 7)dx

∫

x dx

x 2 + x − 2 .

7.102.

2 x 2 − 3x − 2

7.104. ∫

-1

dx .

∫

7.105.

x3 - x

× (x +1)

7.107. ∫

+ 1

∫

x 2 + x + 1

dx .

7.108.

dx .

x 4

- x

7.110. ∫

x × (x2 +1).

7.111.

∫

x3 - 1

113. ∫

x − 2

dx . 7.114. ∫

x − 2

dx .

x4 -1

+ 2x2 + x

7.97. ∫ dx . x2 - 2

. 7.100.

7.103.

7.106.

7.109.

(x − 4)dx

∫ (x - 2)× (x - 3) .

∫ 3x2 + 2x - 3dx . x3 - x

x + 2

∫ x3 + xdx .

x + 1

∫ x4 - x2 dx .

x dx

7.112. ∫ x3 - 1 .

x 2 + 4

7.115. ∫ x 4 + x3 + 4x 2 + 4x dx .

§5. Интегрирование тригонометрических функций

В задачах 7.116-7.133 вычислить интегралы

7.116. ∫ sin 3x ×sin 7x dx .

7.117.

∫ sin 2x × cos6x dx .

7.118. ∫ cos

× cos

dx .

7.119.

∫ sin3 x dx .

7.120. ∫ cos5 x dx .

7.121. ∫ sin2 x × cos3 x dx .

7.122.

∫

cos 3 x

dx .

7.123.

∫

sin 3 x

dx .

7.124. ∫ ctg3 xdx .

sin 2 x

cos x

∫ tg

∫ sin

7.127. ∫ cos

7.125.

xdx .

7.126.

dx .

7.128. ∫ cos 4 xdx .

∫

7.130. ∫

7.129.

3sin x

5 cos 2x

∫

7.133. ∫

7.131.

7.132.

5cos x + 3

1 + sin x

1 + sin x + cos x

§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

В задачах 7.134-7.150 вычислить интегралы

7.134. ∫ x × x + 5dx .

7.137.

∫

dx .

7.140.

∫

x − 1

dx .

2x −

7.143.

∫

dx .

x +

7.146.

∫ x3 ×

1 + x 2 dx .

7.149. ∫		1	dx .
	x ×

		x2 -1

7.135.

∫

dx .

7.136.

∫

dx .

x -1

7.138.

∫

dx .

7.139.

∫

x + 2

dx .

x + 1

∫

dx .

∫

x 2

7.141.

7.142.

dx .

x ×

x - 1

7.144.

∫

dx .

7.145.

∫

dx .

+ 3 x 2

+ 3 x − 2

×(1+

)3 dx .

7.147.

∫

7.148.

∫

9 - x 2 dx .

7.150. ∫

dx .

x2 + 1

§7. Смешанные примеры

7.151. Найти ту первообразную от функции

x , которая принимает

значение 3 при

x = 2 .

x + 3

7.152. График первообразной

F (x)

для функции

проходит

(x - 4)×

x - 4

через точку A( 5 ; 0 ) . Найти

F (8).

В задачах 7.153-7.196

вычислить интегралы

2 − 4x

7.153. ∫ (x + 1)×

∫

dx .

x2 + 2x dx .

7.154. ∫ x4 × 4 1 - 6x5 dx . 7.155.

7x − 1

7.156.

7.159.

7.162.

7.165.

7.168.

7.171.

7.174.

7.177.

7.180.

7.183.

7.186.

7.189.

7.192.

7.195.

7.199.

∫

(2 x + 3)dx

x 2 − 4

∫

xdx

x 4 +1

∫

× 1 - e

− 2 x

∫

1 - xdx

x− 1

∫1 - x dx .

∫x ×sin 2 xdx .

x2 + 1

∫x3 - x2 dx .

∫ sin x × cos3x dx .

ln x

∫ x3 dx .

2 x

∫ dx .

1 + 2 x

∫		x	2	dx .


	8x	3	+ 27
	8x	3	+ 27

∫	dx
	x × (1	+ x) .

∫ sin2			x	× cos2		x	dx .
∫ sin2				× cos2			dx .
	2				2
			dx
∫	ex × (3 + e− x ) .
∫			dx


		1 - 2x			- x 2 .
		1 - 2x			- x 2 .

7.157. ∫

7.158. ∫

1 + 9x 2

2x2 + 9

7.160. ∫

e x dx

7.161. ∫ e x ×

1 - e x dx .

e2 x

+ 4

ln x dx

7.163. ∫

7.164. ∫

x × (1 - ln2 x).

x ×

3 - ln2 x

7.166. ∫

7.167. ∫ x3 × 5 1 - 5x4 dx .

x × (1 - x)

arccos x

sin

7.169. ∫

7.170. ∫

1 − x 2

7.172. ∫ x × tg 2 xdx .

7.173. ∫

arctg x dx

sin 2x

7.175. ∫

dx .

7.176. ∫

dx .

x3 - x 2

5 - cos 2x

7.178.

∫ sin4 x × cos5 x dx . 7.179. ∫ cos5x × cos x dx .

tg x

7.181.

∫

dx .

7.182. ∫

ln x

dx .

cos x

x 2

∫

1 + tg

3 x

7.185 ∫

2 x

7.184.

dx .

cos2

1 + 4 x

+ 2

7.187.

∫ (2 + x 2 )3 dx .

7.188 ∫

dx .

∫

7.191. ∫ cos

7.190.

dx .

cos2

7.193.

∫ tg2 4xdx .

7.194. ∫

sin 5x

dx .

5 + cos5x

7.196. ∫

7.198. ∫

x − 1

dx .

2 - 6x -

9x 2

2x - 1

7.200. ∫

x − 2

dx .

7.201. ∫ tg 7 x dx

2x - x 2

Глава № 8

Определенный интеграл

§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и подведение функции под знак дифференциала

В задачах 8.1-8.12 вычислить интегралы

	3
8.1.	∫ 5x2dx .
	2
	7	dt
8.5.	∫	dt		.


		3t +	4
	−1	3t +	4

4dx

8.2.π∫ cos2 x .

5 dx

8.6.1∫ 3x - 2 .

	4				x				4
8.3.	∫	1		+ e 4		dx .		8.4.	∫ xe − x 2 dx .

	0								0
	1			dx					2	dx
	0∫								1∫
8.7.							.	8.8.			.
			(2 x + 1)3							x 2 + x

x + 3

8.9. ∫

. 8.10. ∫

dx .

8.11. ∫

x dx

8.12. ∫

+ 5x + 4

1 x

0 x 2 + 4

x × 1 + ln x

					§2. Замена переменной в определённом интеграле
В задачах 8.13-8.24										вычислить интегралы
4		1									4				1							1		x dx
8.13. ∫		1				dx .				8.14. ∫					1			dx .			8.15. ∫			x dx					.


0 1		+ x									0 1	+			2x + 1							−1		5 − 4x
13	(x + 1)										0			dx								1
13	(x + 1)										0			dx								1				2
8.16. ∫							dx .			8.17. ∫							.				8.18. ∫		4 - x					dx .
	3											+ 3
			2x +			1
0			2x +			1					−11					x + 1						0
											ln 2
2		3				dx																ln 8			dx
2		3											e x -1dx .									ln 8
	∫										∫											∫
8.19.									.	8.20.											8.21.									.


	2 x2 ×							x2 + 4			0											ln 3 1 + e x
											π
e 4		1 + ln x									π	(2 tg x − 7)dx .										3			x
e 4											4											3
8.22. ∫								dx .		8.23.	4										8.24.	∫					dx .
8.22. ∫								dx .		8.23.	∫										8.24.	∫					dx .
1				x							∫			2	x − 9 sin				2	x		0		6 - x
											0 cos				x − 9 sin					x
§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле
В задачах 8.25-8.36										вычислить интегралы
1											π										π
1																					π
8.25. ∫ x e− x dx .										8.26.	2∫ (x − 1) cos x dx .										8.27. ∫ (π − x) sin x dx .
0											0										0
											0
															74

8.28. ∫ arctg x dx .

4xdx

8.31.π∫ sin2 3x .

2 x cos xdx
8.34. ∫		.

π	sin3 x
4

e ln x dx
8.29. ∫		.
	x3
1

8.32. ∫ x2e− 2 x dx .

8.35. ∫ x 2 2− x dx .

	π
8.30.	4	xdx	.
	∫	xdx
	∫
	0 cos2 x

8.33. ∫ x2 arctg xdx .

8.36. ∫e (1+ ln x)2 dx .

§4. Несобственные интегралы

В задачах 8.37-8.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами

интегрирования ( 1 рода ) или установить их расходимость:

	∞ dx
8.37.	∫				.
8.37.	∫			2	.
	1 x
	∞			dx
	2∫			dx
8.40.							.
8.40.		(x − 1)5					.
	∞			dx
	∫			dx
8.43.						.
8.43.						.
	− ∞ x 2 + 1
	∞
8.46.	∫ e− 4 x dx .
	0
	∞
8.49.	∫ e−x3 x2 dx.
	0
	∞				xdx
	∫				xdx


8.52.			(x2 − 3)3 .
8.52.	2		(x2 − 3)3 .

∞ dx

8.38.

∫

8.39.

∫

∞ 1 + x

∞

xdx

8.41.

∫

dx .

8.42.

∫

x 5

0 x 2 +

∞

∞ ln xdx

8.44.

∫

8.45.

∫

2x +

2 x2 +

∞

−

8.47.

∫ xe − 2 x dx

8.48.

∫

dx .

∞

arctg xdx

8.50. ∫

8.51.

∫

x 2 + 1

e x

ln3 x

∞

8.53.

∫

8.54.

∫

(x + 1)

− ∞ x2 + 2x +

В задачах 8.55-8.63 вычислить интегралы от разрывных функций

(2 рода ) или установить их расходимость:

3	dx		2	xdx		1
8.55. ∫	dx	.	8.56. ∫	xdx	.	8.57. ∫ ln xdx .

	9 − x 2
0	9 − x 2		1	x − 1		0

		1
8.58.	4		dx		.
		∫	dx
		∫
		0 x ln x
	2			dx
8.61.	∫			dx			.


				(x −		1)2
	0 3			(x −		1)2

8.59.	4				dx		.
8.59.	∫						.
	0		1 − cos2x
	0
		1
	0
	0		e x dx
8.62. ∫			e x dx			.
8.62. ∫						.
	−1			x3

	2				dx
	0∫				dx
8.60.							.
8.60.			(x − 1)2				.
			1
	1
8.63.	1	e x dx				.
	∫	e x dx
	∫
	0			x 2

§5. Приложения определённого интеграла

В задачах 8.64-8.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

y = x2 + x

8.64. .

y = x + 1

	y − sin x = 0
8.67.				2		.
8.67.		y =		2	x	.

				π
				π
8.70.		y = x2				.
8.70.						.
	y + x2 = 2x

	y = tg x
8.73.		y = 0 .
8.73.		y = 0 .
		x =	π
		x =	3
			3
		y =
		y =			x
8.76.

	y = 4 − 3x .
		y = 0

		y = x 2

8.79.	lg x + lg y = 0
8.79.			y = 0			.
			y = 0
		x = 2
		x = 2

y = 4x − x2

8.65. .

y − x = 0

y = (x − 1)2

8.68. .

y = x + 1

		y = cosx
8.71.			π			π .
8.71.			π		y =	π .
	x +		2		y =	2
			2			2
	y = x3
			1
			1
8.74.	y =				.
8.74.	y =			x	.
				x
	x = 2

	y + x 2 = 3x
8.77.
8.77.	y = 6 − 2x .
		x = 0

	y = (x − 1)2
		x = 0
8.80.		x = 0				.
8.80.		y =			0	.
		y =			0
		x = 5
		x = 5

8.66.	y = x2 + 1				.
8.66.			3 − x2		.
	y =		3 − x2
		y = x 2
8.69.					.
8.69.					.
	y = 2 2x
	y =
	y =			x3
8.72.		x = 3
8.72.		x = 3
		y = 0
		y = 0

			y = 2− x
8.75.
8.75.	x − 2 y + 2 = 0 .
		x − 2 = 0

	y = e2 x
8.78.
8.78.	y = e−2 x .
	x − 3 = 0

	y = 4x − x 2
		x = 0
8.81.		x = 0			.
8.81.			y = 1		.
			y = 1
		y = 3
		y = 3

Взадачах 8.82-8.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями

вполярных координатах ( ρ > 0 ):

8.82.	ρ = 3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .			8.83.	ρ = 2cosϕ .	8.84.	ρ = 2sinϕ .
8.85.	ρ = cos2ϕ .			8.86.	ρ = 2sin2ϕ .	8.87.	ρ = 4cos3ϕ .
8.88.	ρ = 1 + sinϕ .			8.89.	ρ = 2(1 − sinϕ ).	8.90.	ρ =		(1 + cosϕ ).
								2
8.91.	ρ =		(1 + sinϕ ).	8.92.	ρ 2 = 2 cosϕ .	8.93.	ρ 2 = 2 sinϕ .
		2

В	задачах		8.94-8.102	вычислить площади фигур,			ограниченных
линиями:
x = 3cost		.	8.95.	x = 2 + 2cost	.	x = 2cost		.
8.94.						8.96.
y = 3sin t				y = 3 + 2sin t		y = 4sin t

x = 2 + 3cos t		.	8.98. Астроидой
8.97.	+ 2sin t
y = 3

8.99. Одной аркой циклоиды x = t − sin t

y = 1 − cost

x = cos3 t		t Î[0;2π ] .
	,	t Î[0;2π ] .
y = sin	3 t

и осью Ох .

8.100..	Первой аркой циклоиды		x = t − sin t		и прямой		y =	1	( 0 < x < 2π ) .

			y = 1 − cost				2
8.101.	x = 2cost	, y = 3 ( y ³ 3 )	8.102.	x = 8cos3 t		x = 1	( x ³ 1 )
					,
	y = 6sin t			y = 8sin3 t

В задачах 8.103-8.111 вычислить объемы тел, образованных вращением

вокруг оси Ox фигур, ограниченных линиями:

	y = 2x − x						2			y − sin x = 0						y = cos x
8.103.	y = 2x − x							.				2		.			9			2 .
8.103.								.	8.104.			2		.	8.105.		9			2 .
			y = 0								y =		x			y =			x
																		2
												π					2π	2
												π					2π
			y 2 =			3					2x − x2 − y = 0					y = ax − x2 ,
								x
						2		x	. 8.107.						. 8.108.
8.106.						2			. 8.107.						. 8.108.			y = 0
		2	+ y	2	= 1,			(x > 0)		2x2 − 4x + y = 0								y = 0
x			+ y		= 1,			(x > 0)

a > 0

y = ln x
	y = 2 .
8.109.
	x = 2

xy = 4

x = 1	.
8.110.	.
x = 4

y = 0

y = 1 − x 2


x = y − 2
8.111.	.
	x = 1
	x = 0

В задачах 8.112-8.123 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Oy фигур, ограниченных линиями:

	y 2	= 4 − x	y = x3
8.112.	y 2	= 4 − x
8.112.		.	8.113. y = 0 .
		x = 0	x = 2

	y = x2 −
8.115.		y =

		x =

	y = sin x
		y = 1
8.118.
		x = 0

	y = e x

8.121.	y = 0
		.
	x = 1

=x 0

2x + 1

0	. 8.116.
2

. 8.119.

8.122.

y = 2x − x2
	y = 2 − x .

	x = 0

x + y = 2
	y = x .

	y = 0

y = x − 1y = 0

		y = 1 .
			1
		x =

		2

8.114.

8.117.

8.120.

8.123.

	y 2 = x3

y = 0, (y > 0)
	x = 1

y = arcsin x
	= arccos x
y
	y = 0

x + y = 2
	y = x .

	x = 0

y 2 = x − 2
	y = 0

		.
	y = 1
	y = x	3

В задачах 8.124-8.132 вычислить длины дуг кривых:


8.124.	y =		2 − x2 от точки B (− 1 ; 1) до точки	A(1 ; 1 ).
8.125.	y = x 2 − 2 между точками пересечения кривой с осью OX .
8.126.	y = e x между точками, для которых x = 0			и x = 1 .
8.127.	y =	1	(ex + e− x ) (цепная линия) между точками с абсциссами x = −1

	2

и x = 0 .

	x = 3(t − sin t)			π ≤ t ≤ 2π .
8.128. Циклоиды		- cost)	,	π ≤ t ≤ 2π .
	y = 3(1	- cost)

8.129.

8.130.

	x = 4cos3 t		, 0 ≤ t ≤	π
Астроиды		3 t	, 0 ≤ t ≤	.
	y = 4sin	3 t		4

	x = R(cos t + t sin t )	от t1 = 0 до t 2 = π .
Эвольвенты окружности		от t1 = 0 до t 2 = π .
	y = R(sin t - t cos t )

8.131. Кардиоиды ρ = 3(1 + cosϕ ).

8.132. Окружности ρ = 23 cosϕ между точками, для которых ϕ = 0 и ϕ = π .

Глава № 9

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

§1. Область определения функции

В задачах

9.1-9.12 найти и изобразить на координатной плоскости xOy

области определения функций:

9.1. z =

x + 2 y

9.2. z =

9.3.

z =

x - y

- y2

+ 4 y2 -

. 9.5. z =

9.4. z =

1 − x2

1 − y2

z = ln x +

1 - x - y

9.6.

y .

9.7. z =	1	- ln(x × y).

	x - 2

9.10. z = y + arcsin (x + 2).

ln(x 2

× y )

(

- x

- y

2 )

9.8.

z =

9.9. z =

ln 1

y - x

9.11. z =

1 + y2

9.12. z = ln(y 2 - 4 x + 8).

sin x

		§2. Линии уровня функции нескольких переменных
В задачах 9.13-9.24				написать			уравнения линий			уровня функции
z = f ( x ;	y ) и построить их:
9.13. z =			. 9.14.	z =	x	.	9.15. z =	y - x2	.
		y − x2								9.16. z = x 2 × y + y .


					y			x2

	z =	y		z = x ×							z = x × y + y .					z =				- y .
9.17.			. 9.18.			y - 1			.	9.19.					9.20.
																		x
		x

9.21.	z = y 2 - x .			9.22.	z =		y	.		9.23.	z =	x	2	.	9.24.	z =	2 y		.
												y

							x3						2				x

§3. Частные производные

В задачах 9.25-9.42 найти частные производные первого порядка :

9.25.	z = x − y .								9.26.	z = x 2 + 3x × y - y 3 .
9.28.	z =		x × y					.	9.29.	z = x × tg(y + 1) .
9.28.	z =	x	2	+ y		2		.	9.29.	z = x × tg(y + 1) .
		x		+ y
9.31.	z = x × ln y + arcsin y .								9.32.	z = arctg			y	.
9.31.	z = x × ln y + arcsin y .								9.32.	z = arctg				.
													x
9.34.	z = ysin x .								9.35.	z = (5x3 × y 2 + 1 )4 .
					y					z = ln(x +						).
9.37.	z = x × ln				y		.		9.38.						x2 + y2
9.37.	z = x × ln						.		9.38.						x2 + y2
					x
9.40.	u = x × y + y × z + x × z .								9.41.		y	.

										u = x z
										u = x z

9.27. z = u + v . v u

9.30. z = 2 y . sin x

9.33. z = x y .

9.36.z = e x .

9.39.u = x × y × z .

9.42.u = x y z .

	В задачах 9.43-9.48 найти производные второго порядка								z	′′		z	′′	,	z′′
	В задачах 9.43-9.48 найти производные второго порядка									xx ,			yy	,	xy :
						1						.
9.43.	z = x3 + x × y 2 - 5x × y 3 .			9.44.	z =	1	(x 2 + y 2 )3
9.43.	z = x3 + x × y 2 - 5x × y 3 .			9.44.	z =		(x 2 + y 2 )3
					3
	z = ln(x +		).		z = arctg			x + y			.
9.45.		x2 + y2		9.46.				x + y
9.45.		x2 + y2		9.46.
							1 - xy
9.47.	z = y ln x .			9.48.	z = arcsin (xy ).

В задачах 9.49-9.52 найти смешанные производные указанного порядка

от заданных функций :

	¶	3	z			¶	3
9.49.				от z = sin(x × y) .	9.50.		z	от z = e xy 2 .
			2			¶x	2
	¶x¶y						¶y

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.22 Mб07753.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07754.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07755.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07756.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07757.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07758.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07759.pdf
#
21.11.2023152.14 Кб0776.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07760.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07761.pdf
#
23.11.20231.22 Mб07762.pdf