7700

y x4

1

-1 0

1

x

Рис.57

Функция y f x называется

нечетной, если f x f x .

Пример.

Функция y x3

является

нечетной,

так как

y x x 3

x3 y x ,

следовательно,

график этой

функции

симметричен относительно начала координат. (См. рис. 58)

y

y x3

1

-1

0

1

x

-1

Функция y f x называется

периодической, если существует

такое положительное число T , что

f x T f x . Наименьшее из таких

чисел T называется периодом функции. График периодической функции

достаточно построить на отрезке

оси Ox длины периода T , а затем

продолжить, сдвигая на k T , где k 1, 2, по оси Ox .

1

Пример. Функция y

периодическая с периодом T , так

sin 2 x

1

1

1

как y x T

y x . График этой

sin 2 x T

sin x 2

sin 2 x

функции изображен на рис. 59.

2

3

0

3

2 x

2

2

2

2

Рис. 59

Асимптоты графика функции

x ,

Прямую L называют асимптотой графика функции

y f

если расстояние

до

точки

M x; y

кривой

y f x

от

прямой

L

Прямая x a является вертикальной асимптотой кривой

y f x ,

если lim f x .

x a

Прямая y b является

горизонтальной

асимптотой

кривой

y f x , если lim f x

b .

x

y f x

Прямая y kx b является наклонной асимптотой кривой

, если существуют пределы:

k lim

f x

и b lim f x

kx .

x

x

x

Пример. Найти асимптоты кривой y

x2

.

x 1

31

Решение. Данная функция определена

в интервалах

;1 и

1; .

Так как lim

x2

12

1

, то прямая x 1 есть вертикальная

1 1

x 1

x 1

0

асимптота данной кривой.

Горизонтальных

асимптот

кривая

не

имеет, так

как

предел

lim

x2

lim

x2

lim

2x

не

является

конечной

x 1

x 1

1

x

x

x

величиной.

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y kx b :

f x

2

k lim

lim

x

lim

x

lim

x

lim

1

1;

x

x 1

x

x

x 1 x

x

x 1

x

x

1

b lim f x kx

x2

x

lim

1 x lim

1.

x

x

x 1

x

x 1

Точки минимума и максимума

Функция y f x

называется возрастающей (убывающей) на

интервале a;b , если для любых точек x1 ,

x2

a;b таких,

что x1 x2 ,

имеет место неравенство:

f x1 f x2 f x1

f x2 .

Дифференцируемая

на интервале

a;b функция

y f x

любого x a;b :

f

f x 0

x 0 .

Точка x0 называется

точкой максимума (минимума) функции

y f x , если:

1) функция y f x определена в некоторой

- окрестности точки x0 ;

2) для любого x из - окрестности точки x0

справедливо неравенство:

f x f x0 f x f x0 (См. рис. 60 и 61).

x x

x0 0

x0

x

0

т. max

y

y

f x

f x0

x 0

x0

x

x

x

0

т. min

0

Рис. 61

Точки максимума и минимума функции называются точками

экстремума функции.

Необходимое условие экстремума: если

x0

– точка

экстремума

функции y f x , то в этой точке либо

f x0 0 ,

либо производная не

существует.

y f x

Достаточные условия

экстремума: пусть

функция

функции y

x2

.

x 1

x

2

x

2

x

2

y

x 1

x 1

x 1 2

x 1

2x x 1 x2 1

2x2 2x x2

x2 2x

.

x 1 2

x 1 2

x 1 2

Используя необходимые условия экстремума, находим

критические точки:

x x 2 0, откуда x1

y 0 x2 2x 0

или

0 или x2 2.

y не существует x 1 2

0 , откуда x3 1.

Используем достаточные условия экстремума. Наносим три

критические

точки

x1 0 ;

x2 2;

x3 1 на

область

определения D

знак функции y

в каждом интервале.

y

+

–

–

+

y

0

1

2

x

Так как x1

0 D и при переходе через эту точку

y

меняет знак

плюс на минус, то x1

0 – точка максимума функции y .

Так как x2

2 D и при переходе через эту точку

y

меняет знак

минус на плюс, то x2

2 – точка минимума функции y .

Так как при любом x ;0

или x 2;

y 0 , то в

интервалах ;0 и 2; функция y монотонно возрастает.

Так как при любом x 0;1 или

x 1; 2

y 0 ,

то в интервалах

0;1 и 1; 2 функция y монотонно убывает.

Интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

Точки перегиба

График функции y f x

называется выпуклым вниз в интервале

a

x

0

b

x

a 0

x

b

x

Рис. 63

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика

функции:

то график функции y f x

если

f x 0 в интервале a;b ,

является выпуклым вниз в этом интервале; если

же

f x 0 , то в

интервале a;b график функции y f x – выпуклый вверх.

Пусть функция y f x

дифференцируема

в интервале a;b и

x0 a;b .

Точку

x0 ; f x0

графика

функции

y f x называют

точкой перегиба этого графика, если существует такая – окрестность

точки x0 оси Ox ,

в границах которой график функции

y f x слева и

справа от точки x0

имеет разные направления выпуклости (См. рис. 64).

a x0 0

x0

x0

b

x

Рис. 64

Необходимое условие перегиба функции y f x в точке x0 : если

x0

– точка перегиба функции

y f x и

функция y f x имеет в

некоторой – окрестности точки x0

вторую производную, непрерывную в

точке x0 , то

f x0 0 .

Достаточное условие перегиба функции y f x в точке x0 : если

функция y f x непрерывна в – окрестности точки x0 , имеет в точке

x0

конечную или бесконечную определенного знака производную f x0 ,

а функция

–

окрестности точки x0 , кроме быть

f x определена в

y

y

0

x

Так как x 0 D и при переходе через эту точку y меняет знак, то

x 0 – точка перегиба данной функции.

;0

Так как для любого

x 0

то

в

интервале

y x 0 ,

функция y выпукла вниз.

0;

Так как для любого

x 0

то

в

интервале

y x 0,

2. Поскольку y x

x 3 2

x 3 2

и y x y x и

x 1 3

x 1 3

y x y x , то функция

y не является четной и нечетной, то есть

3. Находим асимптоты кривой.

Поскольку lim

x 3 2

1 3 2

4

, то

x 1 – уравнение

x 1

1 1

0

x 1

3

3

y x

x 3 2

k lim

lim

lim

x 3 2

x

x x 1

x x 1 3

x

x

3

x

lim

2 x 3 1

lim

2x 6

1

x 3 3 x 3 x 1 2 1

x 1 2

x 1 3x

x

x

2x 6

lim

lim

2x 6

x 1 4x

1

x 1 2 4x 1

x

2

x

lim

2

2

2

0

;

2 x 1 4x 1 x 1 2 4

x

x 3

x 3

y x kx lim

2

2

b lim

x

3

0 x lim

3

x

x

1

x

x 1

2 x 3

lim

x 3 2

lim

x 1 3

3 x 1

x

x

2

2

lim

x 3

2

lim

1

2

1

2

0 0.

x 1 2

2 x 1

3

3

x

3

x

3

Следовательно

y 0 –

уравнение

горизонтальной

асимптоты

графика

2

2

3

2

3

y

x 3

x 3

x 1 x 3

x 1

3

3

2

x 1

x 1

2 x 3 x 1 3 x 3 2 3 x 1 2

x 1 6

2x2 8x 6 3x2 18x 27

x2 10x 21

x 1 4

x 1 4

38

x 3 x 7

x 1 4

Используя необходимое условие экстремума, находим

y 0

x 3 x 7 0,

откуда

x1 3

или x2 7 ;

y не существует

x 1 4

0, откуда x3

1.

Используем достаточные условия экстремума. Найденные три

критические точки наносим на область определения D и определяем знак

y в каждом из четырех интервалов.

y

y

0

1

3

7

x

0 3 0 7

21

y 0

0 1 4

21 0

1

Так как

x1

3 D

и при переходе через эту точку

y меняет знак

минус

на

плюс,

то

x1

3

–

точка

минимума

функции

y ,

y 3

3 3 2

0

0 .

3 1 3

8

Так как x2

7 D и при переходе через эту точку

y

меняет знак

плюс

на

минус,

то

x2

7

–

точка

максимума

функции

y ,

y 7

7 3 2

16

2

.

7 1 3

216

27

Так

как

при

x 1,

1 x 3,

x 7

в

интервалах

y x 0 , то

;1 , 1;3 ,

7; функция y монотонно убывает.

Так как при 3 x

7

функция y

y x 0, то в интервале 3; 7

перегиба.

x 3 x 7

y y

4

x 1