столбец таблицы записываем квадрат этого отклонения di2 для каждой строчки, после чего все квадраты отклонений суммируются.

Согласованность мнений специалистов определяется коэффициентом конкордации:

где S(di2) - сумма чисел в столбце di2.

При идеальном совпадении мнений экспертов Wn = 1. Однако такая ситуация крайне редка. Поэтому считается, что анкета себя оправдала и при меньшем значении Wn. Проверка достоверности результатов производится по критерию хи-квадрат:

χ2р=m(n-1)Wn.

Табличное значение χ2т определяется в зависимости от чисел степеней свободы df=n-1 для определенного уровня значимости. Если расчетный критерий больше табличного, то результатом анализа экспертных оценок пользоваться можно – мнения специалистов о входных факторах достаточно сходны. Появляется возможность оценить последовательность факторов по степени важности (по суммарному рангу) и выбрать факторы наиболее важные для дальнейших более глубоких исследований.

Задание. Составить гипотетический пример опроса 6 экспертов по 8 факторам, внести результаты в таблицу и проверить возможность использования мнения экспертов для выбора наиболее важных факторов.

Существуют другие, более сложные статистические методы предварительного сокращения числа входных факторов, требующие проведения предварительных т.н. отсеивающих экспериментов с самим объектом исследования. x

Методы поиска оптимального решения. Во многих научных и прикладных исследованиях перед экспериментатором возникает задача не только построить дескриптивную модель процесса – т.е. выявить характера связи между двумя или несколькими рядами наблюдений (входные факторы и выходными параметрами). Требуется также найти такие численные значения факторов, при которых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения (максимума или минимума). Например, выявить оптимальных условий протекания процесса, максимальной продуктивности, минимальных материальных и энергетических затрат, наивысшего качества продукции.

На основе теоретического анализа процессов при наличии достаточной информации об их механизмах можно составить детерминированную математическую модель объекта. Затем применяют, например, известный математический аппарат линейного программирования. Однако, как уже отмечалось, при проведении большинства исследований механизмы процессов, протекающих в сложных объектах, остаются неизвестными.

Кроме того, значение выходного параметра (y) может нести значительные случайные ошибки. Поэтому необходимо строить эмпирические модели с использованием методов математической статистики, включающие теорию планирования экспериментов

Эксперименты, решающие подобные задачи, называются экстремальными. Формально задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом: требуется определить такие координаты экстремальной точки (x1*, x2*, ..., xn*), где значение поверхности отклика y=f(x1, x2, ..., xn) максимально (минимально): max y(x1, x2, ..., xn)=y(x1*, x2*, ..., xn*). Графическая интерпретация задачи оптимизации процесса, например, при двух входных факторах y(x1, x2), представлена на рис 1. Здесь точка А соответствует оптимальным значениям факторов x1* и x2*, обеспечивающим максимум функции отклика (max y).

Рисунок 1

Рассмотрим несколько подходов к решению этой задачи.

Метод Зайделя-Гаусса. Для простоты ограничимся примером двухфакторного эксперимента. На рис. 2 представлены замкнутые кривые равного уровня исследуемого отклика y=f(x1, x2)=B=const в плоскостях входных факторов x1 и x2.

Пусть эксперимент начинается в точке А, с варьирования фактора x1. Шаг вправо даёт уменьшение у. Поэтому в эксперименте с определенным

«шагом» осуществляется движение вдоль линии 1-1 до тех пор, пока у растет и достигнет максимума в точке В. После этого направление движения меняется и оно происходит вдоль оси x2. Т.к. уменьшение x2 ведет к уменьшению у, то движение идет в сторону увеличения x2 и достигает максимума в точке С. После этого направление движения снова изменяется и оно продолжается до локального максимума в точке Д и т.д. Таким образом, суть метода состоит в поочередном варьировании каждого фактора до достижения локального экстремума.

Рисунок 2

Преимущество метода – его простота, а недостаток – низкое быстродействие: требуется слишком много экспериментов. Кроме того, нет гарантии, что таким способом удастся выйти на глобальный максимум (минимум) выходного параметра y.

y

x2

u1 u2

x1

Рисунок 3

Действительно, выходной параметр может иметь несколько локальных (местных) экстремумов, например, на рис. 3 – в точках u1 и u2 (точка х называется точкой локального экстремума, если в ней значение функции больше, чем значение этой функции в достаточно малой окрестности этой точки). Один из способов поиска глобального максимума – несколько раз начинать поиск из новой точки пространства входных переменных, хотя и он не дает гарантии.

Метод сканирования предусматривает полный перебор всех возможных вариантов. Чтобы их число было конечным, метод должен быть дискретным. Применительно к двухфакторному эксперименту (рис. 4) это означает, что факторы x1 и x2 приобретают лишь определенные значения, которые могут характеризоваться неименованными величинами или просто номером. Иными словами опыт может ставиться лишь в узлах решетки, создаваемой дискретными значениями факторов.

Для полного перебора всех точек в эксперименте движение можно начать из начала координат и двигаться вдоль одного из факторов, например x1. При достижении точки с координатами [9.0] мы проводим опыт в точке [9.1] и дальшеперемещаемся вдоль x1 в обратную сторону. Полная траектория движения, обеспечивающая перебор всех точек, показана на рис. 4 жирной линией.

Рисунок 4

Значения у во всех точках сравниваются между собой и выбирается наибольшее (или наименьшее). Преимущество метода заключается в том, что он позволяет найти глобальный оптимум. Недостатки метода - малое быстродействие, а также резкое увеличение числа экспериментальных точек при большем числе входных переменных.

Метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона). Рассмотрим случай, когда на систему оказывают влияние только два фактора (х1 и х2 в безразмерном масштабе ±1). Очевидно, что путь к экстремуму по ломаной кривой в методе Зайделя-Гаусса (рис. 2) не является оптимальным. Кратчайшим, наиболее «крутым» путем достижения экстремума будет движение из точки L по т.н. градиенту – перпендикулярно изолиниям y=const (на рис. 5 б этот путь показан пунктирной линией).

Для реализации движения в направлении подобных линий Бокс и Уилсон предложили шаговый метод движения по поверхности отклика.

Сперва в окрестности точки L ставится ПФЭ или ДФЭ для локального и приблизительного описания поверхности отклика, например, линейным уравнением регрессии:

Движение из точки L начинается в направлении градиента этого линейного приближения. Направление такого движения определяется аналитически и продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост y. В точке с наибольшим значением y (точка R – центр нового плана) ставится очередная серия опытов, строится новая регрессионная модель и определяется новое направление движения по поверхности отклика. Такой шаговый процесс продолжается до достижения области, близкой к экстремуму.

Рисунок 5

Значительный выигрыш в достижении минимума (максимума) поверхности отклика можно получить, если учесть в регрессии взаимодействие факторов (если оно существенно). На рис. 6 сравниваются два варианта движения по градиенту к максимальному значению отклика. Первый вариант – с использованием только линейной части аппроксимации (линия I на рис. 6):

,

второй с учетом значимого взаимодействия двух факторов (линия II):

.

Рисунок 6.

Кроме названных, существуют более сложные методы и программы поиска экстремума, также основанные на построении эвристических регрессионных моделей (Грачева, Плаксина, 2005).

Список использованной литературы

1.Грачев Ю.П., Плаксин Ю.М. Математические методы планирования экспериментов. Учебное пособие. М.: ДеЛи принт. 2005. – 294 с. Библиотека РГАУ-МСХА

2.Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Монография. М.: Мир. 1981. – 516 с. Кафедра

3.Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971, - 208 с.

4.Рыков В.В., Иткин В.Ю. Математическая статистика и планирование эксперимента. Учебное пособие. М.: РГУ НГ. 2009.

Эдуард Александрович Кюберис

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ВОДОСНАБЖЕНИЯ И ВОДООТВЕДЕНИЯ

Учебно-методическое пособие

по дисциплине «Моделирование систем водоснабжения и водоотведения» для обучающихся по направлению подготовки 08.04.01 Строительства, направленность (профиль) Водоснабжение и водоотведение

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru