7006

11

2 .2 Теплопроводность плоской многос лойной стенки

например, стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с др угой – внешняя облицовка. О бмуровка печей,

котлов и других тепловых устройств также обычно состоит из нескольких слоев.

Пусть стенк а состоит из трех разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев ( рис. 2 ) . Толщина первого слоя δ1 второго δ2 и третьего δ3 . Соответственно коэффициенты теплопроводности слоев λ1 , λ2 и λ3 . Кроме того, известны температуры нару жных поверхностей стенки t 1 и t 4 . Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным,

температуру в мес тах контакта мы обозначим ч ерез t 2 и t 3 .

Рисунок 2 – Теплопроводность через плоскую многослойную

стенку

12

При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова. Поэтому на основании уравнения (4) можно написать

q = δλ1 (t1 − t2 )

1

q = δλ2 (t2 − t3 ) } (14 )

2

q = δλ3 (t3 − t4 )

3

Из этих уравнений легко определить температурные напоры в каждом слое

Сумма температурных напоров в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части

системы уравнений (1 5), получаем

Так как каждое слагаемое знаменателя в формуле (17 )

представляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения (1 8) следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных термических

сопротивлений.

Если значение плотности теплового потока из уравнения

(17 ) подставить в уравнение (1 5), то получим значения

n

tn+1 = t1 − q∑ δi / λi .

i=1

Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой,

но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию ( рис. 3 ) .

Значения неизвестных температур t 2 и t з многослойной стенки можно определить также графически (рис. 3 ) .

14

Рисунок 3 – Граф ик определения неизвестных температур t 2 и t 3

многослойной сте нки

восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в

произвольном, н о одинаковом масштабе, откладываются

значения наружны х температур t 1 и t 4 . Получен ные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со

средними перп ендикулярами дают значения искомых

температур t 2 и t з. При таком построении ΔАВС = ΔАD Е.

Иногда ради сокращения выкладок многоослойную стенку

рассчитывают как однослойную (однородную) толщиной . При

этом в расчет вводится так называемый эквивалентный

Отсюда имеем

15

Для n -слойной стенки

Таким образом, эквивалентный коэффициент теплопроводности λэк зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.

При выводе расчетной формулы для многослойной стенки мы предполагали, что слои плотно прилегают друг к другу и благодаря идеальному тепловому контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру.

Однако если поверхности шероховаты, тесное соприкосновение невозможно и между слоями образуются воздушные зазоры. Так как теплопроводность воздуха мала [ λ = 0 ,025 Вт/( м·° С)], то наличие даже очень тонких зазоров может сильно повлиять в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Аналогичное влияние оказывает и слой окисла металла. Поэтому при расчете и в особенности при измерении теплопроводности многослойной стенки следует обращать внимание на плотность контакта между слоями.

2 .3 . Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку ( трубу)

длиной l , с внутренним радиусом r 1 и внешним r 2 . Коэффициент теплопроводности материала λ постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t 1 и t 2 , причем t 1 >t 2 (рис. 4 ) и температура изменяется только в радиальном направлении r . Следовательно,

16

температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось.

Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr , ограниченный изотермическими поверхностями.

Разделив переменные, имеем

17

После интегрирования уравнения

Подставляя значения переменных на границах стенки ( при r = r 1 t = t 1 и при r = r 2 t = t 2 ) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине l и температурному напору t , . и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d 2 к

внутреннему d 1 . Формула (26) справедлива и для случая, когда t 1 < t 2 , т. е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней.

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы,

может быть отнесено либо к единице длины 1 , либо к единице внутренней F 1 или внешней F2 поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид

18

Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то различными получаются и значения плотностей тепловых потоков q 1 и q 2 . Взаимная связь между ними определяется соотношением

или

Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (25 ) .

Подставляя сюда значения Q и С, имеем

Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности λ температура изменяется по логарифмической кривой ( рис. 4) . С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид

19

2 .4 . Тепло проводность цилиндрическо й многослойной

стенки

Пусть цилин дрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев известны, и х обозначения смотрите на рис. 5 .

Рисунок 5 – Теплопроводность через цилиндрическкую многослойную

стенку

Кроме того, известны температуры внутреенней и внешней поверхностей многослойной стенки t 1 и t 4 . в местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их

Складывая отдельно, левые и правые части системы уравнений (3 5), имеем

Сумма этих температурных напоров составляет полный температурный напор

из этого уравнения определяем значение линейной

плотности теплового потока qe

По аналогии с этим сразу можно написать расчетную формулу для n - слойной стенки