5839
.pdf
80
ln b − a
13 2,463501 9,8721 1,0984 3,762 c2 + 4a
(b + c)2
14 34,2876 2,9875 7,542 0,231
3a − cos c
15 |
0,009873 |
|
a + b |
|
0,0231 |
2,8675 |
8,907 |
|
(c − b)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
(a − c)2
16 2,9807 5,432 1,876 2,0981
2a + ln b
6.3.Лабораторная работа № 2. Интерполирование таблич-
ных функций
Дана таблица значений функции |
f (x) = e x − sin x |
с верными циф- |
|||
рами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f ( x) |
|
x |
|
f ( x) |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1,0 |
|
1,8768 |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
1,0053 |
|
1,1 |
|
2,1130 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
1,0227 |
|
1,2 |
|
2,3881 |
|
|
|
|
|
|
0,3 |
1,0543 |
|
1,3 |
|
2,7057 |
|
|
|
|
|
|
0,4 |
1,1024 |
|
1,4 |
|
3,0696 |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
1,1693 |
|
1,5 |
|
3,4842 |
|
|
|
|
|
|
0,6 |
1,2575 |
|
1,6 |
|
3,9536 |
|
|
|
|
|
|
0,7 |
1,3695 |
|
1,7 |
|
4,4823 |
|
|
|
|
|
|
0,8 |
1,5082 |
|
1,8 |
|
5,0758 |
|
|
|
|
|
|
0,9 |
1,6763 |
|
1,9 |
|
5,7396 |
|
|
|
|
|
|
1.Вычислите приближенное значение f (a) с помощью первого
интерполяционного многочлена Ньютона второй степени, определите его абсолютную погрешность и верные значащие цифры.
|
81 |
2. Линейным |
интерполированием найдите значения функции |
f для аргументов a, b |
и определите их верные значащие цифры с помо- |
щью таблицы конечных разностей. Все исходные данные считать точными числами.
Вариант |
a |
b |
Вариант |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,38 |
0,35 |
9 |
0,71 |
0,75 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1,02 |
1,07 |
10 |
0,85 |
0,83 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1,15 |
1,18 |
11 |
0,96 |
0,92 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1,22 |
1,24 |
12 |
0,12 |
0,18 |
|
|
|
|
|
|
5 |
1,36 |
1,31 |
13 |
0,23 |
0,26 |
|
|
|
|
|
|
6 |
0,59 |
0,54 |
14 |
1,58 |
1,55 |
|
|
|
|
|
|
7 |
0,63 |
0,68 |
15 |
0,44 |
0,47 |
|
|
|
|
|
|
8 |
0,73 |
0,79 |
16 |
1,73 |
1,79 |
|
|
|
|
|
|
6.4.Лабораторная работа №3. Квадратичное приближение табличных функций по методу наименьших квадратов
По данной таблице найти многочлен второй степени P2 (x), являю-
щийся наилучшим приближением к соответствующей табличной функции по методу наименьших квадратов. Построить графики таблицы и найденного многочлена. Найти все уклонения от табличных значений и среднеквадратичное уклонение.
Вариант 1
x |
|
0,10 |
0,30 |
0,40 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0,25 |
0,50 |
0,65 |
0,55 |
0,42 |
0,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
-2,00 |
-1,80 |
-1,70 |
-1,60 |
-1,40 |
-1,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
5,10 |
4,00 |
3,20 |
3,90 |
4,80 |
6,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
82
Вариант 3
x |
|
1,30 |
1,40 |
1,60 |
1,70 |
2,00 |
2,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2,40 |
1,80 |
1,20 |
1,40 |
2,30 |
2,90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0,40 |
0,70 |
0,90 |
1,10 |
1,40 |
1,60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0,15 |
0,83 |
1,65 |
1,52 |
0,90 |
0,31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2,00 |
2,50 |
2,70 |
2,90 |
3,20 |
3,40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
-0,11 |
-0,81 |
-1,05 |
-0,90 |
-0,23 |
-0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
-0,50 |
-0,30 |
-0,20 |
0,10 |
0,40 |
0,80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2,30 |
1,20 |
1,05 |
0,90 |
1,20 |
2,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1,10 |
2,00 |
2,50 |
2,90 |
3,50 |
4,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0,32 |
0,05 |
-0,10 |
-0,12 |
0,12 |
0,27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0,30 |
0,50 |
0,80 |
0,90 |
1,20 |
1,40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1,10 |
0,60 |
0,40 |
0,38 |
0,65 |
0,90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
-0,40 |
-0,10 |
0,10 |
0,20 |
0,50 |
0,70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1,30 |
3,50 |
4,20 |
4,00 |
2,80 |
1,60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1,20 |
1,40 |
1,50 |
1,60 |
1,80 |
2,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0,90 |
3,30 |
4,10 |
3,90 |
2,80 |
1,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
-0,90 |
-0,80 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,20 |
-0,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0,15 |
0,61 |
1,20 |
1,10 |
0,70 |
0,22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
83
Вариант 12
x |
|
-1,00 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1,40 |
0,90 |
0,65 |
0,51 |
0,78 |
1,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0,20 |
0,30 |
0,50 |
0,70 |
0,90 |
1,20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
-2,10 |
-0,50 |
1,15 |
1,30 |
-0,60 |
-2,70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2,20 |
2,50 |
2,60 |
2,80 |
3,10 |
3,20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1,70 |
0,80 |
0,52 |
0,30 |
0,91 |
1,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения
1.На координатной плоскости постройте точки таблицы и убедитесь в том, что их расположение локализуется вблизи некоторой квадратичной параболы.
2.Напишите в общем виде систему уравнений для определения коэффициентов многочлена P2 (x) и выражения для коэффициентов систе-
мы.
3.Составьте программу вычисления коэффициентов и решения системы по правилу Крамера.
4.Найдите P2 (x) (при этом округлите коэффициенты до двух зна-
ков в дробной части) и постройте график P2 (x) на той же координатной плоскости, где отмечены точки таблицы.
5. Найдите все уклонения и среднеквадратичное уклонение многочлена P2 (x) от табличной функции.
6.5. Лабораторная работа № 4. Приближенное вычисление
определенных интегралов
Задание
1. Вычислите данный интеграл по формуле трапеций при n = 3 и
при n = 6 . Оцените погрешность приближения I 6(T ) методом двойного пе-
84
ресчета, а затем найдите абсолютную погрешность этого приближения по формуле строгой оценки погрешности.
2.Вычислите данный интеграл по формуле Симпсона с точно-
стью до ε = 0,5 ×10−4 .
3.Вычислите интеграл по формуле Ньютона-Лейбница с максимальной точностью, которая возможна при используемых вычислительных средствах.
4.Сравните полученные результаты по их точности.
Варианты заданий
Вариант |
|
|
|
|
Интеграл |
Вариант |
|
|
Интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∫ cos x dx |
||
1 |
∫ cos(1 - 2x) dx |
2 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
∫ e2 x dx |
4 |
∫ cos 3x dx |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∫ (x - e2 x )dx |
||
5 |
∫ sin 2x dx |
6 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
−1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
∫ (3x + cos x)dx |
|||
7 |
1 + x |
8 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
−1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
9 |
∫ e x |
2 dx |
10 |
∫ sin(x +1)dx |
|||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
(1 + x + x 4 )dx |
|
3 |
|
|
|||
11 |
∫ |
12 |
∫ e−3x dx |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
∫ ln(2x + 3)dx |
|
∫ |
|
dx |
||||
13 |
14 |
x -1 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указания к работе. При вычислении по формуле Симпсона нужно сначала определить число n , при котором формула обеспечивает точность
85
ε , затем составить программу реализации формулы и с ее помощью найти
I n(C ) . Чтобы не учитывать вычислительные погрешности, шаг разбиения и значения функций следует брать с двумя запасными цифрами.
6.6.Лабораторная работа №5. Численное дифференцирова-
ние с помощью первого интерполяционного полинома Ньютона второй степени
Вычислить производную в точке x = xi от дискретно заданной
функции (см. таблицу значений), оценить погрешность производной. Вариант 1
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
4,2 |
8,8 |
16,3 |
24,6 |
36,5 |
48,4 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 2 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
3,2 |
7,8 |
15,3 |
23,6 |
35,5 |
47,5 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
1,9 |
5,2 |
9,8 |
17,3 |
25,7 |
37,5 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 0 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
yi |
1,1 |
3,9 |
9,2 |
16,8 |
25,3 |
35,7 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 0 |
|
|
|
|
|
|
86
Вариант 5
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
1,1 |
4,9 |
11,2 |
18,8 |
29,3 |
40,7 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
3,2 |
7,8 |
15,3 |
23,6 |
35,5 |
47,5 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 0 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
1,9 |
5,2 |
9,8 |
17,3 |
25,7 |
37,5 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 2 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
1,1 |
3,9 |
9,2 |
16,8 |
25,3 |
35,7 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
4,2 |
8,8 |
16,3 |
24,6 |
36,5 |
48,4 |
|
|
|
|
|
|
|
i = 0 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
yi |
1,1 |
4,9 |
11,2 |
18,8 |
29,3 |
40,7 |
i = 2
87
Литература
1.Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017. – 592 с.
2.Гарнаев, А.Ю. Самоучитель VBA/А.Ю.Гарнаев. – СПб. БХВ-
Петербург, 2004. – 560 с.
3.Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики : учебное пособие / Б. П. Демидович, И. А. Марон. – 8- е изд., стер. – СПб.: Лань,
2011. – 672 с.
4. Копченова, Н.В., Марон, И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В. Копченова, И.А. Марон – СПб.: Лань, 2008. –
368 c.
5.Костомаров, Д.П. Вводные лекции по численным методам: Учеб. пособие/Д.П.Костомаров, А.П.Фаворский. – М.:Логос, 2006. – 184 с.
6.Лапчик, М.П. Численные методы / М.П.Лапчик, М.И.Рагулина,
Е.К.Хеннер. – М.: Academia, 2009. – 384 с.
7.Рябенький, В.С. Введение в вычислительную математику: учебное посо-бие для студ. вузов / В.С. Рябенький. – 3- е изд.,испр. и доп. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 288 с.
8.Турчак, Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие/ Л.И.Турчак, П.В.Плотников. – 2- е изд., перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ,
2003. – 304 с.
9. Формалеев, В.Ф. Численные методы/ В.Ф.Формалеев, Д.Л.Ревизников. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.
88
Игумнов Леонид Александрович Литвинчук Светлана Юрьевна Юрченко Татьяна Владиславовна
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Учебное пособие
Подписано в печать ______ Формат 60x90 1/16 Бумага газетная. Печать трафаретная. Уч. изд. л. 5, 2. Усл. печ. л. 5,5. Тираж 300 экз. Заказ №
Государственное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65
Полиграфцентр ННГАСУ, 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65 http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru