5147
.pdfТогда формулу |
Ньютона-Лейбница можно записать в виде |
||
b |
|
|
|
∫ f (x)dx = F (x) |
|
b |
= F (b) − F (a). Теорема доказана. |
|
|||
|
a |
||
|
|
a
Замечание. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что вычислении определенного интеграла надо найти первообразную
для подынтегральной функции f (x) и вычислить разность F (b) − F (a).
Следовательно, формально все сводится к вычислению неопределенного интеграла, и здесь применимы все методы вычисления неопределенного интеграла.
2
Пример. Вычислить ∫ x2 dx .
1
|
Решение. |
|
Взяв |
неопределенный интеграл ∫ x2 dx = |
x3 |
+ C и |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
воспользовавшись формулой (4.1), решаем: |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
3 |
|
|
2 |
2 |
3 |
3 |
|
8 |
|
1 |
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ x2 dx = |
|
|
|
= |
|
− |
1 |
= |
− |
= |
= 2 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
3 |
|
1 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2 1 .
3
7. Вычисление определенного интеграла заменой переменной
Для вычисления определенного интеграла заменой переменной поступают так же, как и при нахождения неопределенного интеграла заменой переменной. Но при этом есть одна особенность, суть которой заключается в том, что неопределенный интеграл есть функция, а определенный интеграл есть число.
Как было показано в примере выше (см. п. 4 § 3), для того, чтобы при помощи замены переменной привести заданный неопределенный интеграл к табличному, аргумент выражают через новую переменную, затем
50
находят неопределенный интеграл, и полученный результат снова выражают через первоначальный аргумент. В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной.
Таким образом, для вычисления определенного интеграла заменой переменной пользуются формулой:
∫b |
f (x)dx = ∫d |
f (ϕ(t ))×ϕ¢(t )dt , |
(4.2) |
a |
c |
|
|
где c и d , отличные от a и b пределы интегрирования, находятся из
подстановки x = ϕ (t ), т. |
е. |
a = ϕ (c), |
b = ϕ (d ), где ϕ (t ) непрерывна |
|||||||
вместе со своей первой |
|
производной |
ϕ′ (t ) |
на промежутке [α , β ] и |
||||||
монотонна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
||
Пример. Вычислить ∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
3x + 2 |
|
|
|
|
|
||
Решение. Заменяя |
3x + 2 = t , |
находим |
(3x + 2)′ dx = (t )′ dt , |
или |
||||||
3dx = dt , откуда dx = |
dt |
. |
Найдем |
новые |
пределы интегрирования |
по |
||||
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
формуле: t = 3x + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нижний предел t |
при x = 0 |
равен: |
t = 3 × 0 + 2 = 2 , а верхний |
|||||||
предел t при x = 1 равен: |
t = 3 ×1 + 2 = 5 . |
|
|
|
Тогда вычисление данного интеграла запишется так:
∫ |
dx |
= ∫ dt = 1 ∫ dt = 1 ln t |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3x + 2 |
2 |
|
3t |
3 2 |
t 3 |
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||||||
Ответ: |
1 |
ln |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
2
= 1 ln 5 - 1 ln 2 = 1 ln 5 . |
|||
3 |
3 |
3 |
2 |
8. Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям.
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла записывается в виде:
51
|
|
|
b |
|
b |
|
|
||
|
|
|
|
|
b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∫ udv = u × v |
a - ∫ v × du . |
|
||||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить ∫ xex dx . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Обозначая u = x , |
dv = ex dx , |
получаем du = dx , v - ex . |
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 =e - (e1 - e0 ) = e - e +1 = 1. |
||
∫ xex dx = xex |
|
- ∫ ex dx = 1× e1 - 0 × e0 - ex |
|
||||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
9. Вычисление площади плоской фигуры |
|||||||
Если уравнение заданной линии есть |
y = f (x), |
то, как было |
|||||||
показано, площадь S криволинейной трапеции определяется формулой: |
|||||||||
|
|
|
S = ∫a |
f (x)dx . |
|
|
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади |
|||||||||
произвольной плоской фигуры. |
|
|
|
|
|
|
|||
Площадь |
Q , ограниченная |
кривыми |
y = f1 (x) |
и y = f2 (x) и |
|||||
прямыми x = a , |
x = b , при условии f1 (x) ³ f2 (x), будет, |
очевидно, равна |
разности площадей криволинейных трапеций S1 (a, b) и S2 (a, b), то есть
Q = S1 (a, b)- S2 (a, b)
или
b |
b |
b |
(x) - f2 |
(x)]dx . |
|
Q = ∫ f1 |
(x)dx - ∫ f2 |
(x)dx = ∫ [ f1 |
(2.7) |
||
a |
a |
a |
|
|
|
Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y = 2x и
y = x2 (см. рис. 21).
2
52
y |
|
y = |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
2x |
||
|
|
|
0 |
2 |
x |
|
|
Рис. 21
Решение. Находим абсциссы точек пересечения заданных кривых:
|
|
= |
x2 |
|
|
2x = |
x4 |
|
8x = x4 ; |
x(x3 - 8) = 0, |
откуда x = a = 0 , |
|||||||||||||||||||||
|
2x |
; |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 = b = 2 . |
Следовательно, в |
соответствие |
с |
|
|
формулой (2.7) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
2 2 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
2 2 |
|
2 |
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Q = ∫ 2x - |
|
|
dx = |
|
|
x x - |
|
|
|
|
|
= |
|
|
× 2 2 - |
|
= |
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=8 - 8 = 4 (кв. ед.)
3 6 3
Ответ: 4 кв.ед.
3
53
Контрольные задания Задание № 1
Найти уравнения и построить линии уровня функции
z = f (x, y) :
1.1 |
z |
= |
|
|
|
у - х 2 |
. |
|
1.2 |
z |
= |
|
х |
. |
|
||
|
||||||||
|
|
|
|
у |
||||
1.3 |
z |
= |
|
у - х 2 |
. |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
х 2 |
||
1.4 |
z |
= х 2 у + у . |
||||||
1.5 |
z |
= |
|
у |
. |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
х |
1.6
1.7
|
= х × |
|
|
. |
z |
|
у - 1 |
||
z |
= ху |
+ у . |
1.8 z = х - у .
1.9z = у 2 - х .
1.10z = ху3 .
54
Задание № 2
Для функции z = f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) найти: а) градиент,
б) производную по направлению вектора a .
2.1 |
z |
= - 3 х 2 + 2 у , M 0 (1; −3) , a = {6; 8}. |
|
|||||||||||||||||||
2.2 |
z |
= ln( 3 x + 2 y ) , |
M 0 (−1; 2) , |
|
a = {− 3; −4}. |
|||||||||||||||||
2.3 |
z |
= arctg |
|
y |
, |
M |
0 (1; 1) , a = {− 5; 12}. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 |
z |
= |
|
x + y |
|
, |
M |
|
(1; |
−2) , |
a = {1; 2}. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 2 + |
y 2 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.5 |
z |
= |
|
хy 3 |
+ x 3 у , |
M 0 (1; |
3) , a = {2; −1}. |
|||||||||||||||
2.6 |
z |
= |
х 2 × cos у , |
M 0 |
(1; |
|
π ) , |
a = {5; −12}. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7 |
z |
= sin( π ху ) , |
M 0 (1; 1) , |
a = {1; −1}. |
|
|
||||||||||||||||
2.8 |
z |
= ln (x + y 2 ), |
M 0 (3; |
4) , |
a = {6; −8}. |
|||||||||||||||||
|
z |
= |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
M |
|
(0; 1) |
, a |
= {− |
1; |
− |
} |
||||
2.9 |
|
x 2 + y 2 |
+ 1 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 . |
||||||||||||
|
|
= sin( |
x − y ) , M 0 ( |
π |
|
π |
|
|
a = {− 3; −4}. |
|||||||||||||
2.10 |
z |
2 |
; |
4 ) , |
|
55
Задание № 3
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности |
z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ): |
|
|
|||||||||
3.1 |
z = 1 + х2 + 2 у2 |
, M 0 (1; 1; 4) . |
|
|
||||||||
3.2 |
х 2 |
+ у 2 |
− z 2 = − 1 , |
M 0 (2; 2; 3) . |
|
|
||||||
3.3 |
z |
= ln( |
х 2 |
+ у 2 ) , |
M |
0 |
(1; 0; 0) . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4 |
z |
= 1 + х 2 |
+ 2 у 2 |
, M |
0 |
(1; 1; 4) . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5 |
x2 |
+ y2 + z 2 |
− 4x + 6 y − 8z −1 = 0 , M |
0 |
(1; 2; 2) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6 |
z = x4 + 2x2 y − xy + x , M 0 (1; 0; 2) . |
|
|
|||||||||
3.7 |
x 2 |
+ 2 y 2 |
− 3z 2 + xy + yz − 2xz + 16 = 0 , M 0 (1; 2; 3) . |
3.8x2 + 2 y2 + 3z2 = 6 , M 0 (1; −1; 1) .
3.9x2 − 4 y2 + 2z 2 = 6 , M 0 (2; 2; 3) .
3.10z = 3x4 − xy + y3 , M 0 (1; 2; 9) .
56
Задание № 4
С помощью дифференциала найти приближенное значение числового выражения:
|
|
|
|
|
|
×(1,04)7,98 . |
|
|
|
|
||||||
4.1 |
3 |
7,98 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
4.2 |
3 |
(4,97)2 + (1,06)2 +1 |
||||||||||||||
|
ln(3 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
− 1) . |
||||||||
4.3 |
0,98 |
1,03 |
||||||||||||||
4.4 |
|
|
5,03 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(5,03)3 + (1,96)2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(3,04)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.5 |
arctg |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(2,97) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
4.6 |
5 |
(4,03)2 + (0,96)5 + 15 |
||||||||||||||
|
ln((2,02)3 + 5 |
|
|
− 8) . |
||||||||||||
4.7 |
|
0,96 |
6
4.8(2,97)4 − (2,03)3 .
4.9ln(3 8,02 − 0,96) .
4.10(2 − 3 0,97 )4,03 .
57
Задание № 5
Для функции z = f (x, y) найти точки экстремума.
5.1 |
f ( x , y ) = х 2 |
− 6 x + у 2 |
− 2 y + 1 . |
5.2 |
f ( x , y ) = х 2 |
− 2 x + у 2 |
− 4 y + 2 . |
5.3 |
f ( x , y ) = х 2 |
− 6 x + у 2 |
− 8 y + 3 . |
5.4 |
f ( x , y ) = х 2 |
− 2 x + у 2 |
− 2 y + 4 . |
5.5 |
f ( x , y ) = х 2 |
− 4 x + у 2 |
− 6 y + 5 . |
5.6 |
f ( x , y ) = х 2 |
− 8 x + у 2 |
− 2 y + 6 . |
5.7 |
f ( x , y ) = х2 − 10 x + у 2 − 2 y + 7 . |
||
5.8 |
f ( x , y ) = х 2 |
− 2 x + у 2 |
− 6 y + 8 . |
5.9f ( x , y ) = х 2 − 10 x + у 2 − 8 y + 9 .
5.10f ( x, y ) = х2 − 2 x + у2 − 4 y + 10 .
58
Задание № 6
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f (x, y) в замкнутой области D .
6.1 |
z = 6 xy − 9 x 2 − 9 у 2 + 4 x + 4 y , |
|
D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 . |
6.2 |
z = xy + x 2 − 2 , |
|
D : y = 0, y = 4x2 − 4 . |
6.3 |
z = 4 xy + 4 x 2 − у 2 − 8 y , |
|
D : x = 0, y = 2x, y = 2 . |
6.4 |
z = 2 xy + x 2 − у 2 + 4 x , |
|
D : x = 0, y = 0, y = −x − 2 . |
6.5 |
z = − 3 xy + 5 x 2 + у 2 , |
|
D : −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1. |
6.6 |
z = 0 ,5 x 2 − x у , |
|
D : y = 2x2 , y = 8 . |
6.7 |
z = − xy + 3 x + y , |
|
D : y = x, y = 4, x = 0 . |
6.8 |
z = xy − 3 x − 2 у , |
|
D : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 . |
6.9 |
z = xy + x 2 − 3 x − y , |
|
D : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 . |
6.10 |
z = xy − x − 2 у , |
|
D : y = x, y = 0, x = 3 . |
59