4810

2

2

1

1

= 2 lim

= 2

= 2 .

1+ 1

1

n→∞

+

n

1

¥

необходимое условие сходимости (lim an

= lim n2 = ¥ ¹ 0).

n→∞

n→∞

∞

n2

(- 2)n

∞

n

2

При x = −2 степенной ряд принимает вид ∑

= ∑

(-1) n

.

n=1

2n

n=1

Это числовой знакочередующийся ряд. Так как lim an

= lim n2

= ¥ ¹ 0 , то

n→∞

n→∞

∞

Для степенного ряда ∑ nn × xn выпишем коэффициент an = nn .

n=1

Радиус сходимости найдем по другой формуле: R = lim

1

= lim 1 = 0 .

n→∞ n

an

n→∞ n

∞

Получили, что ряд ∑ nn × xn сходится только в одной точке x = 0 . Она и

n=1

является его областью сходимости.

∞

n(x - 2)n

Исследуем далее степенной ряд ∑

, который относится к

2n

n=1

виду (5.1). Выпишем коэффициенты

a

=

n

и a =

n + 1

, найдем

2n

2n+1

n

n+1

R = lim

a

n

= lim

n × 2n+1

= 2 lim

n

= 2 .

an+1

n→∞

n→∞ 2n ×(n +1)

n→∞ n +1

0 < x < 4. Осталось исследовать ряд в концевых точках

x = 0 и x = 4.

При x = 4 степенной ряд принимает вид

∞

n(4 - 2)n

∞

n × 2n

∞

∑

=

∑

=

∑ n .

2n

2n

n=1

n=1

n=1

Это числовой знакоположительный ряд,

который расходится, т.к.

lim an

= lim n = ∞ (необходимое условие сходимости не выполняется).

n→∞

n→∞

При x = 0 степенной ряд принимает вид

∞ n(0 - 2)n

∞

n × (-1)n

2n

∞

n

∑

= ∑

= ∑

(-

1) n .

2n

2n

n=1

n=1

n=1

причине ( lim an

= lim n = ∞ ). Тем самым, область сходимости заданного

n→∞

n→∞

степенного ряда:

x (0;4).

f (x) = f (a) +

f ′(a)

(x - a)+

f ′′(a)

(x - a)2 + ... +

f (n ) (a)

(x - a)n + R (x),

1!

2!

n!

n

где Rn (x) – остаточный член, который может быть записан в виде

R (x) =

(x - a)n+1

× f (n+1) (ξ ) (форма Лагранжа), причем число ξ

n

(n +1)!

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2 + ... +

f (n ) (0)

xn + R (x)

1!

2!

n!

n

a , производные любого порядка

и, кроме того, для

x (x1 , x2 )

lim Rn (x) = 0 . Тогда функция

f (x)

может быть

представлена

рядом

n→∞

f (a) +

f ¢(a)

( x - a) +

f ¢¢(a)

( x - a)

2

+ ... +

f (n) (a)

( x - a)

n

+ ...

=

1!

2!

n!

∞

f

n

(a)

( x - a)n ,

= ∑

(5.3)

n=0

n!

который сходится, и его суммой будет функция

f (x). Представление

функции

f (x) в виде

такого

ряда

называется

разложением

этой

функции в ряд Тейлора.

При a = 0 получим частный случай ряда Тейлора

f (x) = f (0)+ f ′(0) x + f ′′(0) x2

+ ... +

f

(n )

(0) xn + ...

= ∑ f

n

(0)xn

, (5.4)

∞

1!

2!

n!

n=0

n!

выяснить, для каких значений x из

этой области

сходимости можно

поставить знак равенства между функцией f (x) и ее рядом Тейлора.

Разложим, например, функцию

f (x) = 2 x в

ряд Маклорена (по

f (x) = 2x ,

f (0) = 20 = 1

′

)

= 2

ln 2 ,

′

ln 2

= ln 2

f (x) = (2

x

f (0) = 2

0

x ¢

′′

)

= 2

ln

2,

′′

ln

2 = ln

2

f (x) = (2

x

2

f

(0) = 2

0

2

2

x ²

′′′

x

ln

3

2

′′′

0

ln

3

2 = ln

3

2 .

f (x) = 2

f (0) = 2

порядка: f (n ) (x) = (2x lnn−1 2)¢ = 2x lnn 2 ,

f (n) (0)

= lnn 2 .

Подставляя теперь значения этих производных в ряд

(5.4), получаем ряд

Маклорена для функции f (x) = 2x :

ln 2

ln2

2

ln3

2

lnn 2

∞

lnn 2

1 +

x +

x2 +

x3 + ... +

xn

+

... = ∑

xn .

1!

2!

3!

n!

n=0

n!

Находим область сходимости полученного ряда. Так как

an

= lim (n +1)!lnn 2 =

1

lim

n!(n +1)

=

1

lim(n +1) = ¥ ,

R = lim

an+1

n→∞

n→∞

n!lnn+1 2

ln 2 n→∞

n!

ln 2 n→∞

lnn 2 < 1

производные

всех порядков функции

f (x) = 2x

на любом

отрезке

− R ≤ x ≤ R ,

ограничены одним

и

тем же числом 2R :

f (n ) (x)

=

2x lnn 2

£ 2R .

Отсюда следует,

что

найденное

разложение

∞

lnn 2

сходится к функции 2x при всех значениях x , т.е. 2x = ∑

xn .

n!

n=0

∞

t n

t 2

t 3

t n

(

< ¥);

10. et = ∑

= 1 + t +

+

+ ... +

+ ...,

t

n=0

n!

2!

3!

n!

0

∞

(-1)n−1 ×t 2n−1

t 3

(-1)n−1 t 2 n−1

(

< ¥);

2 . sin t =

∑

= t -

+ ... +

+ ...,

t

n=1

(2n -1)!

3!

(2n -1)!

0

∞

(-1)n ×t 2n

t 2

t 4

(-1)n t 2 n

(

< ¥);

3 . cos t = ∑

= 1 -

+

- ... +

+ ...,

t

n=0

(2n)!

2! 4!

(2n)!

0

α

∞ α ×(α -1)× (α - 2)×...× (α - n +1)

n

=

4 . (1 + t ) =1 + ∑

n!

t

n=1

=1 + α t + α × (α -1)t 2

+ α × (α -1)(α - 2)t 3

+ ..., (

t

< 1)

(α –

2!

3!

любое действительное число). Ряд называется биномиальным.

1

∞

(

< 1);

=

∑ t n

=1 + t + t 2

+ ... + t n + ...,

t

1 - t

n=0

60. ln(1+ t ) = ∑∞ (-1)n−1 t n

= t -

t 2

+

t3

-... + (-1)n−1 t n

+ ...,

( −1 < t ≤ 1);

n=1

n

2

3

n

0

∞

(-1)n−1

× t 2n−1

t3

(-1)n−1 t 2n−1

7 .

arctgt = ∑

(2n -1)

= t -

+ ... +

2n -

1

+ ... ,

( −1 ≤ t ≤ 1).

n=1

3

Например,

чтобы

разложить

функцию

f (x) = sin

x2

в ряд

3

Маклорена, используем табличное разложение синуса, полагая

y =

x2

.

3

x2

y3

y5

y7

(-1)n−1 y2 n−1

Тогда sin

= sin y = y -

+

-

+ ... +

(2n -1)!

+ ...=

3

3!

5!

7!

x2

x6

x10

x14

(-1)n−1 x4 n−2

=

-

+

-

+ ... +

+ ....

3

3!33

5!35

7!37

(2n -1)!32 n−1

Так

как разложение

функции

sin y в

ряд имеет место для всех

y (− ∞;+∞),

то и разложение функции

sin

x2

имеет место для всех

3

которого удовлетворяют

признаку

Лейбница,

используется

оценка

Rn

< un+1 , где un+1

– первый из отброшенных членов ряда.

с точностью δ = 0,00001. Для

Вычислим, например,

e

этого

используем готовое разложение функции ex

в степенной ряд по степеням

x :

ex

= 1 +

x

+

x2

+

x3

+ ... +

xn

+ ....

n!

1!

2!

3!

Полагая в данном равенстве

x =

1

,

получим

2

1

=

=1 +

1

+

1

+

1

+ ... +

1

+ ...

e

2

e

n!×2n

1!×2 2!×22

3!×23

» 1 +

1

+

1

+

1

+ ... +

1

e

n!×2n

1!×2 2!×22

3!×23

не превышала заданного числа δ = 0,00001.

Погрешность этого приближенного равенства Rn

определяется суммой

1

членов ряда, следующих после

в разложении

e :

n!×2n

Rn

= un+1 + un+2

+ un+3

+ ... =

1

+

1

+

1

+ ...,

(n +1)!×2

(n + 2)!×2n+2

(n + 3)!×2n+3

или

1

1

1

1

Rn

=

+

+

+ ... .

(n +1)(n + 2)× 22

(n +1)(n + 2)(n + 3)× 23

n!×2n (n +1)× 2

Заменив

каждый из

сомножителей

n + 2, n + 3, n + 4, ... меньшей

величиной n +1, получим неравенство:

1

1

1

1

R <

+

+

+ ... .

n!×2

(n

+1)

2

(n +

1) 2

n

n

(n +1)× 2

2

3

2

3

первым членом b1

=

1

и знаменателем прогрессии q =

1

.

(n

+1)× 2

(n +

1)× 2

Запишем ее сумму по формуле

1

1

b

(

)

1