4808

y′′ − 3 y′ + 2 y = e2 x ,

то степень функции

f ( x) = e2 x

будет

n = 0 ,

а параметр γ = 2 совпадет с

одним из корней характеристического уравнения, то есть

k =1. Частное

решение

следует

искать

теперь

в

виде

y

чн

( x) = xP ( x)e2 x = p xe2 x .

0

0

Находим

производные

( p0 xe

2 x ′

2 x

+ 2 p0 xe

2 x

и

) = p0e

( p0 xe

2 x

′′

4 p0e

2 x

+ 4 p0 xe

2 x

.

Подставим их в уравнение:

)

=

4 p e2 x

+

4 p xe2 x

− 3 p e2 x

−

6 p xe2 x +

2 p xe2 x = e2 x .

0

0

0

0

0

Равенство

обращается

в

тождество,

если

p0 = 1,

следовательно,

y

чн

( x)

= xe2 x и y

oн

( x) = C

e x + C

e2 x

+ xe2 x .

1

2

Для неоднородного уравнения

y′′ − 4 y′ + 4 y = 8e2 x

функция

f ( x) = 8e2 x

степени

n = 0 имеет параметр γ = 2, совпадающий с

двукратным корнем характеристического уравнения,

поэтому здесь k = 2.

Частное

решение

в

этом

случае

приобретает

вид

yчн ( x) = x

2

P0 ( x)e

2 x

2

e

2 x

.

2

e

2 x

′

= (2 p0 x + 2 p0 x

2

)e

2 x

= p0 x

Производные ( p0 x

)

и ( p0 x

2

e

2 x

′′

= (2 p0

+ 8 p0 x

+ 4 p0 x

2

)e

2 x

подставим в уравнение:

)

(2 p + 8 p x + 4 p x2 −

8 p x

−

8 p x2

+ 4 p x2 )e2 x = 8e2 x .

0

0

0

0

0

0

Равенство

обращается

в

тождество,

если

p0 = 4 ,

следовательно,

y

чн

( x)

= 4 x2e2 x и y

oн

( x) = C

e2x + C

2

xe2 x + 4 x2e2 x .

1

В случае комплексного значения параметра γ функции специального

вида ( β ¹ 0 ) частное решение

неоднородного

уравнения

ищут в

виде

y

чн

( x)

= xk eα x (P ( x) cos β x + R ( x)sin β x) .

Здесь

P ( x)

и

R ( x)

-

n

n

n

n

многочлены той же степени n , что и в правой части,

k

- кратность

совпавшего

с параметром

γ

корня

в

характеристическом

уравнении.

&&

2

+ k x = M sinωt .

(3.1)

x

силы не совпадает с частотой собственных

колебаний

(ω ¹ k ),

то

xчн (t) = p0 cosωt + r0 sin ωt . После

дифференцирования и

подстановки

такой функции в уравнение (3.1) получим значения коэффициентов p0

= 0

и r = M /(k 2 − ω 2 ) . Тем самым, x

(t) =

M

sin ωt .

k 2 − ω 2

0

чн

M

xoн (t) = Asin(kt + ϕ ) + k 2 − ω 2

sin ωt .

(3.2)

При совпадении частоты возмущающей

силы

с

частотой

собственных колебаний (ω = k )

движение описывается уравнением

&&

2

(3.3)

x + k x = M sin kt ,

а частное решение имеет вид

xчн (t) = t( p0 cos kt + r0 sin kt) .

Подставляя

такую функцию в уравнение (3.3), получим

p0 = − M / 2k

и r0 = 0 .

Видим, что частное решение x

(t) = −

M

t cos kt описывает колебания с

чн

2k

сопротивление среды, то при совпадении частот

явление

резонанса

проявляется в более «мягком» виде.

Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не

является необходимым. При близости частот

ω и k

амплитуда

a1 + a2 + a3 + ... + an

∞

+ ... = ∑ an , которое называют

числовым рядом.

n=1

Числа a1 , a2 ,..., an ,...

называются членами ряда, an

называется общим

=

1

∞

1

Например, формула

an

задает ряд ∑

, то есть выражение

2n

n=1

2n

вида

1

+

1

+

1

+ ... +

1

+ ...

(4.1)

2

4

2n

8

при

n = 1

a =

1

=

1

–

1- й член ряда (4.1);

1

21

2

при

n = 2

a

=

1

=

1

–

2- й член ряда (4.1);

2

22

4

при

n = 3

a

=

1

=

1

–

3- й член ряда (4.1) и т.д.

3

23

8

Аналогично, если задан ряд вида

∞

∑3n = 3 + 9 + 27 + ... + 3n + ... ,

(4.2)

n=1

для которого

a

n

= 3n - формула общего члена, поэтому

при

n = 1

a = 31 = 3 –

1- й член ряда (4.2);

1

при

n = 2

a

2

= 32

= 9

– 2- й член ряда (4.2);

при n = 3 a3 = 33

= 27 – 3- й член ряда (4.2) и т.д.

∞

Для ряда ∑ an

введем обозначения:

n=1

S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ;

S3 = a1 + a2 + a3 ; …,

= a1 + a2 + ... + an

n

Sn

= ∑ ai и т.д.

i=1

сумм lim Sn = S ,

∞

то ряд

∑ an называется сходящимся,

а число S

n→∞

n=1

∞

называется суммой ряда. В этом случае пишут

∑ an

= S . Таким

n=1

∞

образом, символом

∑ an

обозначается не только сам ряд, но и (в случае

n=1

последовательности частичных сумм

lim Sn

не существует или равен

n→∞

бесконечности.

∞

1

Исследуем для примера числовой ряд

∑

. Составим частичную

n=1

2n

сумму S

этого ряда

S

= a + a

+ ... + a

=

1

+

1

+

1

+ ... +

1

. Здесь

n

n

2

n

1

2

4

8

2n

знаменателем q =

1

< 1 и первым членом

a =

1

. Из школьного курса

2

1

2

математики известна формула суммы n первых членов геометрической

прогрессии: S = a1 (1 − qn ). В нашем случае

n

1 − q

1

1 n

× 1

-

2

2

1

Sn =

= 1 -

.

1

1 -

2n

2

Найдем предел последовательности частичных сумм Sn

1

1

lim Sn

= lim 1 -

= lim1–

lim

=1

− 0

= 1.

2n

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

2n

Видим,

что предел Sn существует и конечен.

Следовательно, данный ряд

∞

1

сходится и его сумма равна 1. Записываем

∑

= 1.

2n

n=1

∞

Рассмотрим числовой ряд ∑ 3n . Для него частичная сумма Sn имеет

n=1

вид

S

n

= a + a

2

+ ... + a

n

= 3 + 32

+ ... + 3n .

Здесь

суммируются

числа,

1

образующие геометрическую прогрессию со знаменателем q = 3 > 1

и

первым членом

a1 = 3. Тогда

Sn

=

a1 (1 - qn )

=

3(1 - 3n )

=

3

× (3n -1).

1 - q

1 - 3

2

Находим предел

lim Sn = lim

3

× (3n -1)= lim

3

×3n – lim

3

= + ¥ -

3

= ¥ .

n→∞

n→∞ 2

n→∞ 2

n→∞ 2

2

Следовательно, данный ряд расходится.

В

процессе

исследования

числовых

рядов

бывает

удобно

пользоваться свойствами сходящихся рядов:

1.

Если

сходится

ряд u + u + ...

+ u

n

+ ... ,

то

сходится

и

ряд

1

2

um +1

+ um + 2 + ... + un + ...,

получаемый из данного ряда отбрасыванием первых

и наоборот –

из сходимости

m -го остатка ряда вытекает сходимость

данного ряда.

2.

Если сходится ряд

u + u +

... + u

n

+ ... , и суммой его является число

1

2

S , то сходится и ряд

au + au +

... +

au

n

+ ...,

полученный из исходного

1

2

умножением на ненулевое число a , причем

сумма последнего ряда равна

aS .

3.

Если сходятся ряды

u + u +

... + u

n

+ ...

и

v + v + ... + v

+ ... ,

1

2

1 2

n

имеющие, соответственно,

суммы

S

и

σ ,

то

сходится

и

ряд

(u + v ) + (u + v )+ ... + (u + v )+ ...,

причем

сумма

последнего

ряда

1 1

2

2

n

n

равна S +σ .

∞

Если числовой ряд ∑ an . сходится,

то предел его общего члена

an при

n=1

n → ∞ равен нулю, т.е.

lim an

= 0.

n→∞

∞

∞

Действительно, если данный нам ряд ∑ an

сходится и∑ an

= S , то

n=1

n=1

an = Sn − Sn −1 . Поэтому

lim an

= lim(Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0 .

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

∞

n2

+ 3

Например, для числового ряда ∑

n

n=1

n2

+ 3

n2

3

3

lim an

= lim

= lim

+

= lim n +

= ¥ + 0 = ¥ ¹ 0 .

n

n→∞

n→∞

n→∞ n

n

n→∞

n

∞

1

Рассмотрим далее ряд ∑ln 1

+

. Для него необходимый

n=1

n

1

признак сходимости выполняется, поскольку lim an

= lim ln 1

+

= 0.

n→∞

n→∞

n

1

n + 1

= ln(n + 1) − ln n . Отсюда

С другой стороны, ln 1

+

= ln

n

n

Sn = a1 + a2 + ... + an =

= (ln 2 − ln1)+ (ln 3 − ln 2) + ... + (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1).

Следовательно, при

n → ∞

последовательность частичных сумм

∞

1

Sn ® ¥ , а это означает, что ряд ∑ ln 1 +

расходится.

n=1

n

³ an , n = 1,2,..., то ряд

∞

выполняется неравенство

bn

∑an также

n=1

∞

сходится; если ряд ∑ bn

расходится и выполняется

неравенство

n=1

bn £ an , n = 1,2,..., то ряд

∞

∑ an также расходится.

n=1

∞

1

1

1

1

∑

= 1 +

+

+ ... +

+ ...;

n

2

3

n

n=1

∞

1

1

1

1

∑

= 1 +

+

+ ... +

+ ..., при

p < 1;

n p

2 p

3p

n p

n=1

∞

∑ aqn =a + aq + aq2

+ ... + aqn + ..., при

q

³ 1;

n=0

Сходящиеся ряды

∞

1

1

1

1

∑

= 1 +

+

+ ... +

+ ..., при p > 1;

n p

2 p

3p

n p

n=1

б) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

∞

∑ aqn

=a + aq

+ aq2

+ ... + aqn + ..., при

q

< 1;

n=0

∞

n

Например,

для ряда

∑

в качестве ряда сравнения

(n +1)3n

n=1

Он является сходящимся, т.к. знаменатель прогрессии

q =

1

< 1. Кроме

3

того, справедливо неравенство a =

n

<

1

= b

для

всех n ³ 1.

(n +1)3n

3n

n

n

∞

n

Следовательно, по первому признаку сравнения ряд ∑

тоже

n=1

(n +1)3n

∞

+ a2

+ ... + an

+ ... ,

∞

+ b2 + ... + bn + .... Если существует

∑ an = a1

∑ bn =b1

n=1

n=1

an

∞

конечный и отличный от нуля предел lim

= k ¹ 0, то ряды ∑ an и

n→∞ bn

n=1

∞

1

следует брать ряд

∑

, где p = m − l .

n=1

n p

∞

n + 1

Например,

для исследования на сходимость

ряда

∑

в

n=1

4n3 -1

∞

∞

1

качестве ряда сравнения ∑ bn выберем ряд

∑

. Он

сходится,

т.к.

n=1

n=1 n2

p = 2 > 1. Рассмотрим предел отношения

lim

an

= lim

(n +1)× n2

= lim

n3

+ n2

=

¥ =

n→∞ bn

n→∞

(4n3 -1)×1 n→∞ 4n3 -1

¥

lim

(n3 + n2 ) / n3

= lim

1 +1/ n

=

1

¹ 0 .

n→∞

(4n3 -1) / n3

n→∞ 4 -1/ n3

4