4210

работе балансовые модели в некоторых случаях допускали аналитическое решение. Однако чаще решались численно с использованием методов конечных разностей и численно-аналитического с применением модифицированного метода Ритца [К. Ректорис, 1985].

Результат балансовых моделей - динамическое изменение формы профилей склонов и их эволюция во времени. Исследование динамики профилей склоновых систем позволило отслеживать изменение контуров равных уклонов для оценки важного для экологии почв параметра — смыва в заданной точке склона. Эта информация необходима для проектирования защитных рубежей. Прогнозирование динамики склонов необходимо также при исследовании геоэкологии целых водосборов как систем, состоящих из множества склонов с различными геофизическим параметрами, а также для моделирования рельефа и прогноза его форм.

Численная реализация моделей осуществлялась двумя методами: конечных разностей и вариационно-разностным. В диссертации излагаются оба подхода на примерах нестационарных задач, связанных с массопереносом. Основной задачей математических моделей являлось выявление механизма разрушения, динамики изменения рельефа и составление прогнозов экологического состояния при становлении водосборов, на которых протекают процессы эрозии, часто приводящие к образованию оврагов или, наоборот, их выполаживанию.

Использование балансового соотношения приводит к модели в виде диффузионного дифференциального уравнения, описывающего процессы эрозии при ламинарном течении конечного слоя невязкой жидкости. Применение численно-аналитических методов обеспечило реализацию математической модели с графическим представлением результатов, что позволяло быстро и эффективно изучать исследуемое явление. Выполнялся численный эксперимент с протекающими на значительных по продолжительности временных интервалах природными явлениями. В диссертации рассмотрены не-

10

где ζ — искомая функция формы профиля, k0 — коэффициент смыва, vx - скорость подрезания, с - параметр выпуклости начальной формы. Численный эксперимент показал, что при подрезании и выносе делювия по тальвегу основание перемещается значительно быстрее, чем в случае с неподвижным базисом, когда деформация поверхности определяется только эрозионноаккумулятивным явлением.

Численный эксперимент показал, что подрезание склонов приводит к неустойчивости, которая носит взрывной характер при критической скорости подрезания с образованием осыпного склона (рис.1). Таким образом, склоновая система может находиться в двух динамических состояниях. Устойчивый режим определяет такое состояние, когда крутизна склона не возрастает в процессе эволюции. В данном случае наблюдается почти параллельное отступание и выполаживание профиля склона.

Рис.1. Динамика эволюции склонов. Численный эксперимент модели подрезаемых склонов с различными скоростями подрезания и коэффициента диффузии: a) ko = 0,05 м2/год, νx = 0,1 мм/год, 1 - исходный профиль, 2, 3, 4, 5 — 12, 24, 32, 48-104 лет; b) k0 = 0.1м2/год, νx = 1 мм/год, 1 - исходный профиль, 2, 3, 4, 5 - 4, 6, 8, 12 .103 лет; с) k0 = 0.1 м2/год, νx=10мм/год, 1 - исходный про- филь,2,3,4,5-1,2,4,8.102лет

12

Неустойчивый режим сопровождается возрастанием крутизны вблизи основания до критического значения, при котором склон становится осыпным (рис. 1с). Было обнаружено, что чем больше интенсивность подрезания, тем быстрее формируется осыпной склон. При этом существенным является соотношение между смывом и скоростью подрезания. Сравнение с натурными данными проводились с различными типами склонов водосбора "Мелоклетский". Наилучшее совпадение наблюдалось для пологих делювиальных склонов. Концепция разработки и численной реализации рассмотренных в диссертации математических моделей диффузионного типа может быть использована для прогноза и предупреждения необратимых катастрофических процессов в регионах РФ, подверженных водной эрозии.

2.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СКЛОНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

В главе рассматриваются процессы на поверхности склонов, определяющие динамику изменения их продольного профиля. Математическое моделирование основано на концепции баланса и диффузии

где ζ - высота склона, q - объём материала, участвующего в процесс эрозии. Линейное приближение моделей, основанных на уравнениях баланса (2), приводит к перемещению прямолинейных склонов без образования выпуклостей. Нелинейная зависимость коэффициента смыва (k(x)) в виде степенной функции или экспоненты обусловливает лавинное нарастание скорости процесса с максимальным значением в точке перегиба выпукло-вогнутой формы профиля. В зависимости от краевых условий эволюция склонов сильно отличается. Математические модели, основанные на балансовых отношениях (2), адекватно описывают развитие пологих склоновых систем, однако физи-

13

ческий аспект модели, состоящий только в диффузионном характере явления, недостаточен для полноты описания.

Физические аспекты массопереноса в ламинарном потоке должны учитывать механизмы отрыва и перемещения частиц почвы, силы тяжести микрочастиц субстрата, силы Архимеда, трения и т.д. [В.Н. Гончаров, 1954]. Учёт скорости потока при формировании субстрата приводит к понятию критической скорости νkp, при которой начинается его образование. Изменение мутности при этом пропорционально ν3.

Если рассматривать склон как открытую нелинейную систему, то её описание с помощью линейного дифференциального уравнения является неправомерным. Поведение таких систем, как правило, обусловлено точками бифуркаций, возникающих из-за нелинейности и открытости.

Смысл коэффициента диффузии в моделях смыва и аккумуляции до конца не выяснен. В самой модели отсутствует важная характеристика склона - его уклон. Предположения для выбора коэффициента диффузии, зависящего лишь от положения на склоне, не представляются физически обоснованными. Действительно, в процессе эволюции должны изменяться скорость смыва и осаждения материала вдоль профиля, что обусловливает саморазвитие склона за счёт обратной связи, когда зависящий от уклона коэффициент смыва формирует сам профиль. Указанные соображения привели к необходимости более полного описания процесса эрозии с учётом физической картины явления. Несмотря на некоторую "скрытость" физических параметров склонов и внешних воздействий, уравнение диффузии позволяет получить важные результаты о коэффициенте денудации, используемом при моделировании эрозионно-аккумулятивного процесса. Поэтому оно было взято за основу модели. Использовались эмпирические результаты [М. Hirano, 1971]. Расход материала аппроксимировался нелинейной зависимостью

уклон, т, п, а — эмпирические константы. Мут-

14

ность (р) считалась пропорциональной кубу скорости потока ν3. Процесс эрозии начинается при некоторой скорости νkp, соответствующей условиям отрыва частиц от поверхности. Для моделирования эрозионного процесса необходимо было знать, как изменяется скорость потока при движении по склону. С учётом этих посылок в диссертации получено уравнение, описывающее процесс формирования субстрата при отрыве частиц с плоской поверхности. Мутность как функция скорости определялась соотношением

где а - коэффициент размерности. Толщина водного потока аппроксимировалась степенной функцией. С учётом (3) было получено дифференциальное уравнение в частных производных нелинейное относительно первых производных z(x) и независимой переменной χ :

Численные эксперименты на модели (4) проводились с различными начальными формами профиля в виде ступенчатой, кусочно-линейной и логистической функций (рис.2). Граничные условия задавались с фиксированными точками слева, соответствующими неподвижной вершине водосбора. Результаты численного решения с закрепленной верхней и свободной нижней границами свидетельствуют о том, что слабо наклонное плато постепенно размывается и принимает форму логистоподобной кривой. Учёт осадков в виде дождевых капель несколько изменяют рассмотренную модель. Поток, поступающий от некоторых фиктивных источников на поверхности, склона, увеличивает расход ламинарного склонового потока, изменяя динамику эро-

зии.

15

Область применимости модели плоскостного смыва была расширена учётом выпадения осадков, приводящих к увеличению слоя склонового потока. Модель (4) была преобразована к виду :

где константы а, β и ν0 определялись из физических соображений, g - ускорение свободного падения. Численное решение (рис.3) для различных значений параметра т показало, что для значений т, лежащих в интервале (0,95-:-1,65), процесс выходит за рамки плоскостного смыва (т=2/3). Достаточно хорошее совпадение с данными наблюдений указывают на то, что несмотря на ограниченность плоскостного приближения, оно даёт качественно верные результаты. Учёт других факторов, порождаемых нелинейностью задачи при возникновении турбулентных потоков, приводит к качественно новому механизму смыва в виде отдельных ручьёв. Отметим, что в рассмотренной модели прослеживается возможность использования нелинейной области, где поток разбивается на отдельные ручьи и перестаёт быть плоским. Слияние элементарных, плоских потоков в ручьи приводит к резкому возрастанию смыва вдоль по склону. Это отражается на зависимости смыва от длины склона и приводит к значениям т, превышающим 2/3, характерным для плоскостного смыва. Таким образом, параметр т может служить индикатором ламинарности процесса. По-видимому, при т >2/3 имеет место переход от ламинарной модели к турбулентной и распад плоского потока на струи. При некоторых условиях ламинарный процесс после точки бифуркации переходит в новое состояние с резким увеличением интенсивности потока за счёт образования ручейковой структуры.

16

Рис 2, Эволюция развития склона. Рис.3. Эволюция развития склона. Модель (4), m=0.5, при значениях шага счёМодель (5), m=1.2, при значениях шага счё-

Необходимо отметить, что неучтённая в модели нестационарность про-

цесса может оказаться важным моментом, изменяющим решение. Для оценки

её влияния необходимо знать динамику выпадения дождей, таяния снегов, ве-

личину деформации формы склона, после одного ливня или цикла снегования,

другие факторы. Следует отметить, что математическая модель (5) более дина-

мична и более чувствительна к изменению параметров склона и краевых усло-

вий. Разработанные модели склоновых систем, несомненно, имеют практиче-

ский интерес и могут быть использованы для прогноза и предупреждения воз-

можных необратимых процессов, ведущим к катастрофам. Исследование раз-

вития овражных склонов с помощью численного эксперимента необходимо для

прогнозирования с целью выявления неустойчивых режимов, приводящих

17

к вредоносному влиянию на экологию почвенного покрова и ландшафта в целом. С помощью выполненного численного эксперимента установлено, что подрезание склонов приводит к динамически неустойчивому состоянию. На основе анализа результатов численных экспериментов на балансовых моделях в виде диффузионного уравнения установлено, что склоновая система может находиться в двух различных динамических состояниях, определяющих режим развития (эволюцию) склона Таким образом, устойчивый режим функционирования соответствует динамически устойчивому развитию склона, приводящему к параллельному отступанию. Весьма важно при этом знать, каково должно быть соотношение между понижением уровня склона и скоростью подрезания его основания. Из отмеченного выше следует, что численная модель морфологии склоновых систем может быть использована для изучения их устойчивости.

Исследованные в главе системы склонов являются открытыми и нелинейными системами геоэкологии. Открытость таких систем обусловлена наличием стоков субстрата по тальвегу; нелинейность — процессами диффузионного происхождения. Результатом моделирования таких систем являются кривые двух типов: логистоподобные для развития систем с динамической устойчивостью и кривые с аномально быстрым спадом (ростом), носящим взрывной характер. Такое поведение открытых систем, на наш взгляд, является следствием бифуркационного срыва в виде аттрактора, наблюдаемого в нелинейных средах [И. Пригожий, 1985]. Механизм зарождения свехбыстрого развития процессов в нелинейных системах определяется нелинейной положительной обратной связью [А.А.Самарский, С.П. Курдюмов, 1989]. Это свойство проявляется в различных по природе нелинейных системах (физических, химических, биологических, социальных, экономических и т.п.). Исследования современной науки, направленные на изучение нестабильности и развития сложных структур, неразрывно связаны с проблемами их устойчивости [Г. В. Добровольский, 1997; И. Пригожий, 1985]. Поэтому выявление

18