книги / Эконометрика. Начальный курс

и др.) по разным фирмам в один и тот же момент времени (про­ странственный срез). Другим примером могут являться данные по курсам покупки/продажи наличной валюты в какой-то день по обменным пунктам в Москве.

Примерами временных данных могут быть ежеквартальные данные по инфляции, средней заработной плате, национально­ му доходу, денежной эмиссии за последние годы или, например, ежедневный курс доллара США на ММВБ, цены фьючерсных контрактов на поставку доллара США (МТБ) и котировки ГКО (ММВБ) за два последних года.

Отличительной чертой временных данных является то, что они естественным образом упорядочены по времени, кроме того, наблюдения в близкие моменты времени часто бывают зависи­ мыми.

выбрать «наилучшее» значение параметра 0. (Примером парамет­ рического семейства может служить семейство линейных функ­ ций f( X ,0 ) = a + 0X.)

В качестве меры отклонения функции f(X ,0) от набора на­ блюдений можно взять:

Примером такой «меры» может служить функция Хубера, ко­ торая при малых отклонениях квадратична, а при больших линей­ на:

Рассмотрим достоинства и недостатки перечисленных функ­ ционалов.

Сумма квадратов отклонений

Плюсы метода:

-легкость вычислительной процедуры;

-хорошие статистические свойства, простота математических выводов делают возможным построить развитую теорию, позволяющую провести тщательную проверку различных статистических гипотез;

минусы метода:

- чувствительность к «выбросам» (outliers).

Сумма модулей отклонений

Плюсы метода:

- робастность, т. е. нечувствительность к выбросам; минусы метода:

-сложность вычислительной процедуры;

-возможно, большим отклонениям надо придавать больший вес (лучше два отклонения величиной 1, чем два отклонения величиной 0 и 2);

-неоднозначность, т.е. разным значениям параметра /3 мо­ гут соответствовать одинаковые суммы модулей отклонений (см. упражнение 2.И).

Функция Хубера является попыткой совместить достоинства двух первых функционалов.

Вопрос. Что будет, если взять в качестве функционала

—с с

где g(X) = X 2 для |Х| < с, и д(Х) = 0 для |Х| > с? (Pindyck, Itubinfeld, 1991, п.1.1, рис. 1.3b, сгр.6).

2.2.Метод наименьших квадратов (МНК)

Рассмотрим задачу «наилучшей» аппроксимации набора наблю­

Запишем необходимые условия экстремума (First Order Сопditition, FOC):

Раскроем скобки n получим стандартную форму нормальных уравнений (для краткости опустим индексы суммирования у зна­ ка суммы 53):

т.е. уравнение прямой линии У = а + 6Х, полученное в результа­ те минимизации функционала (2.1), проходит через точку (X ,F ). Здесь через X и F обозначены выборочные средние значения пе­ ременных X t и Yt: X = (l/n)53X t, F = (1/п)53У -

Замечание 2. Мы предполагаем здесь, что среди X t, t = 1 ,..., п, не все числа одинаковые, т.е. Var(X) Ф 0 и (2.4а) имеет смысл.

2.3.Линейная регрессионная модель с двумя переменными

Впредыдущем разделе нас интересовало только качество подгон­ ки кривой. Теперь добавим к постановке задачи некоторые стати­ стические свойства данных.

На самом деле, для одного X мы можем наблюдать разные значения У.

Пример 1. X - возраст индивидуума, У — его зарплата.

Пример 2. X -• доход семьи, У — расходы на питание.

Запишем уравнение зависимости У от Xt в виде

У = а + bXt + £t, t —1 ,..., п,

где Xt — неслучайная (детерминированная) величина, а У, et — случайные величины. У называется объясняемой (зависимой) пе­ ременной, a X t — объясняющей (независимой) переменной или регрессором. Уравнение, приведенное выше, также называется ре-

грессионньш уравнением.

Какова природа ошибки £t ?

Есть две основные возможные причины случайности:

а) Наша модель является упрощением действительности и на самом деле есть еще другие параметры (пропущенные пере­ менные, omitted variables), от которых зависит У. Зарплата, например, может зависеть от уровня образования, стажа ра­ боты, пола, типа фирмы (государственная, частная) и т. п.

б) Трудности в измерении данных (присутствуют ошибки из­ мерений). Например, данные по расходам семьи на питание составляются на основании записей участников опросов, ко­ торые, как предполыается, тщательно фиксируют свои еже­ дневные расходы. Разумеется, при этом возможны ошибки.

Таким образом, можно считать, что £t — случайная величи­ на с некото|Юй функцией распределения, которой соответствует функция распределения случайной величины У.

Основные гипотезы:

1.Yt = а + bXt + £t, t = 1,.. •,n, — спецификация модели.

2.X t — детерминированная величина; вектор (X i,... , Х„)' не коллинеарен вектору * = (1 ,..., 1)'.

За. Ее* = 0, Е(е*) = V(et) = а 1 — не зависит от t.

3b. E(£t£*) = 0 при t Ф s, некоррелированность ошибок для разных наблюдений.

Часто добавляется условие:

Зс. Ошибки £(, t = 1 ,..., п, имеют совместное нормальное рас­ пределение: £{ ~ N (0,<72).

В этом случае модель называется нормальной линейной ре­ грессионной (Classical Normal Linear Regression model).

Замечание. В случае нормальной линейной регрессионной моде­ ли условие ЗЬ эквивалентно условию статистической независимо­ сти ошибок £t, £, при t ф s (см. приложение МС, п. 4, N4).

Замечание. Позже будет показано, что многие свойства модели сохраняются при замене условий За,Ь на более слабое условие (X может быть случайной величиной):

3'a,b. Cov(Xt,£*) = 0 для всех £,»,

Е(£( | X ) = 0, Е(е? | X ) = а2 при всех t, E(£t£« | X ) = 0 при всех t Ф s.

Обсудим гипотезы, лежащие в основе линейной регрессионной модели.

1. Спецификация модели отражает паше представление о меха­ низме зависимости Yi от X t и сам выбор объясняющей перемен­ ной Xt.

За,Ь. Эти условия в векторной форме могут быть записаны чак:

Ее = О, V(£) = о21п,

где е —(ех,... ,еп)/, 1п — я * п единичная матрица, V($) — п х п матрица ковариаций.

Условие Ее = О означает, что EYt = о + bXt, т.е. при фикси­ рованном Xt среднее ожидаемое значение Yt равно а + bXt.

Условие независимости дисперсии ошибки от номера наблю­ дения (от регрессора X t): Е(е?) = V(et) = о2, t = на­ зывается гомоскедастпичностъю (homoscedasticity); случай, когда условие гомоскедастичности не выполняется, называется гетероскедастичностыо (heteroscedasticity). На рис. 2.2а приведен при­ мер типичной картинки для случая гомоскедастичности ошибок; на рис. 2.26 — пример данных с гетероскедастичными ошибками (возможно, что в этом примере V(et) ~ *?)•

Условие Е (£(£,) = О, t ф S указывает на некоррелированность ошибок для разных наблюдений. Это условие часто нарушает­ ся в случае, когда наши данные являются временными рядами. В случае, когда это условие не выполняется, говорят об автокор- ]>еляцш ошибок (serial correlation).

Для простейшего случая автокорреляции ошибок, когда E(et£t+i) = р ф 0, типичный вид данных представлен на рис. 2.3а (р > 0) и рис. 2.36 (р < 0).

Отметим, что условия За,Ь можно также написать в терминах зависимой переменной: ЕУ* = a+bXt, V(Vt) = о*, Cov(yt, Y3) = 0, t ^ s .