книги / Строительная механика.-1

Подставим найденные значения М% , , costp^-, sincp^ и ^ в

формулы, получим величины внутренних усилий, возникающих в сечении К—К от нагрузок q и Р.

3. Построение линий влияния MR , QK U NJC

В рассматриваемом примере все линии влияния строим спосо­ бом нулевых точек.

Линии влияния внутренних усилий М#, QK и NR могут быть по­ лучены сложением известных линий влияния балочных моментов

М% и балочных поперечных сил Q% , а также линии влияния рас­

пора Я, умноженных на соответствующие коэффициенты выра­ жений (1.18), (1.22), (1.23), что приводит к простым правилам по­ строения линий влияния внутренних усилий в арках.

Ввиду того, что все слагаемые в этих формулах представлены ку­ сочно-линейными функциями, определим абсциссы тех точек, в которых ординаты линий влияний равны нулю. Эти точки называются нулевыми.

Очевидно, что к их числу относятся опорные точки шарнирной арки. Далее предположим, что при действии единичного груза Р= = 1 в точке, принадлежащей арке с абсциссой z0u (ем. рис. 1.25, в), вектор равнодействующих всех внешних сил, действующих в части системы, расположенной левее точки Я, проходит через эту точку, тогда, очевидно, что изгибающий момент в сечении К в этом случае будет равен нулю. Для определения величины zou, воспользуясь геометрическими соображениями (рис. 1.25, а), имеем:

W g a = ( /- 2 b v ) tg p ,

Далее предположим, что, если единичная сила Р - 1 будет рас­ положена в точке, принадлежащей арке, с абсциссой ZOQ, а вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих левее сечения К, параллелен касательной оси арки, проходящей через точку К то

41

поперечная сила в этом сечении будет равна нулю. Из рис. 1.2S, а, имеем

Для определения нулевой точки линии влияния Nx, нужно оп­ ределить абсциссу точки приложения единичной силы Р= 1, при котором нормальная внутренняя сила в сечении К равна нулю. Сле­ довательно, нам необходимо определить такую точку приложения единичной силы Р - 1, при котором общий вектор равнодейст­ вующей всех сил, расположенных левее сечения К, имеет направле­ ние, параллельное нормали оси арки, проведенной через сечение К (рис. 1.25, а). Таким образом,

2о№ (90Фх) = (2ON “ O 'teP i

откуда:

т - /

0N tgP-Ctgq»^ *

3.1. Построение линий влияния Мх. Линию влияния изги­ бающего момента Мхдля сечения К—К строим в следующем поряд-

1. Определяем положение нулевой точки О линии влияния Мх на ее оси абсцисс. Для этого проводим на схеме трехшарнирной ар­ ки прямые АКи ВС и точку пересечения их ( О) сносим по вертика­ ли на ось абсцисс линии влияния (точка Она рис. 1.25, б).

Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле

вертикалям сечение К—К и средний шарнир С (точки К и С). Отре­ зок прямой КС является средней прямой линии влияния.

4. Соединяя точку К с нулевой ординатой под опорой А, а точку С с нулевой ординатой под опорой 2?, получаем левую (АК) и пра­ вую (С'В) прямые линии влияния Мх-

42

строим также способом нулевых точек в следующем порядке:

1.Определяем положение нулевой точки линии влияния QK-Для

этого проводим из точки А прямую, параллельную касательной к оси трехшарнирной арки в сечении К—К, до пересечения с прямой,

(рис. 1.25, в). Полученная точка 0 \ и является нулевой точкой ли­

2. Откладываем на левой опорной вертикали положительную ор­ динату r| = cos у к - 0.555 (отрезок AD) и проводим прямую DO\.

3.Через нулевую ординату под опорой А (точка А) проводим прямую AN, параллельную DO\.

4.На параллельные прямые AN и DO\ проектируем сеч. К-К (точки Е и F) и получаем левую прямую П л и н и и влияния. Если прямая DO\ не пересекается с вертикалью, проходящей через сред­ ний шарнир С, продолжаем прямую DO\ до пересечения с этой вер­

тикалью и получаем точку С . Соединив точку С с нулем под опо­ рой В (точка В), получим правую прямую (С В) линии влияния Qx-

Прямая линия, соединяющая точки Em С , является средней пря­ мой линии влияния QK , а прямая EF носит название соедини­

тельной прямой линии влияния QK -

3.3. Построение линии влияния NK - Линию влияния Nx

строим также способом нулевых точек в следующем порядке:

1. Нулевую точку Ог линии влияния NK находим как проекцию на ось абсцисс линии влияния точки пересечения прямой, прове­ денной из точки А перпендикулярно касательной к оси арки в сечении К-К (Afy), с прямой, проведенной через правую опорную точку В и средний шарнир С (рис. 1.25, а, г).

На рис. 1.25, г нулевая точка ф расположена за пределами дан­ ного чертежа. Расстояние этой точки от левой опоры определяем по

43

Сравнение величин Afr, QK и NK , полученных аналитическим способом и с применением линий влияния, приведено в табл. 1.1.

Из таблицы 1.1 видно, что результаты практически совпадают. В контрольных работах, выполняемых студентами, допускается расхо­ ждение величин не более чем на 3%.

1.12.Расчет трехшарнирной рамы (задача № 4)

Для трехшарнирной рамы (рис. 1.26, а), принимая / = 6 м;

/= 3 м; Zx= 2 м; Р= 34 кН; q - 20 кН/м, требуется:

1.Определить вертикальные опорные реакции и распор.

2.Определить внутренние усилия MK ,Q K и NK в сечении К—К.

3.Построить линии влияния изгибающего момента Л/*, попе­

речной силы QK и продольной силы Л^для сечения К—К.

4. Вычислить величины Мк, QK и NK по линиям влияния от за­ данной нагрузки Р и q и сравнить их со значениями, полученными аналитически (п. 2 задания).

45

При этом правило знаков для М и Q принимаем такое же, что и в обычных балках, а для продольной силы N в арочных системах положительным принято считать сжатие. В рассматриваемом при­ мере:

М% = VA zK ~^~2 ^~Н а Ук = 3 9 - 2 - ~ р - - 1 2 3 3 3 - 2 5 = 7.167кН-м;

3.Построение линий влияния Mg, QK ^N JC

3.1. Построение линий влияния М& (рис. 1.26, 6). Опреде­ ляем положение нулевой точки на оси абсцисс при z%= 2 м.

Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле

Зная положение нулевой точки ОМ, проводим среднюю прямую линию (ОАО, соединяя точку О с концом ординаты z* = 2 м (точка АО, отложенной вверх от оси абсцисс по вертикали, проходящей через опору А. На проведенную прямую МО проектируем сечение К—К, и полученную точку К соединяем с нулевой ординатой под опорой А. Таким образом, получаем левую прямую АК\.

Для построения правой прямой вначале находим точку пересе­ чения С средней прямой (ОМ) с вертикалью, проходящей через средний шарнир, и соединяем ее с нулевой ординатой под опо­ рой В.

Таким образом, полученная линия С'В есть правая прямая линии влияния Мк . Затем из подобия треугольников находим все харак­ терные ординаты линии влияния Afr.

3.2.Построение линии влияния QK (рис. 1.26, в). Поло­

жение нулевой точки 0 \ линии влияния 0 * находим по формуле:

^ 0 = / « ^ Э = 6 Т о^ 5 = 4 м -

48

Для построения средней прямой линии влияния QK на левой опорной вертикали откладываем положительную ординату cos <р*= * 0.8944 (отрезок AD) и точку D соединяем с нулевой точкой 0\. За­ тем через нулевую ординату под опорой А (точка А) проводим пря­ мую AF. На параллельные прямые AF и DOx проектируем сечение К—К (точки Е и F). Чтобы построить правую прямую линии влия­ ния QK , необходимо найти точку пересечения прямой DO\ с верти­ калью, проходящей через средний шарнир С (точка С "). Соединив точку С" с нулем под опорой В (точка В), получим правую прямую (С"В) линии влияния QK - Из подобия треугольников находим все характерные ординаты линии влияния QK -

где / - 6 м ; c t g ^ = ^ L - = ^ = 2 . 0 .

Среднюю прямую линии влияния NK строим следующим обра­ зом. На левой опорной вертикали откладываем положительную ор­ динату simp* = 0.4472 (отрезок AL). Соединим точку L с нулевой точкой Рг прямой линией, которая и будет средней прямой линии влияния NK -Для построения левой прямой проводим через точку А линию, параллельную £.02На параллельные прямые AS и £02 проектируем сечение К—К (точки Т и S).

Чтобы построить правую прямую, вначале находим точку пере­ сечения £02 с вертикалью, проходящей через средний шарнир (точка С'"). Точку С"' соединяем с нулем под опорой В. Прямая СшВ и есть правая прямая линии влияния NK - Масштабы ординат для линий влияния могут быть различными, но постоянными для каждой из них.

4. Вычисление величин Мк, QK и NK по их линиям влияния от заданной нагрузки q u P

Задеуэив каждую линию влияния заданной на!рузкой q и Р (см. рис. 1.26, б, в, г), величины внутренних усилий A/*, QK и JV* находим по формуле (1.2S):

£ = qo + P h ,

где £ — внутренние усилия соответственно Мк, QK и NK , возника­ ющие в сечении К—К; q — интенсивность заданной равномерно распределенной нагрузки (q = 20 кН/м); ю - алгебраическая сумма площадей участков линий влияния соответственно Мк, QK и NK ,

49

расположенных под равномерно распределенной нагрузкой; Р —ве­ личина заданной сосредоточенной нагрузки (Р — 34 кН); h — орди­ наты линий влияния Мх, QK и NX под сосредоточенной нагруз­ кой Р.

Мк = Я ^ - + Р (-0.0833) = 205 ^ + 34 • (-0.0833) = 7.167 кНм;

QK = 20 -0.4472-2; +34 0.07453 = -6.410кН;

NK = 20 0,14?°— + 34 • 0.2236 = 10.58 кН.

Сравнивая полученные значения усилий, видим, что внутренние усилия Мх, QK и NX , найденные различными способами расчета, практически совпадают.

1.13. Балочные ■ консольно-балочные плоские фермы. Расчет фермы на постоянную н временную нагрузки

Вшарнирно-стержневой системе элементами являются стержни, шарнирно скрепленные между собой по концам. Точки соединения стержней называются узлами. Для подсчета числа степеней свободы шарнирно-стержневой системы можно элементами считать ее узлы,

астержни, соединяющие узлы, — связями. При этом каждый узел считается обладающим двумя степенями свободы в плоскости и тремя в пространстве. Число степеней свободы получается равным удвоенному числу узлов для плоскости и утроенному — для про­ странственной шарнирно-стержневой системы.

Вреальных фермах стержни соединены между собой не шар­ нирно, а жестко. Однако и в этом случае к ним применима с доста­ точной степенью приближения шарнирно-стержневая расчетная схема. Действительно, в реальных фермах стержни искривляются незначительно, а изгибная жесткость стержней очень мала, поэтому возникающие в стержнях изгибающие моменты пренебрежимо ма­

лы по сравнению с продольными силами, и можно полагать, что стержни работают как шарнирно закрепленные. Применимость шарнирно-стержневой схемы к реальным фермам подтверждена экспериментально.

В фермах, применяемых для покрытий и перекрытий, а также для мостов, различают верхний и нижний пояса и решетку. Решетка состоит из наклонных раскосов и вертикальных стоек (рис. 1.27).

Ферма по длине пролета делится на панели, обычно, ограни­ ченные соседними узлами поясов. В однопролетной ферме, натру-

50