книги / Электромеханические аппараты автоматики
..pdfПодставив t из (1.39) и разделив действительную и мнимую части, получим
Х = ^ ( r 2 sin 2ф —2ср);
(1.44)
У = 2п5 (1 + ln r2 —r 2cos 2ф).
Если учесть, что любому текущему значению г в плоскости / соответствует m-я линия поля в плоскости z, а каждой радиальной прямой, проведенной под углом ср (рис. 1.5, г) в плоскости /, соответствует п-я эквипотенциальная линия
уровня, и |
принять |
во ьнимание |
[10], |
что |
||
|
|
r = e ~nylv^= e~m\ |
|
|
||
|
|
|
пи |
|
|
|
|
|
ф= — = тш; |
|
(1.45) |
||
|
|
у |
и м |
оо; |
|
|
|
|
—оо |
|
|
||
|
|
|
0<и<1, |
J |
|
|
то (1.44) |
можно представить в |
окончательном виде: |
||||
|
|
5 |
2тsin 2пп — 2кп); |
|||
|
х =— {е |
|||||
|
|
|
|
|
|
(1.46) |
|
y~Y~( 1 +2m —е~2тсо$2пп). |
|||||
Полагая п или |
т = const и |
меняя |
|
соответственно т или |
||
п в указанных выше пределах, можно построить рассчитанную аналитическим способом картину магнитного поля в исследу емой плоскости z между плоскими полюсами.
Напряженность Hz магнитного поля (напряженность Е2 электрического поля) в плоскости z связана с напряжен ностью Ht в плоскости t условием, подобным (1.27).
Напряженность |
[10] равна |
|
|
|
|
|
||
|
|
H t = |
dz |
|
.u M |
UM |
|
(1.47) |
|
|
dt |
“ 7 — |
nr |
|
|||
|
|
|
|
Kt |
|
|
||
Этот |
же результат |
можно |
получить |
из |
рассмотрения |
|||
рис. 1.5, г. |
Каждая |
линия |
поля |
в плоскости |
t |
находится под |
||
разностью потенциалов, равной £/м, а длина / каждой линии равна кг.
Отсюда Ht= UM/l= U M/nr.
-U, |
У» |
1 |
J яt jb(t2- l) |
5 |
t2- 1 ' |
Так как
t2 = r2ei2<9 = e 2m (cos 2яи+у sin2nw),
то
112— = 1e 4m 1 2m cos2nn + 1
и, следовательно,
tfz = - |
^ |
^ |
_ L |
= = . |
(1.48) |
o |
^ |
e |
4m—2e |
2mcos 27W+1 |
|
Используя (1.46) и (1.48), можно построить картину маг нитного поля возле плос] их полюсов и рассчитать значение напряженности Hz (или магнитной индукции Bz= [i0Hz) в каж дой точке пространства.
1.2.2. Расчет магнитных проводимостей по графическим картинам магнитного поля
Точный расчет сложных магнитных систем с переменной удельной магнитной проводимостью рассеяния весьма затруд нителен. Поэтому обычно для этой цепи используются гра фические методы. Один из них, предложенный Леманом, широко применявшийся Рихтером при расчете электрических машин, существенно развит Б. К. Булем применительно к элек трическим аппаратам и позволяет рассчитывать сложные трехмерные магнитные поля с сосредоточенной и распределен ной МДС [5, 7, 9, 74].
Для определения полной магнитной проводимости немаг нитного промежутка магнитной цепи строятся графическим методом картины магнитного поля в двух взаимно перпен дикулярных проекциях. Эти картины магнитного поля пред ставляют собой совокупность изображенных в плоскости рассматриваемой проекции линий магнитной индукции и эк випотенциальных уровней. При этом предполагается, что поле в направлении, перпендикулярном плоскости проекции, является плоскопараллельным.
При графическом построении принимаются следующие допущения:
1. Магнитное сопротивление ферромагнитных участков маг нитной цепи равно нулю. Это позволяет принять линейный закон распределения МДС обмотки.
22
2.Магнитное поле рассеяния и выпучивания у плоских ферромагнитных участков плоскопараллельно.
3.Замена реальной обмотки эквивалентным бесконечно тонким проводящим слоем той же длины и с той же МДС
позволяет вихревое |
магнитное поле представить безвихревым |
и существенно не |
искажает его истинную картину. |
4. Линии индукции и эквипотенциальных уровней ортого нальны, пересекаясь под прямым углом; к поверхности фер ромагнитных участков за пределами обмотки они располага ются непременно под прямым углом, к поверхности прово дящего слоя они могут подходить и выходить под любым углом (здесь допускается нарушение ортогональности линий индукций и эквипотенциальных).
Для экономии времени и трудоемкости при построении картины магнитного поля желательно пользоваться следу ющими рекомендациями:
1. Заменить обмотку проводящим слоем такой же длины
ибесконечно малой толщины.
2.Разбить всю длину слоя на ряд участков, из концов которых будут проводиться линии эквипотенциальных уровней. Все эти линии должны проходить только в немагнитном зазоре и не должны пересекаться с ферромагнитными повер хностями или касаться их.
3.Построение линий эквипотенциальных уровней и линий индукций лучше вести одновременно. Получение прямого угла между ними достигается подбором их наклона, часто неод нократным. Иногда приходится корректировать ранее проведен ные линии (изображены пунктирно на рис. 1.6, а) и проводить
новые (сплошные линии на рис. 1.6, а).
4. Средняя длина /ср криволинейных прямоугольников, по лучающихся от пересечения линий индукции и линий уровня
Рис. 1.6. Построение картины магнитного поля:
t/Mj —(JMз, Ф ,— Ф3— линии уровня магнитных потенциалов и потоков
Рис. 1.7. Картины магнитного поля возле углов магнитопровода
(рис. 1.6,6), должна быть всюду пропорциональна их средней ширине Сср. Как будет показано далее, наиболее удобно,
если |
отношение Сср//ср= 1 (криволинейные квадраты на |
рис. |
1.6). |
5.Построение единичных и элементарных трубок магнит ного потока лучше начинать с зоны, где поле более однородно, обычно под полюсом.
6.Если магнитная система симметрична, то достаточно
построить картину лишь для одной части системы.
7. Для построения картины поля у внешней и внутренней зон углов можно воспользоваться локальной симметрией зоны. При этом исходная центральная линия магнитной индукции
совпадает |
с |
направлением |
биссектрисы |
угла |
(линия ОМ), |
||
а вершины |
криволинейных |
квадратов |
лежат |
на биссектрисе |
|||
ОА угла |
между |
центральной линией |
магнитной индукции |
||||
и стороной |
угла |
(рис. 1.7). |
выпуклостей |
в |
магнитной системе |
||
Около |
острых |
углов и |
|||||
отмечается сгущение линий индукции и линий эквипотенци альных уровней, в то время как во впадинах эти линии образуют более крупные криволинейные квадраты.
8. В начале области (в районе высокого магнитного потен циала) плотность (густота) линий уровня больше, чем в ее конце.
В качестве примера использования изложенных рекомен даций на рис. 1.8 показана картина магнитного поля возле П-образного электромагнита. Линии индукции показаны сплош ными линиями, а линии эквипотенциальных уровней — пунк тирными.
При расчете магнитной проводимости по картинам поля следует иметь в виду, что элементарные трубки потока (рис. 1.8, а), находящиеся под одинаковой разностью магнитных потенциалов, проводят одинаковые потоки АФ. Если поле
24
b
У
S)
в)
Рис. 1.8. К расчету проводимости по картинам магнитного поля
разбито на т элементарных трубок, то общий поток Ф = тДФ. |
|
Все элементарные трубки, находящиеся вне обмотки, находятся |
|
под одной и той же разностью магнитных потенциалов UM, |
|
причем на |
каждую п-ю единичную трубку потока приходится |
магнитное |
напряжение, равное AUM= UM/n. |
С учетом сказанного магнитная проводимость немагнитного промежутка на основании (1.13) может быть рассчитана
следующим образом: |
(1-49) |
А = ц0дХ= Ф/ и м = тАФ/(пА[/м)= тАЛ/п, |
где b — глубина плоскопараллельного поля в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа; ДА— магнитная прово димость единичной трубки потока,
Д Л = ц 0^ е р / / с р - |
( 1-50) |
Желательно, чтобы отношение сср//ср=1. В этом случае
упрощается |
расчет |
|
|
ДЛ = ц<А |
(1.51) |
Из (1.49) |
и (1.51) следует |
|
|
Х= т/п. |
(1.52) |
Таким образом, относительная удельная магнитная про водимость X рассеяния между внутренней боковой поверх ностью стержня А (рис. 1.8,6) и плоскостью симметрии, проведенной через середину воздушного зазора, будет равна сумме относительных удельных магнитных проводимостей
элементарных трубок потока 2, 3, |
4 и половины трубки 1. |
Как видно на рис. 1.8,6, половина |
потока трубки 1 относится |
к потоку рассеяния, а другая половина— к потоку выпучивания.
На |
этом основании трубка |
1 |
разделена |
пунктирной линией |
||
на |
две части. |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, относительная удельная магнитная прово |
|||||
димость рассеяния |
|
|
|
|
|
|
|
К - 1 - + 1 - = ^ + 2 = 0 .8 7 5 , |
|||||
|
|
2 «4 |
г?2 |
л4 |
2 4 4 |
|
где |
/— количество |
элементарных трубок, |
находящихся под |
|||
одним магнитным |
потенциалом. |
|
||||
|
Тогда полная относительная |
удельная магнитная проводи |
||||
мость рассеяния между внутренними боковыми поверхностями стержней А и Б (рис. 1.8,6) составит
^рп= 5 ^ = 0,4375.
Аналогично внутренняя относительная удельная магнитная проводимость выпучивания равна сумме проводимостей трубок 5— 8 и половины трубки 1 (рис. 1.8,6).
Отсюда
1» . |
» Ц |
, + 4 |
2 л4 |
i=5 л4 |
2 4 4 |
и тогда полная внутренняя относительная удельная магнитная проводимость выпучивания
^в.вн.п= 1/2>1в.в„= 0,5625.
Внешняя относительная удельная магнитная проводимость выпучивания кв вш равна сумме проводимостей трубок 9— 14
_ у — =
( = 9 ”4
и аналогично полная внешняя относительная удельная маг нитная проводимость выпучивания
^ в .в ш .п = 0,75.
Расчет относительных удельных магнитных проводимостей воздушных путей потока в месте расположения обмотки и эквивалентного ей проводящего слоя имеет некоторые особенности. Обратимся к рис. 1.8, в. Поскольку магнитная система полностью симметрична относительно вертикальной оси z, магнитные потенциалы точек 0 на ярме В и якоре Г будут равны и между ними можно провести фиктивный магнитный шунт, что позволяет рассматривать лишь одну половину системы. Разности магнитных потенциалов между точками разбиения длины обмотки на п равных участков и нулевым потенциалом (магнитным шунтом) будут составлять 1/п, 2/п, 3/я, ..., njn от полной разности магнитных потенциалов, равной МДС F одной обмотки. На рис. 1.8, в п= 4.
Элементарные трубки потока, лежащие в зоне разбиения проводящего слоя на равные участки, проводят одинаковые потоки Фэт. Увеличение разности магнитных потенциалов Uz вызывает такое уменьшение проводимости Лэ т элементар
ной трубки |
потока, что |
произведение UXA3 Т = ФЭт остается |
неизменным. |
Рассмотрим |
две произвольные трубки потока |
М и N (рис. 1.8, в). Трубка М находится под полной разностью магнитных потенциалов UM, равной МДС F обмотки, и состоит
из четырех последовательно |
соединенных |
единичных трубок |
(п = 4). Поток, проводимый |
трубкой М, |
|
Ф,.ТА/ = Лэ.тМ и ы = Но — bF= Цо 2 bF. |
||
|
Пм |
4 |
Трубка N находится под воздействием частичной МДС обмотки, равной 3/4F, и состоит из трех единичных трубок. Поток, проводимый трубкой,
Фэ.тлгЛэ.тлг UM= \i0 — b jF = nN 4
1, 3 „
-> - 3 * 4 F -
Отсюда следует равенство магнитных потоков, протекающих через трубки М и N.
Изложенное позволяет определять относительную удельную магнитную проводимость в области расположения проводящего слоя.
В зоне (рис. 1.8, в), где проводящий слой разделен на четыре части (л4= 4), число элементарных трубок, проводящих одинаковый поток (трубки 2, 5, 4, ..., 10 и половина трубки 1), равно 9,5. Следовательно, относительная удельная маг нитная проводимость первого участка зоны рассеяния между внутренней гранью стержня / и магнитным шунтом
X,, = m,/Ai4= 9,5/4 = 2,375.
Двигаясь к началу обмотки, приходится разбивать проводящий слой на более мелкие участки (см. трубки 11 и 16), иначе линий равного потенциала может оказаться недостаточно для построения единичных трубок потока и более точного расчета проводимостей.
Вторая зона рассеяния (на рис. 1.8, в все участки выделены более жирными линиями) разбита на п8 = 8 частей и состоит из т и = 5 элементарных (с 11 по 75) трубок. Относительная удельная магнитная проводимость второго участка
Хи= ™и/п8= 5/8 = 0,625.
Третий участок (трубки с 16 по 18) разбит на 16 частей. Его проводимость
Х,ц1 = Шш//?16 = 3/16 = 0,1875.
Четвертый участок состоит лишь из одной 19-й трубки, находящейся под потенциалом 1/32[/м; его проводимость составляет
X,iv = w,v/«32 = 1/32 = 0,03125.
Полная относительная удельная проводимость рассеяния между внутренними гранями стержней 1 и 2
^ р . п — “ (A.J + А,п + ^ I I I + ^ I V ) —
= -1 (2,375 + 0,625+0,1875 + 0,03125) = 1,61.
Подобным образом могут быть найдены магнитные про водимости и других зон и участков магнитной цепи.
1.2.3. Приближенные методы расчета магнитных проводимостей
В инженерных расчетах, а также при ориентировочном анализе магнитных систем электрических аппаратов широко используются приближенные методы расчета магнитных про-
28
3 |
2 |
_T, |
N |
V______ = |
= ^ |
Рис. 1.9. Картина м агнитного поля в зоне перекрытия контактных |
сердечников |
|||||
I еркона: |
|
|
|
|
|
|
Х а1— магнитная |
проводимость в пределах перекрытия КС; Xph— магнитная |
проводимость |
||||
с «ребра» грани |
b\ Xhb— магнитная |
проводимость |
с высоты Л грани Ь\ Хрд— магнитная |
|||
проводимость |
с |
«ребра» грани |
а\ |
Xha— магнитная |
проводимость с высоты Л грани а: |
|
Ху— магнитная |
проводимость с |
«угла»; ХаЬ— магнитная проводимость с «ребра» граней |
||||
а и Ь\ Хс— магнитная проводимость сегмента. 7, 2 — контактные сердечники; 3 — баллон
водимостей немагнитных промежутков [5, 9, 76, 91 ]. Эти методы позволяют быстро и с достаточной точностью рассчитать магнитную проводимость немагнитного промежутка или уста новить аналитическую зависимость между размерами магнит ной цепи и магнитной проводимостью ее немагнитных участков.
Приближенные методы основаны на существенных упроще ниях реальной картины поля, обобщении экспериментальных данных, интуитивных предположениях, использовании анало гий, придании анализируемому полю желаемой конфигурации, использовании строгих аналитических формул, справедливых при равномерном поле, для анализа неравномерных полей.
При расчете магнитных проводимостей обычно приходится пользоваться совокупностью различных методов.
1.2.3.1. МЕТОД ВЕРОЯТНЫХ ПУТЕЙ ПОТОКА
Сущность метода, предложенного Г Ротерсом, заключается в разбиении реального сложного магнитного поля в немаг нитном зазоре на «вероятные», элементарные объемы, которые представляют собой простые геометрические фигуры [5, 7]. Магнитное поле в пределах каждого элементарного объема принимается однородным. Полная магнитная проводимость рассматриваемого реального поля определяется путем соответ ствующего суммирования магнитных проводимостей элемен тарных объемов. В качестве примера на рис. 1.9, а изображен геркон, а картина магнитного поля в зоне перекрытия его
Рис. 1.10. Составляющие магнитного поля в зоне перекрытия контактных сердечников геркона. Обозначения проводимостей те же, что и на рис. 1.9
контактных сердечников — на рис. 1.9,6. Картины поля в двух взаимно перпендикулярных проекциях показаны на рис. 1.9, в, г. На рис. 1.10 показаны элементарные составляющие объемы этого поля.
Магнитная проводимость каждого элементарного объема определяется по формуле равномерного магнитного поля
Аэл = Цо5ср//ср, |
(1.53) |
где 5ср— среднее значение площади поперечного сечения, перпендикулярного вероятному пути потока; /ср— средняя дли-
зо